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高等数学
第五章 向量与空间解析几何
椭球面
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更新:
2025-02-11 13:25
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椭球面
二次曲面;椭球面;截痕法;旋转椭球;球
## 椭球面 由方程 $$ \boxed{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 ...(3) } $$ 确定的曲面称为**椭球面**. 当 $a=b=c$ 时即为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$. 当 $a, b , c$ 中有两个相等时,其图形为**旋转椭球面**. 由此可知,旋转椭圆球面是椭球面的特殊情形. 而球面则是椭球面的特殊情形. 从(3)式容易看到,椭球面关于坐标面,坐标轴,原点都对称,且 $$ \frac{x^2}{a^2} \leq 1, \frac{y^2}{b^2} \leq 1, \frac{z^2}{c^2} \leq 1, $$ 即 $|x| \leq a,|y| \leq b,|z| \leq c$, 这说明椭球面完全包含在三对平行平面 $x=\pm a, y=\pm b, z=\pm c$ 所围成的长方体中, $a, b, c$ 称为椭球面的半轴,原点称为椭圆的中心. 下面我们来讨论椭球面的形状. 首先,考察三个坐标面与椭球面的交线. 交线的方程分别为 $$ \left\{\begin{array}{c} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \\ z=0 \end{array}, \quad\left\{\begin{array}{c} \frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \\ y=0 \end{array}, \quad\left\{\begin{array}{c} \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1, \\ x=0 \end{array},\right.\right.\right. $$ 它们分别是三个坐标面上的椭圆. 其次,考察平行于坐标面的平面与椭球面的 交线. 用平行于 $x O y$ 面的平面 $z=h(|h| \leq c)$ 去截 椭球面(见图 5-59), 交线为 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{h^2}{c^2} \\ z=h\end{array}\right.$ ,  它是在平面 $z=h$ 上的一个椭圆. 当 $|h|$ 由 0 逐渐增大到 $c$ 时,椭圆逐渐由大变 小,最后缩成一个点. 这些椭圆就形成了椭球面. 用平行于 $y O z$ 面的平面或平行于 $x O z$ 面的平面分别去截椭球面时,也有以上 类似的结果 (见图 5-60). 椭球面的形状如图 5-61 所示.  这种方法叫**截痕法** {width=500px}
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