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高等数学
第五章 向量与空间解析几何
椭球面
最后
更新:
2025-02-11 13:25
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椭球面
二次曲面;椭球面;截痕法;旋转椭球;球
## 椭球面 由方程 $$ \boxed{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 ...(3) } $$ 确定的曲面称为**椭球面**. 当 $a=b=c$ 时即为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$. 当 $a, b , c$ 中有两个相等时，其图形为**旋转椭球面**. 由此可知，旋转椭圆球面是椭球面的特殊情形. 而球面则是椭球面的特殊情形. 从（3）式容易看到，椭球面关于坐标面，坐标轴，原点都对称，且 $$ \frac{x^2}{a^2} \leq 1, \frac{y^2}{b^2} \leq 1, \frac{z^2}{c^2} \leq 1, $$ 即 $|x| \leq a,|y| \leq b,|z| \leq c$, 这说明椭球面完全包含在三对平行平面 $x=\pm a, y=\pm b, z=\pm c$ 所围成的长方体中， $a, b, c$ 称为椭球面的半轴，原点称为椭圆的中心. 下面我们来讨论椭球面的形状. 首先，考察三个坐标面与椭球面的交线. 交线的方程分别为 $$ \left\{\begin{array}{c} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \\ z=0 \end{array}, \quad\left\{\begin{array}{c} \frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \\ y=0 \end{array}, \quad\left\{\begin{array}{c} \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^
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