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向量组及其线性组合
日期:
2023-01-02 12:33
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则 $m$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组， $n$ 维向量组 $\boldsymbol{\beta}_1^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2^{\mathrm{T}}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m^{\mathrm{T}}$ 称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组. 反之，给定一个 $m$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ， 则得到一个以 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 为列的 $m \times n$ 矩阵 $A=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)$ ； 给定一个 $n$ 维向量组 $\boldsymbol{\beta}_1^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2^{\mathrm{T}}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m^{\mathrm{T}}$ ， 则得到一个以 $\boldsymbol{\beta}_1^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2^{\mathrm{T}}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m^{\mathrm{T}}$ 为行的 $m \times n$ 矩阵 $A=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\beta}_2^{\mathrm{T}} \\ \vdots \\ \boldsymbol{\beta}_m^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$. 因此，一个所含向量个数有限的向量组总可与一个矩阵建立一一对应关系. 定义 3 给定 $n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ ，对于任意一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ ，表达式 $$ k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n $$ 称为该向量组的一个线性组合. 定义 4 给定 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 和一个 $n$ 维向量 $\beta$ ，如果存在一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ ，使得 $$ \boldsymbol{\beta}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n, $$ 则称向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示， 或者说向量 $\beta$ 是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 的一个线性组合. 例如，给定向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ，则向量 $$ \begin{aligned} & 2 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\sqrt{3} \boldsymbol{\alpha}_3, \quad \boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2+0 \boldsymbol{\alpha}_3\left(=\boldsymbol{\alpha}_1\right), \quad 0 \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+0 \boldsymbol{\alpha}_3\left(=\boldsymbol{\alpha}_2\right), \\ & 0 \boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3\left(=\boldsymbol{\alpha}_3\right), \quad 0 \boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2+0 \boldsymbol{\alpha}_3(=\boldsymbol{0}) \end{aligned} $$ 都是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合. 由此可见，一个向量组可以线性表示这个向量组中的每一个向量， 零向量是任意一个向量组的线性组合.  定理 1 向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ (唯一) 线性表示的充分必要条件是线性方程组 $x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \boldsymbol{\alpha}_n=\beta$ 有 (唯一) 解. 证明 如果向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示，则存在一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ ，使得 $$ k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{\beta} . $$ 这表明线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{\beta}$ 有解 $$ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{array}\right) . $$ 反之，如果线性方程组 $$ x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{\beta} \quad \text { 有解 }\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{array}\right) \text {, } $$ 即 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{\beta}$ ， 从而向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示.  
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