齐次线性方程组解的结构

日期: 2023-01-02 16:20 查看: 79 次

如果 $x_1=k_1, x_2=k_2, \cdots, x_n=k_n$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解， 则向量

$$
\quad \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}
k_1 \\
k_2 \\
\vdots \\
k_n
\end{array}\right)
$$

称为方程组 $A x=0$ 的解向量，也称为 $A x=0$ 的解.
记方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解向量的全体所成的集合为 $S$ ， 即

$$
S=\{\xi \mid \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}\},
$$

我们来讨论方程组 $A x=0$ 的解向量的性质，以及向量组 $S$ 的秩和极大无关组.

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102dfdaddf.png)
若 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_t$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解，则对于任意一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_t$ ，
线性组合 $\quad k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_t \boldsymbol{\alpha}_t (*)$
仍为 $A \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解.
因此，在 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解的情况下，如果向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_1$ 是解集 $S$ 的极大无关组， 则表达式 $(*)$ 称为方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解.
齐次线性方程组的解集 $S$ 的极大无关组称为齐次线性方程组的基础解系.

![图片](/uploads/2023-01/image_202301027c8e3f6.png)
将矩阵 $R$ 的非零行的首元对应的末知量看成固定末知量，留在等号的左端，其余的末知量看 成自由末知量，放在等号右端，

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010218bc793.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_202301020248fae.png)
则 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 一定会满足方程组 $\left({ }^{* *}\right)$ ， 即:

![图片](/uploads/2023-01/image_202301021c895d3.png)
于是

![图片](/uploads/2023-01/image_202301023012868.png)

即任一解向量 $\eta$ 均可由 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 线性表示 $\eta=k_{r+1} \xi_1+k_{r+2} \xi_2+\cdots+k_n \xi_{n-r}$.
所以向量组 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 就是 $n$ 元齐次线性方程组 $A \boldsymbol{x}=0$ 的基础解系.

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