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齐次线性方程组解的结构
日期:
2023-01-02 16:20
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如果 $x_1=k_1, x_2=k_2, \cdots, x_n=k_n$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, 则向量 $$ \quad \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{array}\right) $$ 称为方程组 $A x=0$ 的解向量,也称为 $A x=0$ 的解. 记方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解向量的全体所成的集合为 $S$ , 即 $$ S=\{\xi \mid \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}\}, $$ 我们来讨论方程组 $A x=0$ 的解向量的性质,以及向量组 $S$ 的秩和极大无关组.  若 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_t$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解,则对于任意一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_t$ , 线性组合 $\quad k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_t \boldsymbol{\alpha}_t (*)$ 仍为 $A \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解. 因此,在 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解的情况下,如果向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_1$ 是解集 $S$ 的极大无关组, 则表达式 $(*)$ 称为方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解. 齐次线性方程组的解集 $S$ 的极大无关组称为齐次线性方程组的基础解系.  将矩阵 $R$ 的非零行的首元对应的末知量看成固定末知量,留在等号的左端,其余的末知量看 成自由末知量,放在等号右端,   则 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 一定会满足方程组 $\left({ }^{* *}\right)$ , 即:  于是  即任一解向量 $\eta$ 均可由 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 线性表示 $\eta=k_{r+1} \xi_1+k_{r+2} \xi_2+\cdots+k_n \xi_{n-r}$. 所以向量组 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 就是 $n$ 元齐次线性方程组 $A \boldsymbol{x}=0$ 的基础解系.  
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2023-01-02 16:20
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