非齐次线性方程组解的结构

日期: 2023-01-02 16:23 查看: 81 次

性质 3 设 $\xi, \eta$ 是 $A x=\beta$ 的任意两个解，则 $\xi-\eta$ 是导出组 $A x=0$ 的解.
证明 因为 $\xi, \eta$ 是 $A x=\beta$ 的任意两个解，即： $A \xi=\beta ， A \eta=\beta$ ，所以

$$
A(\xi-\eta)=A \xi-A \eta=\beta-\beta=0,
$$

即： $\alpha-\beta$ 是导出组 $A x=0$ 的解.
性质 4 设 $\xi$ 是 $A x=\beta$ 的任意解， $\eta$ 是导出组 $A x=0$ 的任意解，则 $\xi+\eta$ 是 $A x=\beta$ 的解.
证明 由题设可知， $A \xi=\beta ， A \eta=0$. 于是，

$$
A(\xi+\eta)=A \xi+A \eta=\beta+0=\beta,
$$

即: $\xi+\eta$ 是 $A x=\beta$ 的解.
定理 5 如果 $\eta$ 是非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 任意给定的一个解 (通常称为特解)，
$\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 是其导出组 $A x=0$ 的一个基础解系，则非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 的通解可以表示为:
$\boldsymbol{x}=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-r}+\eta$, 其中 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$ 是任意实数.
由性质 4 可知， $k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-r}+\eta$ 确实是非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 的解.
证明 下面证明 $A x=\beta$ 的任一解都能写成这种形式.
设 $\gamma$ 是非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 的任一解，则 $\gamma-\eta$ 是导出组 $A x=0$ 的解，
从而存在一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$ ，使得 $\gamma-\eta=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-r}$,
因此，

$$
\gamma=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-r}+\boldsymbol{\eta} .
$$

推论 在非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 有解的情形下，解唯一的充分必要条件是它的导出 组 $\boldsymbol{A x}=0$ 只有零解.
证明 (充分性)
假设方程组 $A x=\beta$ 有两个不同的解，则这两个解的差就是导出组 $A x=0$ 的一个非零解，
与导出组 $A x=0$ 只有零解矛盾. 所以由导出组 $A x=0$ 只有零解可知方程组 $A x=\beta$ 有唯一解.
(必要性)
设非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 有唯一解 $\eta$. 假设导出组 $A x=0$ 有非零解 $\gamma$ ， 则 $\gamma+\eta$ 是方程组 $A x=\beta$ 的异于 $\eta$ 的另一个解，这与方程组 $A x=\beta$ 有唯一解矛盾.
所以导出组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 只有零解.
行最简形矩阵 $R$ 的首元在第 1 列和第 2 列，所以自由末知量为 $x_3, x_4$.
于是有

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=-3 x_3 \\
x_2=-x_3-2 x_4-1
\end{array}\right.
$$

$$
\text { 令 }\left(\begin{array}{l}
x_3 \\
x_4
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right) \text { ，代入上式，得 }\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array}\right) \text { ， }
$$

于是得原方程组的一个特解为:

$$
\eta=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
0 \\
0
\end{array}\right) \text {. }
$$

再写出方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1=-3 x_3, \\ x_2=-x_3-2 x_4-1 \text { 导出组: }\end{array}\right.$

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=-3 x_3, \\
x_2=-x_3-2 x_4,
\end{array}\right.
$$

分别令 $\left(\begin{array}{l}x_3 \\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}x_3 \\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$ ，代入导出组，得到导出组的基础解系为:

$$
\xi_1=\left(\begin{array}{c}
-3 \\
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \quad \xi_2=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-2 \\
0 \\
1
\end{array}\right) .
$$

因此，原方程组的通解为:

$$
\boldsymbol{x}=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\eta ， k_1, k_2 \text { 为任意常数. }

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