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非齐次线性方程组解的结构
日期:
2023-01-02 16:23
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性质 3 设 $\xi, \eta$ 是 $A x=\beta$ 的任意两个解,则 $\xi-\eta$ 是导出组 $A x=0$ 的解. 证明 因为 $\xi, \eta$ 是 $A x=\beta$ 的任意两个解,即: $A \xi=\beta , A \eta=\beta$ ,所以 $$ A(\xi-\eta)=A \xi-A \eta=\beta-\beta=0, $$ 即: $\alpha-\beta$ 是导出组 $A x=0$ 的解. 性质 4 设 $\xi$ 是 $A x=\beta$ 的任意解, $\eta$ 是导出组 $A x=0$ 的任意解,则 $\xi+\eta$ 是 $A x=\beta$ 的解. 证明 由题设可知, $A \xi=\beta , A \eta=0$. 于是, $$ A(\xi+\eta)=A \xi+A \eta=\beta+0=\beta, $$ 即: $\xi+\eta$ 是 $A x=\beta$ 的解. 定理 5 如果 $\eta$ 是非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 任意给定的一个解 (通常称为特解), $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 是其导出组 $A x=0$ 的一个基础解系,则非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 的通解可以表示为: $\boldsymbol{x}=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-r}+\eta$, 其中 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$ 是任意实数. 由性质 4 可知, $k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-r}+\eta$ 确实是非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 的解. 证明 下面证明 $A x=\beta$ 的任一解都能写成这种形式. 设 $\gamma$ 是非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 的任一解,则 $\gamma-\eta$ 是导出组 $A x=0$ 的解, 从而存在一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$ ,使得 $\gamma-\eta=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-r}$, 因此, $$ \gamma=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-r}+\boldsymbol{\eta} . $$ 推论 在非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 有解的情形下,解唯一的充分必要条件是它的导出 组 $\boldsymbol{A x}=0$ 只有零解. 证明 (充分性) 假设方程组 $A x=\beta$ 有两个不同的解,则这两个解的差就是导出组 $A x=0$ 的一个非零解, 与导出组 $A x=0$ 只有零解矛盾. 所以由导出组 $A x=0$ 只有零解可知方程组 $A x=\beta$ 有唯一解. (必要性) 设非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 有唯一解 $\eta$. 假设导出组 $A x=0$ 有非零解 $\gamma$ , 则 $\gamma+\eta$ 是方程组 $A x=\beta$ 的异于 $\eta$ 的另一个解,这与方程组 $A x=\beta$ 有唯一解矛盾. 所以导出组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 只有零解. 行最简形矩阵 $R$ 的首元在第 1 列和第 2 列,所以自由末知量为 $x_3, x_4$. 于是有 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1=-3 x_3 \\ x_2=-x_3-2 x_4-1 \end{array}\right. $$ $$ \text { 令 }\left(\begin{array}{l} x_3 \\ x_4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right) \text { ,代入上式,得 }\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \end{array}\right) \text { , } $$ 于是得原方程组的一个特解为: $$ \eta=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \text {. } $$ 再写出方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1=-3 x_3, \\ x_2=-x_3-2 x_4-1 \text { 导出组: }\end{array}\right.$ $$ \left\{\begin{array}{l} x_1=-3 x_3, \\ x_2=-x_3-2 x_4, \end{array}\right. $$ 分别令 $\left(\begin{array}{l}x_3 \\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}x_3 \\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$ ,代入导出组,得到导出组的基础解系为: $$ \xi_1=\left(\begin{array}{c} -3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad \xi_2=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) . $$ 因此,原方程组的通解为: $$ \boldsymbol{x}=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\eta , k_1, k_2 \text { 为任意常数. } $$
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2023-01-02 16:23
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