最后更新: 2025-04-01 19:02 查看: 524 次反馈刷题

偏导数

## 偏导数
在一元函数 $y=f(x)$ 中，如果自变量 $x$ 产生变化 (由 $x_0$ 变为 $x_0+\Delta x$ )， 那么函数也会相应的产生一个增量 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$. 而函数关于自 变量的变化率，即 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 称为函数 $y$ 对自变量 $x$ 的导数. 在二 元 函 数 $f(x, y)$ 中，当一个自变量在变化（例如自变量 $x$ 由 $x_0$ 变为 $x_0+\Delta x$ )，而另 一个自变量不变化 (自变量 $y$ 保持定值 $y_0$ )，则函数关于这个自变量的 变化率叫做这个二元函数对这个自变量的**偏导数**.
对于一元函数来说，若 $\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)$ ，则称 $f(x)$ 在 $x$ 处可微， 其中 $A \Delta x$ 称为微分，记作 $\mathrm{d} y=A \Delta x . f(x)$ 在 $x$ 处可微的充要条件是 $f(x)$ 在该点可导，且

$$
\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \Delta x=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x,
$$

那么对于二元函数来说，如何推广微分定义，对应的微分和导数是 否能延续这样的关系, 这都是这一节我们要解决的问题.
一元函数从变化率的研究引入了导数的概念:

$$
f^{\prime}\left(x_0\right)=\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} .
$$

它的几何意义是曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线的斜率为 $k=\tan \alpha=f^{\prime}\left(x_0\right)$.

多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多 因此我们首先考虑多元函数中关于其中一个变量的变化率，而假定另外一个变量不变.

**以二元函数 $z=f(x, y)$ 为例，若只有自变量 $x$ 变化，而自变量 $y$ 不变 (暂作常量)，这时就可看作为 $x$ 的一元函数了.**

比如，理想气态方程 $P=k \frac{T}{V}$ ，其中 $T 、 V$ 是两个变量， $k$ 是常量（比例系数). 我们要研究$P$和$T$的关系，先保持$V$不变，然后比较$P$和$T$的变化规律。

再如，有时需考虑在等温条件下 ( $T$ 不变) 压缩气体压强 $P$ 关于体积 $V$ 的变化率，都是用一个变量保持不变进行研究， 这些都是偏导数问题.

## 偏导数的定义
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某一邻域内有定义，当 $y$ 固定在 $y_0$ ， 而 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$ 时，相应的函数有增量

$$
f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0\right) .
$$

如果 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}$ 存在，则称此极限为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处对 $x$ 的偏导数，记为

$$
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=x_0 \\ y=y_0}},\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\substack{x=x_0 \\ y=y_0}},\left.z_x\right|_{\substack{x=x_0 \\ y=y_0}} \text { 或 } f_x\left(x_0, y_0\right) .
$$

例如， $\quad f_x\left(x_0, y_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}$.
类似地，函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处对 $y$ 的偏导数为

$$
\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}
$$

记为

$$
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{\substack{x=x_0 \\ y=y_0}},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{\substack{x=x_0 \\ y=y_0}},\left.z_y\right|_{\substack{x=x_0 \\ y=y_0}} \text { 或 } f_y\left(x_0, y_0\right) .
$$

二元函数偏导数的定义可以类推到三元及三元以上的函数.
如果函数 $z=f(x, y)$ 在区域 $D$ 内每一点处对 $x$ 的偏导数都存在，那么这个偏 导数是 $x, y$ 的二元函数，那么称为函数 $z=f(x, y)$ 对自变量 $x$ 的偏导函数，简称为 偏导数，记作
$\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial x}, z_x$ 或 $f_x(x, y)$.
同样，函数 $z=f(x, y)$ 对自变量 $y$ 的偏导数记作
$\frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial y}, z_y$ 或 $f_y(x, y)$.

>上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需把其余自变量 看作常量数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算.

## 例题
`例` 设函数 $z=x^3+2 x^2 y^3+y \mathrm{e}^x$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 及 $\frac{\partial z}{\partial y}$.
解 把 $y$ 看作常量，函数 $z$ 对自变量 $x$ 求导得到

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=3 x^2+4 x y^3+y \mathrm{e}^x ;
$$

把 $x$ 看作常量，函数 $z$ 对自变量对 $y$ 求导得到

$$
\frac{\partial z}{\partial y}=6 x^2 y^2+\mathrm{e}^x .
$$

`例` 求 $z=f(x, y)=x^2+3 x y+y^2$ 在点 $(1,2)$ 处的偏导数.
解 把 $y$ 看作常量，函数 $z$ 对自变量 $x$ 求导得到

$$
f_y(x, y)=2 x+3 y ，
$$

把 $x$ 看作常量，函数 $z$ 对自变量对 $y$ 求导得到

$$
f_y(x, y)=3 x+2 y,
$$

把 $x=1, y=2$ 代入所求偏导数，则得到该点的偏导数为

$$
\begin{aligned}
& f_x(1,2)=2 \times 1+3 \times 2=8, \\
& f_y(1,2)=3 \times 1+2 \times 2=7,
\end{aligned}
$$

`例` 求 $z=x^y$ 的偏导数.
解 把 $y$ 看成常量，则 $x^y$ 是 $x$ 的幂函数，由一元函数幂级数的求导公式，得

$$
\begin{array}{r}
\frac{\partial z}{\partial x}=y x^{y-1} ;
\end{array}
$$

把 $x$ 看成常量，则 $x^y$ 是 $y$ 的指数函数，由一元函数指数函数的求导公式，得

$$
\frac{\partial z}{\partial y}=x^y \ln x
$$

`例`设 $f(x, y)=(x-1) g(y)+(y-1) h(x)$ ，求 $f_x(1,1)$.
解 由偏导数的定义可知，

$$
f_x(1,1)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x, 1)-f(1,1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1) g(1)}{x-1}=g(1) .
$$

注 本题也可用以下方法处理:
先写出 $f(x, 1)=(x-1) g(1)+(1-1) h(x)=(x-1) g(1)$ ；
再利用一元函数求导公式，函数对 $x$ 求导，得 $f_x(x, 1)=g(1)$ ，
最后代入 $x=1$ 得 $f_x(1,1)=g(1)$

`例` 求三元函数 $u=\sin \left(x+y^2-\mathrm{e}^z\right)$ 的偏导数.
解 把 $y$ 和 $z$ 看作常量，对 $x$ 求导得

$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\cos \left(x+y^2-\mathrm{e}^z\right) \text {; }
$$

把 $x$ 和 $z$ 看作常量，对 $y$ 求导得

$$
\frac{\partial u}{\partial y}=2 y \cos \left(x+y^2-\mathrm{e}^z\right)
$$

把 $x$ 和 $y$ 看作常量，对 $z$ 求导得

$$
\frac{\partial u}{\partial z}=-\mathrm{e}^z \cos \left(x+y^2-\mathrm{e}^z\right) \text {. }
$$

`例` 已知一定量的理想气体的状态方程为 $P V=R T$ ( $R$ 为常数)，证明

$$
\frac{\partial P}{\partial V} \cdot \frac{\partial V}{\partial T} \cdot \frac{\partial T}{\partial P}=-1 .
$$

解 因为 $P=\frac{R T}{V}$ ，把 $T$ 看作常量，函数 $P$ 对自变量 $V$ 求导，得

$$
\frac{\partial P}{\partial V}=-\frac{R T}{V^2},
$$

同理， $V=\frac{R T}{P}$ ，把 $P$ 看作常量，函数 $V$ 对自变量 $T$ 求导，得

$$
\frac{\partial V}{\partial T}=\frac{R}{P},
$$

$T=\frac{P V}{R}$ ，把 $V$ 看作常量，函数 $T$ 对自变量 $P$ 求导，得

$$
\frac{\partial T}{\partial P}=\frac{V}{R},
$$

所以

$$
\frac{\partial P}{\partial V} \cdot \frac{\partial V}{\partial T} \cdot \frac{\partial T}{\partial P}=-\frac{R T}{V^2} \cdot \frac{R}{P} \cdot \frac{V}{R}=-\frac{R T}{P V}=-1 .
$$

### 关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明:
(1) 对一元函数而言，导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 可看作函数的微分 $\mathrm{d} y$ 与自变量的微分 $\mathrm{d} x$ 的商. 但偏导数的记号 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 是一个整体, 是不可分割的.
(2) 与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定 义来求.
(3) 在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在 该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数在某点的各个偏导数都存在，也不能保证函数在该点连续.
例如，二元函数
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\
0, & (x, y)=(0,0)
\end{array} ，\right.
$$

在点 $(0,0)$ 的偏导数为

$$
\begin{gathered}
f_x(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0}{\Delta x}=0, \\
f_y(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0}{\Delta y}=0
\end{gathered}
$$

但从上节例题已经知道这函数在点 $(0,0)$ 处不连续.

## 画龙点睛
已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x y}, & x y \neq 0, \\ 0, & x y=0\end{array}\right.$ ，判断该函数在点 $(0,0)$连续和可微状态

由偏导数的定义，在点 $(0,0)$ 处有

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{0-0}{x}=0=f_x^{\prime}(0,0)
$$

，根据结构对称性可知 $f_y^{\prime}(0,0)=0$. 于是基于夹逼准则，可得

$$
\begin{aligned}
& \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)-f_x^{\prime}(0,0) x-f_y^{\prime}(0,0) y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
= & \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sqrt{x^2+y^2} \sin \frac{1}{x y}=0
\end{aligned}
$$

即函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微. 又当 $x y \neq 0$ 时，有

$$
f_x^{\prime}(x, y)=2 x \sin \frac{1}{x y}-\frac{x^2+y^2}{x^2 y} \cos \frac{1}{x y}
$$

由夹逼准则可知 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} 2 x \sin \frac{1}{x y}=0$. 对于 $\frac{x^2+y^2}{x^2 y} \cos \frac{1}{x y}$ 取 $y=x$ ，得 $\frac{2}{x} \cos \frac{1}{x^2}$ ，当 $x=\frac{1}{\sqrt{2 n \pi}}, n \rightarrow 0$ 时，有
$$
\begin{aligned}
&\frac{2}{x} \cos \frac{1}{x^2}=2 \sqrt{2 n \pi} \rightarrow \infty(n \rightarrow 0)\\
&\text { 发散，故 } \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \text { 不连续 }
\end{aligned}
$$

其图像如下
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