向量空间及其子空间

日期: 2023-01-02 16:26 查看: 115 次

定义 1 设 $V$ 是 $n$ 维向量的集合，如果对于任意 $\boldsymbol{\alpha} \in V ， \boldsymbol{\beta} \in V$ ，都有 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} \in V$ ， 则称 $V$ 对向量的加法封闭；
如果对任意 $\boldsymbol{\alpha} \in V$ 及任意 $k \in \mathbf{R}$ ，都有 $k \boldsymbol{\alpha} \in V$ ，则称 $V$ 对向量的数乘封闭.

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定义 2 设 $V$ 是 $n$ 维向量的集合，且 $V$ 非空，如果 $V$ 对向量的加法和数乘两种运算都封闭， 则称集合 $v$ 为向量空间.
例如， 例 1、例 2 中的集合均为非空的， 因为 $0=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right) \in V_1, e_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right) \in V_2$.
但是 $V_1$ 对向量的加法和数乘运算封闭，所以 $V_1$ 是向量空间，
但是 $V_2$ 对向量的加法和数乘运算均不封闭，所以 $V_2$ 不是向量空间.

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例 6 设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s \in \mathbf{R}^n$ ，我们将向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 所有可能的线性组合 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s$ 构成的集 合记为 $\mathrm{L}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)=\left\{\boldsymbol{\alpha}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s \mid k_1, k_2, \cdots, k_s \in \mathbf{R}\right\}$,
容易验证， L $\left(\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)$ 是一个向量空间， 我们称之为由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 所张成的向量空间.

性质 3
设有向量空间 $V_1$ 与 $V_2$ ，如果 $V_1 \subseteq V_2$ （即 $V_1$ 是 $V_2$ 的子集），则称向量空间 $V_1$ 是 $V_2$ 的子空间.
例如，例 1 中的向量空间 $v_1$ 、例 4 中的向量空间 $S$ 均为 $n$ 维向量空间 $\mathbf{R}^n$ 的子空间.
那么 $V$ 就是 ${ R}^n$ 的子空间.

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