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向量空间及其子空间
日期:
2023-01-02 16:26
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定义 1 设 $V$ 是 $n$ 维向量的集合,如果对于任意 $\boldsymbol{\alpha} \in V , \boldsymbol{\beta} \in V$ ,都有 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} \in V$ , 则称 $V$ 对向量的加法封闭; 如果对任意 $\boldsymbol{\alpha} \in V$ 及任意 $k \in \mathbf{R}$ ,都有 $k \boldsymbol{\alpha} \in V$ ,则称 $V$ 对向量的数乘封闭.   定义 2 设 $V$ 是 $n$ 维向量的集合,且 $V$ 非空,如果 $V$ 对向量的加法和数乘两种运算都封闭, 则称集合 $v$ 为向量空间. 例如, 例 1、例 2 中的集合均为非空的, 因为 $0=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right) \in V_1, e_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right) \in V_2$. 但是 $V_1$ 对向量的加法和数乘运算封闭,所以 $V_1$ 是向量空间, 但是 $V_2$ 对向量的加法和数乘运算均不封闭,所以 $V_2$ 不是向量空间.   例 6 设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s \in \mathbf{R}^n$ ,我们将向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 所有可能的线性组合 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s$ 构成的集 合记为 $\mathrm{L}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)=\left\{\boldsymbol{\alpha}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s \mid k_1, k_2, \cdots, k_s \in \mathbf{R}\right\}$, 容易验证, L $\left(\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)$ 是一个向量空间, 我们称之为由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 所张成的向量空间. 性质 3 设有向量空间 $V_1$ 与 $V_2$ ,如果 $V_1 \subseteq V_2$ (即 $V_1$ 是 $V_2$ 的子集),则称向量空间 $V_1$ 是 $V_2$ 的子空间. 例如,例 1 中的向量空间 $v_1$ 、例 4 中的向量空间 $S$ 均为 $n$ 维向量空间 $\mathbf{R}^n$ 的子空间. 那么 $V$ 就是 ${ R}^n$ 的子空间.
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搭建,最后更新于
2023-01-02 16:26
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