最后更新: 2025-04-30 15:58 查看: 590 次反馈同步训练

全微分

### 曲面的切平面
设空间有一曲面$M$（下图绿色图形），在曲面$M$上有一点$x$,过$x$做曲面的一个切线$\vec{v}$，此时点$x$有无数条切线，可以证明（见后面证明），这些切线在同一个平面上（下图粉红色图形），这个平面被称为切平面（Tangent space），记做$T_xM$
 ![图片](/uploads/2024-09/44c60f.svg){width=300px;}
 
 >通俗解释：想象一下把一个球放在桌子上，球面底部与桌面相切，此时桌面就是过该点的切平面。

关于切平面的详细介绍请参考[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395)
 
## 全微分的引入
在实际问题中，**通常函数$z=f(x,y)$比较复杂，直接计算增量会很麻烦，此时，我们希望考虑用 $\Delta x, \Delta y$ 的线性函数来代替全增量 $\Delta z$ 的问题** 即多元函数的线性逼近.

考虑一个简单的线性函数：比如对于平面 $z=a x+b y+c$ ，我们往 $x$ 方向走一个单位，$z$ 就会增加 $a$ ，往 $y$ 走一个单位，$z$ 就会增加 $b$ ，你也同时随便往 $x$ 走 $0.5$个单位，往 $y$ 走$0.6$个单位，$z$ 对应增加 $0.5 a+0.6 y$ ，这就是线性的力量！

但是，如果平面$z$变更为 $z'=a x^2+b y^2+c$ , 此时，再往$x$走一个单位，$z'$的值计算就变得复杂, 我们自然想法是，再不满足失真的情况下能否用$z$替代$z'$ 呢？

对于二元函数 $z=f(x, y)$ ，它对某个自变量的偏导数表示当其中一个自变量 固定时，因变量对另一个自变量的变化率. 相应地，我们可以定义二元函数的偏增量和偏微分.

$$
\Delta_x z=f(x+\Delta x, y)-f(x, y)
$$

$$
\Delta_y z=f(x, y+\Delta y)-f(x, y)
$$

分别称为二元函数对变量 $x$ 与 $y$ 的偏增量.

固定自变量 $y$ ，若 $\Delta_x z=f(x+\Delta x, y)-f(x, y)=A \Delta x+o(\Delta x)$ ，当 $f_x^{\prime}(x, y)$ 存在时，则有 $A=f_x^{\prime}(x, y)$ ， $f_x^{\prime}(x, y) \Delta x$ 称为二元函数 $z=f(x, y)$ 关于 $x$ 的偏微分，

同理，可以定义关于 $y$ 的 偏微分 $f_y^{\prime}(x, y) \Delta y$.
 
根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得

$$
\begin{aligned}
& f(x+\Delta x, y)-f(x, y) \approx f_x(x, y) \Delta x, \\
& f(x, y+\Delta y)-f(x, y) \approx f_y(x, y) \Delta y .
\end{aligned}
$$

## 多元微分中值定理
令函数 $f$ 是一个定义在 实数域上，取值在 $R$ 的函数，而且 $f$在一个包含点 $(a, b)$ 的开区间上存在偏导数 $f_x$ 和 $f_y$ 。则对任意的 $(h, k)$ ，当 $\|(h, k)\|$充分小时，存在数 $h^{\prime}$ 和 $k^{\prime}$ ，其中 $a+h^{\prime}$ 位于 $a$ 与 $a+h$ 之间，且 $b+k^{\prime}$ 位于 $b$ 和 $b+k$ 之间，使得式子

$$
\boxed{
f(a+h, b+k)-f(a, b)=h f_x\left(a+h^{\prime}, b+k\right)+k f_y\left(a, b+k^{\prime}\right) ...(6.6)
}
$$

成立，这被称作多元微分中值定理。

证明：  方程（6.6）的左边可写为

$$
f(a+h, b+k)-f(a, b)=f(a+h, b+k)-f(a, b+k)+f(a, b+k)-f(a, b)
$$

当 $|h|$ 和 $|k|$ 充分小时，一个小矩形边界上所有的点都在 $U$ 中（图3．1），而且一元函数 $f(x, b+k)$ 在从 $a$ 到 $a+h$ 的闭区间上是可微的．对于一元函数 $f(x, b+k)$ ，我们运用一元函数中值定理，得到存在位于 $a$ 和 $a+h$ 之间的一个数 $a+h^{\prime}$ ，使得下式成立：

$$
f(a+h, b+k)-f(a, b+k)=h f_x\left(a+h^{\prime}, b+k\right)
$$

类似地，函数 $f(a, y)$ 在 $b$ 和 $b+k$ 之间的区间上是可微的，再对于一元函数，运用中值定理，存在位于 $b$ 和 $b+k$ 之间的一个数 $b+k^{\prime}$ 使得下式成立：

$$
f(a, b+k)-f(a, b)=k f_y\left(a, b+k^{\prime}\right)
$$

把这两个方程相加，我们得到（6.6）式，从而完成了该定理的证明．
证毕．

![图片](/uploads/2025-04/2a4467.jpg){width=500px}
 
 ## 全微分的物理意义
通过一个物理题似乎更容易明白全微分想要表达的意义。下面我们看一个具体的问题.
设矩形的长和宽分别为 $x$ 和 $y$ ，则此矩形的面积 $S=x y$. 若铁块受热进行了膨胀， 若边长 $x$ 有增量 $\Delta x$ ， 边长 $y$ 有增量 $\Delta y$ 时 (见图 6-10)
则面积 $S$ 的相应的增量为

$$
\Delta S=(x+\Delta x)(y+\Delta y)-x y=y \Delta x+x \Delta y+\Delta x \cdot \Delta y .

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123133999f8.png)

$$
\Delta S=y \Delta x+x \Delta y+\Delta x \cdot \Delta y .
$$

可见， $\Delta S$ 包含两部分: 第一部分是 $y \Delta x+x \Delta y$ ，它是关于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 的一次式； 第二部分是 $\Delta x \cdot \Delta y$ ，它是关于 $\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ 的高阶无穷小，即

$$
0 \leq \frac{|\Delta x \cdot \Delta y|}{\rho}=\frac{|\Delta x \cdot \Delta y|}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} \leq \frac{1}{2} \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \rightarrow 0 .
$$

于是 $\Delta S=y \Delta x+x \Delta y+o(\rho)$. 即面积增量直接使用线性增量即可，用本例解释就是对于右上角那个高阶无穷小面积增量可以忽略。

> 这里，你或许会有疑问什么定义 $\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ 的高阶无穷小，我们将在下面解释

## 全微分的几何解释
 我们先明白一个概念：一个函数可微，意味着曲面上一点的增量可以用切平面增量替代该曲面的增量，反之一个曲面可以用切平面增量替代该曲面增量，我们称呼他是可微的，这就是定义的意思。
 
> **一个常见的问题是：为什么函数可微可以写成切平面近似方式？因为我们就这么定义的。这就像问为什么负数为什么比零小一样，是没有意义的。**

参考下图，再来理解一下全微分。

![图片](/uploads/2025-03/cadaa0.jpg){width=600px}

如果一个曲面是可微的，那么对于曲面上一点，可以使用切平面近似替代该点的曲面，使用切平面有啥好处？最主要是他简单，特别是对于函数值和自变量的关系是线性的，上面已经举例了，比如平面 $z=a x+b y+c$ ，我们往 $x$ 方向走一个单位，$z$ 就会增加 $a$ ，往 $y$ 走一个单位，$z$ 就会增加 $b$ ，你也同时随便往 $x$ 走 $0.5$个单位，往 $y$ 走$0.6$个单位，$z$ 对应增加 $0.5 a+0.6 y$ ，这就是线性的力量！

最后，我们只要搞清楚这里面的 $a$ 和 $b$ ，就可以去近似我们往某个方向走，函数值可以增加多少了。

接下来我们开始证明， 首先考虑一个可微函数  $z=f(x, y)$ 在点 $A\left(x_0, y_0\right)$ 处。我们可以用一个切平面来局部**近似**这个函数：

$$
z^{\prime}=a x+b y+c
$$

$z$ 的增量，用 $\Delta z$ 表示，可以写为：

$$
\Delta z=f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right) ...(1)
$$

利用线性近似，也就是上图中的红色平面来近似这个目标函数：

$$
\begin{g

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