最后更新: 2025-04-30 15:58 查看: 480 次反馈刷题

全微分

### 曲面的切平面
设空间有一曲面$M$（下图绿色图形），在曲面$M$上有一点$x$,过$x$做曲面的一个切线$\vec{v}$，此时点$x$有无数条切线，可以证明（见后面证明），这些切线在同一个平面上（下图粉红色图形），这个平面被称为切平面（Tangent space），记做$T_xM$
 ![图片](/uploads/2024-09/44c60f.svg){width=300px;}
 
 >通俗解释：想象一下把一个球放在桌子上，球面底部与桌面相切，此时桌面就是过该点的切平面。

关于切平面的详细介绍请参考[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395)
 
## 全微分的引入
在实际问题中，**通常函数$z=f(x,y)$比较复杂，直接计算增量会很麻烦，此时，我们希望考虑用 $\Delta x, \Delta y$ 的线性函数来代替全增量 $\Delta z$ 的问题** 即多元函数的线性逼近.

考虑一个简单的线性函数：比如对于平面 $z=a x+b y+c$ ，我们往 $x$ 方向走一个单位，$z$ 就会增加 $a$ ，往 $y$ 走一个单位，$z$ 就会增加 $b$ ，你也同时随便往 $x$ 走 $0.5$个单位，往 $y$ 走$0.6$个单位，$z$ 对应增加 $0.5 a+0.6 y$ ，这就是线性的力量！

但是，如果平面$z$变更为 $z'=a x^2+b y^2+c$ , 此时，再往$x$走一个单位，$z'$的值计算就变得复杂, 我们自然想法是，再不满足失真的情况下能否用$z$替代$z'$ 呢？

对于二元函数 $z=f(x, y)$ ，它对某个自变量的偏导数表示当其中一个自变量 固定时，因变量对另一个自变量的变化率. 相应地，我们可以定义二元函数的偏增量和偏微分.

$$
\Delta_x z=f(x+\Delta x, y)-f(x, y)
$$

$$
\Delta_y z=f(x, y+\Delta y)-f(x, y)
$$

分别称为二元函数对变量 $x$ 与 $y$ 的偏增量.

固定自变量 $y$ ，若 $\Delta_x z=f(x+\Delta x, y)-f(x, y)=A \Delta x+o(\Delta x)$ ，当 $f_x^{\prime}(x, y)$ 存在时，则有 $A=f_x^{\prime}(x, y)$ ， $f_x^{\prime}(x, y) \Delta x$ 称为二元函数 $z=f(x, y)$ 关于 $x$ 的偏微分，

同理，可以定义关于 $y$ 的 偏微分 $f_y^{\prime}(x, y) \Delta y$.
 
根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得

$$
\begin{aligned}
& f(x+\Delta x, y)-f(x, y) \approx f_x(x, y) \Delta x, \\
& f(x, y+\Delta y)-f(x, y) \approx f_y(x, y) \Delta y .
\end{aligned}
$$

## 多元微分中值定理
令函数 $f$ 是一个定义在 实数域上，取值在 $R$ 的函数，而且 $f$在一个包含点 $(a, b)$ 的开区间上存在偏导数 $f_x$ 和 $f_y$ 。则对任意的 $(h, k)$ ，当 $\|(h, k)\|$充分小时，存在数 $h^{\prime}$ 和 $k^{\prime}$ ，其中 $a+h^{\prime}$ 位于 $a$ 与 $a+h$ 之间，且 $b+k^{\prime}$ 位于 $b$ 和 $b+k$ 之间，使得式子

$$
\boxed{
f(a+h, b+k)-f(a, b)=h f_x\left(a+h^{\prime}, b+k\right)+k f_y\left(a, b+k^{\prime}\right) ...(6.6)
}
$$

成立，这被称作多元微分中值定理。

证明：  方程（6.6）的左边可写为

$$
f(a+h, b+k)-f(a, b)=f(a+h, b+k)-f(a, b+k)+f(a, b+k)-f(a, b)
$$

当 $|h|$ 和 $|k|$ 充分小时，一个小矩形边界上所有的点都在 $U$ 中（图3．1），而且一元函数 $f(x, b+k)$ 在从 $a$ 到 $a+h$ 的闭区间上是可微的．对于一元函数 $f(x, b+k)$ ，我们运用一元函数中值定理，得到存在位于 $a$ 和 $a+h$ 之间的一个数 $a+h^{\prime}$ ，使得下式成立：

$$
f(a+h, b+k)-f(a, b+k)=h f_x\left(a+h^{\prime}, b+k\right)
$$

类似地，函数 $f(a, y)$ 在 $b$ 和 $b+k$ 之间的区间上是可微的，再对于一元函数，运用中值定理，存在位于 $b$ 和 $b+k$ 之间的一个数 $b+k^{\prime}$ 使得下式成立：

$$
f(a, b+k)-f(a, b)=k f_y\left(a, b+k^{\prime}\right)
$$

把这两个方程相加，我们得到（6.6）式，从而完成了该定理的证明．
证毕．

![图片](/uploads/2025-04/2a4467.jpg){width=500px}
 
 ## 全微分的物理意义
通过一个物理题似乎更容易明白全微分想要表达的意义。下面我们看一个具体的问题.
设矩形的长和宽分别为 $x$ 和 $y$ ，则此矩形的面积 $S=x y$. 若铁块受热进行了膨胀， 若边长 $x$ 有增量 $\Delta x$ ， 边长 $y$ 有增量 $\Delta y$ 时 (见图 6-10)
则面积 $S$ 的相应的增量为

$$
\Delta S=(x+\Delta x)(y+\Delta y)-x y=y \Delta x+x \Delta y+\Delta x \cdot \Delta y .

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123133999f8.png)

$$
\Delta S=y \Delta x+x \Delta y+\Delta x \cdot \Delta y .
$$

可见， $\Delta S$ 包含两部分: 第一部分是 $y \Delta x+x \Delta y$ ，它是关于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 的一次式； 第二部分是 $\Delta x \cdot \Delta y$ ，它是关于 $\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ 的高阶无穷小，即

$$
0 \leq \frac{|\Delta x \cdot \Delta y|}{\rho}=\frac{|\Delta x \cdot \Delta y|}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} \leq \frac{1}{2} \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \rightarrow 0 .
$$

于是 $\Delta S=y \Delta x+x \Delta y+o(\rho)$. 即面积增量直接使用线性增量即可，用本例解释就是对于右上角那个高阶无穷小面积增量可以忽略。

> 这里，你或许会有疑问什么定义 $\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ 的高阶无穷小，我们将在下面解释

## 全微分的几何解释
 我们先明白一个概念：一个函数可微，意味着曲面上一点的增量可以用切平面增量替代该曲面的增量，反之一个曲面可以用切平面增量替代该曲面增量，我们称呼他是可微的，这就是定义的意思。
 
> **一个常见的问题是：为什么函数可微可以写成切平面近似方式？因为我们就这么定义的。这就像问为什么负数为什么比零小一样，是没有意义的。**

参考下图，再来理解一下全微分。

![图片](/uploads/2025-03/cadaa0.jpg){width=600px}

如果一个曲面是可微的，那么对于曲面上一点，可以使用切平面近似替代该点的曲面，使用切平面有啥好处？最主要是他简单，特别是对于函数值和自变量的关系是线性的，上面已经举例了，比如平面 $z=a x+b y+c$ ，我们往 $x$ 方向走一个单位，$z$ 就会增加 $a$ ，往 $y$ 走一个单位，$z$ 就会增加 $b$ ，你也同时随便往 $x$ 走 $0.5$个单位，往 $y$ 走$0.6$个单位，$z$ 对应增加 $0.5 a+0.6 y$ ，这就是线性的力量！

最后，我们只要搞清楚这里面的 $a$ 和 $b$ ，就可以去近似我们往某个方向走，函数值可以增加多少了。

接下来我们开始证明， 首先考虑一个可微函数  $z=f(x, y)$ 在点 $A\left(x_0, y_0\right)$ 处。我们可以用一个切平面来局部**近似**这个函数：

$$
z^{\prime}=a x+b y+c
$$

$z$ 的增量，用 $\Delta z$ 表示，可以写为：

$$
\Delta z=f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right) ...(1)
$$

利用线性近似，也就是上图中的红色平面来近似这个目标函数：

$$
\begin{gathered}
\Delta z^{\prime}=a\left(x_0+\Delta x\right)+b\left(y_0+\Delta y\right)+c-\left(a x_0+b y_0+c\right)=a \Delta x+b \Delta y \\
\Delta z^{\prime}=a \Delta x+b \Delta y  ...(2)
\end{gathered}
$$

其中 $a, b$ 是待定常数。 $\Delta z$ 和线性近似之间的误差error，即上图中的黄色虚线，我们定义他的值为 error(就是误差的意思)：

$$
\Delta z-\Delta z^{\prime}=\text { error }
$$

当 $\Delta x, \Delta y \rightarrow 0$ 时，我们将误差项表示为 $\epsilon(\Delta x, \Delta y)$

由于函数是可微的，无论从哪个方向逼近，都可以保证误差项足够小。所以我们可以写为：

$$
\Delta z=a \Delta x+b \Delta y+\epsilon(\Delta x, \Delta y) ...(3)
$$

此外，可微性意味着误差项为距离的高阶无穷小

$o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)$ ，即 $\frac{\epsilon(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} \rightarrow 0$ ，其中 $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ 表示点 $A\left(x_0, y_0\right)$ 和点 $\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)$（图中的蓝线）的距离。 所以定义了 $\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$

这里不想看也没关系，这一步主要的目的就是想表达，用平面去近似的误差的非常小的。

接下来求 $a$ 和 $b$
我们先考虑在 $x$ 方向变化对 $z$ 的影响，我们首先设 $\Delta y=0$ ，只考虑 $x$ 方向的变化，而 $\Delta z$ 有两种表示方式，分别是（1）和（3），因此变化率 $\frac{\Delta z}{\Delta x}$ ：

$$
\begin{aligned}
\left.\frac{\Delta z}{\Delta x}\right|_{\Delta y=0}=\left.\frac{(1)}{\Delta x}\right|_{\Delta y=0} & =\left.\frac{(3)}{\Delta x}\right|_{\Delta y=0} \\
=\frac{f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x} & =\frac{a \Delta x+\epsilon(\Delta x, 0)}{\Delta x}
\end{aligned}
$$

让 $\Delta x \rightarrow 0$ ，方程的左侧变为：

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}=\frac{\partial f}{\partial x}
$$

同理，可以求出$b$

## 再次理解二元函数可微分的几何意义

在上面介绍曲面时，使用的$z=ax+bx+c$是线性函数，那么对于非线性函数是否可以用线下替代呢？
 
下图进一步标注了可微分的几何意义，当二元函数变量由 $f(a,b)$ 变更为$(a+\Delta x, b+\Delta y)$ 时，即由下图标注的$A$变更为$B$的曲面时，我们可以使用切平面代替曲面的变化。
 ![图片](/uploads/2024-12/531baa.jpg)

当使用偏导数近似代替全微分时，也就是上图里，使用切平面面积替代曲面面积，那么这个误差是否可以忽略呢？
可以通过一个简单的函数进行验算：函数 $z=x^2+y^2$ ，在点 $(1,1)$ 处

$$
\begin{aligned}
& \Delta z=f(1+\Delta x, 1+\Delta y)-f(1,1) \\
& =(1+\Delta x)^2+(1+\Delta y)^2-2 \\
& =\underbrace{2 \Delta x+2 \Delta y}_{\Delta x, \Delta y \text { 的线生函数 }}+(\Delta x)^2+(\Delta y)^2 .
\end{aligned}
$$

参考下图
![图片](/uploads/2024-12/a47425.jpg){width=300px}

$$
\begin{aligned}
& =\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\
\Delta y \rightarrow 0}} \frac{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} \\
& =\lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho^2}{\rho} \\
& =\lim _{\rho \rightarrow 0} \rho \\
& =0
\end{aligned}
$$

说明  $(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$ 是比 $\rho$的高阶无穷小，所以可以线性替换。

## 如何理解高阶无穷小
上面说过，函数可微以为这可以用切平面替代原始曲面，即

$$
\underbrace{f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)}_{\text {曲面 }}=\underbrace{f\left(x_0, y_0\right)+\frac{\partial f}{\partial x} \Delta x+\frac{\partial f}{\partial y} \Delta y}_{\text {切平面 }}+\underbrace{o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)}_{\text {代表非常小的值 }}
$$

上面出现了 $o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)$

这是以此点的邻域是半径为$r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$的圆，通俗解释就是我以$f(x_0,y_0)$ 为圆心，以$r$为半径，在这个范围内**任意**走极小的距离，他的原始曲面都可以用近似切平面代替。我们称呼具有这个属性的曲面是“**可微曲面**”，

![图片](/uploads/2025-01/8b5132.jpg){width=500px}

我们看一个特例，假设一个函数图像如下图，和上图相比，在 $f(x_0,y_0)$ 临域内，出现了一个“㓊”，这时这个函数就不是可微的。 如何表达这个“临域内”，就是以 $f(x_0,y_0)$ 为圆心，以无穷小的$r$为半径。所以使用了  $r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ 
 
  ![图片](/uploads/2025-04/5871c4.jpg){width=500px}

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