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最后更新: 2024-11-10 08:42 查看: 479 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

多元函数复合求导链式法则

复合函数的求导法则分为一元函数的求导法则和多元函数(偏导数)的求导法则，本文介绍的多元函数的求导法则，要查看一元函数的求导发展，请点击一元函数复合求导链式法则

设 $u = φ (x)$ 在点 $x$ 可导，而 $y = f (u)$ 在对应点 $u$ 处可导，则复合函数 $y = f [φ (x)]$ 在点 $x$ 处可导，且有 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ . 这就是一元函数的复合求导的 “链式法则"，函数之间的关系可以用这样的结构图来表示: $y \to u \to x$ .
这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 由于多元函数的构成比较复杂，所以一元函数的 “链式图" 就变成了多元函数的 "树图" .
例如， $u = f (x, y, z)$ 用结构图来表示就是

而 $z = f (x, y)$ 与 $y = φ (x)$ 复合而成的函数 $z = f (x, φ (x))$ 的结构图为

复合函数的中间变量为一元函数的情形

定理1 设 $u = u (t), v = v (t)$ 均在 $t$ 处可导，函数 $z = f (u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 处有连续的偏导数，则它们构成的复合函数 $z = f [u (t), v (t)]$ 在 $t$ 处可导，且有导数公式

\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{d u}{d t} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{d v}{d t} . . . (1) .

公式 (1) 中的导数 $\frac{d z}{d t}$ 称为全导数.
对于此定理我们不予证明，只用结构图来做一下说明.
公式 (1) 的右边是偏导数与导数乘积的和式，它与函数自身的结构有密切的关系.
$z$ 是 $u, v$ 的二元函数，而 $u$ 和 $v$ 都是 $t$ 的一元函数，我们用函数的结构图来表示，就是

从结构图中可以看出， $z$ 通过中间变量 $u$ 和 $v$ 到达 $t$ 有两条路径，而公式 (1) 右侧恰好有两式相加，而每条路径上都是两项的乘积，是对应的函数的偏导数和导数的乘积.

这种方法可以推广到三元函数的情形，例如，设 $u = u (t), v = v (t), w = w (t)$ 均在 $t$ 处可导， $z = f (u, v, w)$ 在对应点处具有连续的导数，求复合函数 $z = f [u (t), v (t), w (t)]$ 的全导数.则函数的结构图是

从函数的结构图中可以看出，由 $z$ 经中间变量 $u, v, w$ 到达 $t$ 有三条路径，因此公式中应该是三项之和，所以它的全导数为

\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{d u}{d t} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{d v}{d t} + \frac{\partial z}{\partial w} \frac{d w}{d t} .

例题

例1 设 $z = u v$ ，而 $u = e^{t}, v = \cos t$ , 求导数 $\frac{d z}{d t}$ .
解由公式 $\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{d u}{d t} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{d v}{d t}$ . 知

\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{d u}{d t} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{d v}{d t} = v e^{t} - u \sin t = e^{t} (\cos t - \sin t) .

注我们也可以把 $u = e^{t}, v = \cos t$ 表达式代入到 $z = u v$ 中，即 $z = e^{t} \cos t$ ，然后直接求一元函数的导数 $\frac{d z}{d t}$ .

例2设 $u = \frac{y}{x} ， y = \sqrt{1 - x^{2}}$ ，求 $\frac{d u}{d x}$

解：由上面的定理，有 $\frac{d u}{d x} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} \frac{- y}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
代入 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 之后通分有 $\frac{d u}{d x} = - \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}$
(这个题当然可以变化成 $u = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$ 来对 $x$ 求导)

在多元函数符合求导中，核心步骤是正确画出树图，当只有 $x, y$ 两个变元时相对简单，但是如果变元多了，就不容易直接口算得出。

例3 设 $z = \ln (u + v) + e^{t}$ ，而 $u = 2 t, v = t^{2}$ , 求导数 $\frac{d z}{d t}$ .
解函数的结构图为

这里 $w = e^{t}$ 是为了方便理解添加的中间变量. 因此

\begin{aligned} \frac{d z}{d t} & = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{d u}{d t} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{d v}{d t} + \frac{\partial z}{\partial t} \cdot \frac{d t}{d t} = \frac{1}{u + v} \cdot 2 + \frac{1}{u + v} \cdot 2 t + e^{t} \\ = \frac{1}{2 t + t^{2}} \cdot 2 + \frac{1}{2 t + t^{2}} \cdot 2 t + e^{t} = \frac{2 + 2 t}{2 t + t^{2}} + e^{t} . \end{aligned}

注解中的 $\frac{d z}{d t}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial t}$ 的含义是不一样的.
$\frac{d z}{d t}$ 表示复合以后的一元函数 $z = f [u (t), v (t), w (t)]$ 对 $t$ 的全导数，而 $\frac{\partial z}{\partial t}$ 表示复合前的三元函数 $z = \ln (u + v) + e^{t}$ 对第三个自变量 $t$ 的偏导数.

进一步深入与在线教程

上面简单介绍了多元复合函数的基本入门，接下来，将进入更为复杂的符合函数求导：
(1)复合函数的中间变量为多元函数的情形

(2)隐函数的求导公式

由于本章较为抽象，可以点击宋浩视频教程查看在线教程。

## 多元函数复合求导链式法则

> 复合函数的求导法则分为**一元函数的求导法则**和**多元函数(偏导数)的求导法则**，本文介绍的多元函数的求导法则，要查看一元函数的求导发展，请点击 [一元函数复合求导链式法则](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=290)

设 $u=\varphi(x)$ 在点 $x$ 可导，而 $y=f(u)$ 在对应点 $u$ 处可导，则 复合函数 $y=f[\varphi(x)]$ 在点 $x$ 处可导，且有 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$. 这就是 一元函数的复合求导的 “链式法则"，函数之间的关系可以用 这样的结构图来表示: $y \rightarrow u \rightarrow x$.
这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 由于多元函数 的构成比较复杂，所以一元函数的 “链式图" 就变成了多元函数的 "**树图**" .
例如， $u=f(x, y, z)$ 用结构图来表示就是
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231ed93961.png){width=200px}

而 $z=f(x, y)$ 与 $y=\varphi(x)$ 复合而成的函数 $z=f(x, \varphi(x))$ 的结构图为

![图片](/uploads/2022-12/image_202212312aa931a.png){width=200px}

### 复合函数的中间变量为一元函数的情形
**定理1** 设 $u=u(t), v=v(t)$ 均在 $t$ 处可导，函数 $z=f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 处有连续的偏导数，则它们构成的复合函数 $z=f[u(t), v(t)]$ 在 $t$ 处可导， 且有导数公式

$$
 \boxed{
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}  ...(1).
}
$$

公式 (1) 中的导数 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ 称为**全导数**.
对于此定理我们不予证明，只用结构图来做一下说明.
公式 (1) 的右边是偏导数与导数乘积的和式，它与函数自身的结构有密切 的关系.
$z$ 是 $u, v$ 的二元函数，而 $u$ 和 $v$ 都是 $t$ 的一元函数，我们用函数的结构图来表示，就是
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231d62ed32.png){width=200px} 
从结构图中可以看出， $z$ 通过中间变量 $u$ 和 $v$ 到达 $t$ 有两条路径，而公式 (1) 右侧恰好有两式相加，而每条路径上都是两项的乘积，是对应的函数的偏导数和导数的乘积.

这种方法可以推广到三元函数的情形， 例如，设 $u=u(t), v=v(t), w=w(t)$ 均在 $t$ 处可导， $z=f(u, v, w)$ 在对应点处具有连续的导数，求复合函数 $z=f[u(t), v(t), w(t)]$ 的全导数.则函数的结构图是
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231f81383e.png){width=200px}

从函数的结构图中可以看出，由 $z$ 经中间变量 $u, v, w$ 到达 $t$ 有三条路径，因此公式中应该是三项之和，所以它的全导数为

$$
\boxed{
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial w} \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{~d} t} .
}
$$

## 例题

`例` 设 $z=u v$ ，而 $u=\mathrm{e}^t, v=\cos t$, 求导数 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$.
解 由公式 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}$. 知

$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=v \mathrm{e}^t-u \sin t=\mathrm{e}^t(\cos t-\sin t) .
$$

注 我们也可以把 $u=\mathrm{e}^t, v=\cos t$ 表达式代入到 $z=u v$ 中，即 $z=\mathrm{e}^t \cos t$ ，然后 直接求一元函数的导数 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$.

`例`设 $u=\frac{y}{x} ， y=\sqrt{1-x^2}$ ，求 $\frac{d u}{d x}$

解：由上面的定理，有 $\frac{d u}{d x}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x^2}+\frac{1}{x} \frac{-y}{\sqrt{1-x^2}}$
代入 $y=\sqrt{1-x^2}$ 之后通分有 $\frac{d u}{d x}=-\frac{1}{x^2 \sqrt{1-x^2}}$
(这个题当然可以变化成 $u=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ 来对 $x$ 求导)

在多元函数符合求导中，核心步骤是正确画出树图，当只有$x,y$两个变元时相对简单，但是如果变元多了，就不容易直接口算得出。

`例` 设 $z=\ln (u+v)+\mathrm{e}^t$ ，而 $u=2 t, v=t^2$, 求导数 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$.
解 函数的结构图为
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231a4f0d6a.png){width=200px}

这里$w=e^t$ 是为了方便理解添加的中间变量. 因此

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t} & =\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} t}=\frac{1}{u+v} \cdot 2+\frac{1}{u+v} \cdot 2 t+\mathrm{e}^t \\
& =\frac{1}{2 t+t^2} \cdot 2+\frac{1}{2 t+t^2} \cdot 2 t+\mathrm{e}^t=\frac{2+2 t}{2 t+t^2}+\mathrm{e}^t .
\end{aligned}
$$

注 解中的 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial t}$ 的含义是不一样的.
$\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ 表示复合以后的一元函数 $z=f[u(t), v(t), w(t)]$ 对 $t$ 的全导数，而 $\frac{\partial z}{\partial t}$ 表示复合前的三元函数 $z=\ln (u+v)+\mathrm{e}^t$ 对第三个自变量 $t$ 的偏导数.

## 进一步深入与在线教程
上面简单介绍了多元复合函数的基本入门，接下来，将进入更为复杂的符合函数求导：
(1)[复合函数的中间变量为多元函数的情形](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=386)

(2)[隐函数的求导公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=388)

由于本章较为抽象，可以点击 [宋浩视频教程](
https://www.bilibili.com/video/BV1Eb411u7Fw?p=101) 查看在线教程。

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