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施密特正交化过程
日期:
2023-01-02 17:14
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设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 是向量空间 $V$ 的一个基，从基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 出发，找一组两两正交的单位向量， $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r ，$ 使 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 等价， 这个过程称为把基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 规范正交化. 具体步骤如下: 第一步，将基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 正交化 (施密特 (Schmidt) 正交化过程) . $$ \begin{aligned} & \beta_1=\alpha_1, \\ & \beta_2=\alpha_2-\frac{\left[\beta_1, \alpha_2\right]}{\left[\beta_1, \beta_1\right]} \beta_1, \\ & \text { 即取 } \beta_3=\alpha_3-\frac{\left[\beta_1, \alpha_3\right]}{\left[\beta_1, \beta_1\right]} \beta_1-\frac{\left[\beta_2, \alpha_3\right]}{\left[\beta_2, \beta_2\right]} \beta_2 \text {, } \\ & \end{aligned} $$ 第二步，将 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r$ 单位化，得到 $\xi_1=\frac{1}{\left\|\beta_1\right\|} \beta_1, \quad \xi_2=\frac{1}{\left\|\beta_2\right\|} \beta_2, \cdots, \xi_r=\frac{1}{\left\|\beta_r\right\|} \beta_r$ 于是， $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_2$ 就是 $V$ 的一个规范正交基.  
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搭建，最后更新于
2023-01-02 17:14
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