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高等数学
第六章 多元函数微分学
多元函数复合求导链式法则 Part1
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更新:
2025-04-02 06:58
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多元函数复合求导链式法则 Part1
## 多元函数复合求导链式法则 > 复合函数的求导法则分为**一元函数的求导法则**和**多元函数(偏导数)的求导法则**,本文介绍的多元函数的求导法则,要查看一元函数的求导发展,请点击 [一元函数复合求导链式法则](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=290) 设 $u=\varphi(x)$ 在点 $x$ 可导,而 $y=f(u)$ 在对应点 $u$ 处可导,则 复合函数 $y=f[\varphi(x)]$ 在点 $x$ 处可导,且有 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$. 这就是 一元函数的复合求导的 “链式法则",函数之间的关系可以用 这样的结构图来表示: $y \rightarrow u \rightarrow x$. 这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 由于多元函数 的构成比较复杂,所以一元函数的 “链式图" 就变成了多元函数的 "**树图**" . 例如, $u=f(x, y, z)$ 用结构图来表示就是 {width=200px} 而 $z=f(x, y)$ 与 $y=\varphi(x)$ 复合而成的函数 $z=f(x, \varphi(x))$ 的结构图为 {width=200px} ## 复合函数的中间变量为一元函数的情形 **定理1** 设 $u=u(t), v=v(t)$ 均在 $t$ 处可导,函数 $z=f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 处有连续的偏导数,则它们构成的复合函数 $z=f[u(t), v(t)]$ 在 $t$ 处可导, 且有导数公式 $$ \boxed{ \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} ...(1). } $$ 公式 (1) 中的导数 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ 称为**全导数**. 对于此定理我们不予证明,只用结构图来做一下说明. 公式 (1) 的右边是偏导数与导数乘积的和式,它与函数自身的结构有密切 的关系. $z$ 是 $u, v$ 的二元函数,而 $u$ 和 $v$ 都是 $t$ 的一元函数,我们用函数的结构图来表示,就是 {width=200px} 从结构图中可以看出, $z$ 通过中间变量 $u$ 和 $v$ 到达 $t$ 有两条路径,而公式 (1) 右侧恰好有两式相加,而每条路径上都是两项的乘积,是对应的函数的偏导数和导数的乘积. 这种方法可以推广到三元函数的情形, 例如,设 $u=u(t), v=v(t), w=w(t)$ 均在 $t$ 处可导, $z=f(u, v, w)$ 在对应点处具有连续的导数,求复合函数 $z=f[u(t), v(t), w(t)]$ 的全导数.则函数的结构图是 {width=200px} 从函数的结构图中可以看出,由 $z$ 经中间变量 $u, v, w$ 到达 $t$ 有三条路径,因此公式中应该是三项之和,所以它的全导数为 $$ \boxed{ \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial w} \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{~d} t} . } $$ ## 例题 `例` 设 $z=u v$ ,而 $u=\mathrm{e}^t, v=\cos t$, 求导数 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$. 解 由公式 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}$. 知 $$ \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=v \mathrm{e}^t-u \sin t=\mathrm{e}^t(\cos t-\sin t) . $$ 注 我们也可以把 $u=\mathrm{e}^t, v=\cos t$ 表达式代入到 $z=u v$ 中,即 $z=\mathrm{e}^t \cos t$ ,然后 直接求一元函数的导数 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$. `例`设 $u=\frac{y}{x} , y=\sqrt{1-x^2}$ ,求 $\frac{d u}{d x}$ 解:由上面的定理,有 $\frac{d u}{d x}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x^2}+\frac{1}{x} \frac{-y}{\sqrt{1-x^2}}$ 代入 $y=\sqrt{1-x^2}$ 之后通分有 $\frac{d u}{d x}=-\frac{1}{x^2 \sqrt{1-x^2}}$ (这个题当然可以变化成 $u=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ 来对 $x$ 求导) 在多元函数符合求导中,核心步骤是正确画出树图,当只有$x,y$两个变元时相对简单,但是如果变元多了,就不容易直接口算得出。 `例` 设 $z=\ln (u+v)+\mathrm{e}^t$ ,而 $u=2 t, v=t^2$, 求导数 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$. 解 函数的结构图为 {width=200px} 这里$w=e^t$ 是为了方便理解添加的中间变量. 因此 $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t} & =\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} t}=\frac{1}{u+v} \cdot 2+\frac{1}{u+v} \cdot 2 t+\mathrm{e}^t \\ & =\frac{1}{2 t+t^2} \cdot 2+\frac{1}{2 t+t^2} \cdot 2 t+\mathrm{e}^t=\frac{2+2 t}{2 t+t^2}+\mathrm{e}^t . \end{aligned} $$ 注 解中的 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial t}$ 的含义是不一样的. $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ 表示复合以后的一元函数 $z=f[u(t), v(t), w(t)]$ 对 $t$ 的全导数,而 $\frac{\partial z}{\partial t}$ 表示复合前的三元函数 $z=\ln (u+v)+\mathrm{e}^t$ 对第三个自变量 $t$ 的偏导数. ## 进一步深入与在线教程 上面简单介绍了多元复合函数的基本入门,接下来,将进入更为复杂的符合函数求导: (1)[复合函数的中间变量为多元函数的情形](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=386) (2)[隐函数的求导公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=388) 由于本章较为抽象,可以点击 [宋浩视频教程]( https://www.bilibili.com/video/BV1Eb411u7Fw?p=101) 查看在线教程。
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