最后更新: 2025-05-05 09:57 查看: 433 次反馈刷题

第二类曲线积分(对坐标积分)

## 第二类曲线积分的引入
第二类曲线积分也称作对坐标的曲线积分，**他的物理意义是质点受变力作用沿平面曲线运动作功问题**。

若 $F$ 为常力，质点沿有向线段 $\overline{A B}$ 从点 $A$ 运动到点 $B$ ，设 $\theta$ 为 $F$ 与 $\overline{A B}$ 的夹 角 (见图 7-52)，
则有
$W=|F| \cos \theta|\overrightarrow{A B}|=F \cdot \overrightarrow{A B}$.
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现在考虑质点受**变力** $F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y) j$ 作用沿平面曲线 $L=A B$ 运 动作功问题.
将 $A B$ 任意地分成 $r$ 个小弧段 $\Delta s_i=M_{i-1} M_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，当每个小弧段的长 度很小时，我们取其中一小弧段 $M_{i-1} M_i$ 来考虑，

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**分割**
根据上面解释，我们用分点 $A=A_0, A_1, \cdots, A_n=B$ 将曲线 $\overparen{A B}$ 任意分割成 $n$ 段小弧

![图片](/uploads/2025-05/36829b.jpg)
 
$$
\overparen{A_{i-1} A_i} \quad(i=1,2, \cdots, n),
$$

设第 $i$ 小段的弧长为 $\Delta s_i$ 。当 $\Delta s_i$ 很小时， $F$ 在 $A_{i-1} A_i$上的变化不大，可近似地看作为常力 $F \left( \xi _i, \eta_i\right)$ ，其中 $\left(\xi_i, \eta_i\right)$ 为弧段 $\overparen{A_{i-1} A_i}$ 上任意取定的一点；同时可将质点的运动路径 $\overparen{A_{i-1}} A_i$ 近似地看作从 $A_{i-1}$ 到 $A_i$ 的直线 （见上图）．于是力 $F$ 在这段上所做的功 $\Delta W_i$ 近似为

$$
\Delta W_i \approx F \left(\xi_i, \eta_i\right) \cdot \overrightarrow{A_{i-1} A_i}
$$

设 $F (x, y)=P(x, y) i +Q(x, y) j$ ．又

$$
\widehat{A_{i-1} A_i}=\Delta x_i i+\Delta y_i j,
$$

其中 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \Delta y_i=y_i-y_{i-1} \quad(i=1, \cdots, n)$ ．于是功可写成

$$
\Delta W_i \approx P\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta x_i+Q\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta y_i, \quad i=1,2, \cdots, n
$$

再积分就是所求总功 $W$。

抛开这个问题的物理意义，对此和式极限进行抽象，就得到第二类曲线积分的 定义.

## 第二类曲线积分第一定义（对坐标的曲线积分）
**定义1** 设 $L$ 为 $x O y$ 平面上从点 $A$ 到点 $B$ 的一条有向光滑(或分段光滑)的曲线弧，函数 $P(x, y) 、 Q(x, y)$ 在 $L$ 上有界，在 $L$ 上沿 $L$ 的方向任意取点 $M_1\left(x_1, y_1\right) 、 M_2\left(x_2, y_2\right) \ldots$ ， $M_{n-1}\left(x_{n-1,1} y_{n-1}\right)$ 将 $L$ 分成 $n$ 段小弧，记 $\Delta s_i=M_{i-1} M_i ， \Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \Delta y_i=y_i-y_{i-1}$ $\left(i=1,2, \cdots, n, M_0\left(x_0, y_0\right)=A, M_n\left(x_n, y_n\right)=B\right) ， \Delta s_i$ 也为该段的弧长. $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta s_i\right\}$ ， 任取 $\left(\xi_i, \eta_i\right) \in \Delta s_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，若 $\lim _{\lambda \rightarrow 0}=\sum_{i=1}^n P\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta x_i$ 存在，则称此极限为函数 $P(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上对坐标 $x$ 的曲线积分，记作 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x$;
同理，若 $\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n Q\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta y_i$ 存在，则称此极限为函数 $Q(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上 对坐标 $x$ 的曲线积分，记作 $\int_L Q(x, y) \mathrm{d} y$ ，
即

$$
\begin{aligned}
& \int_L P(x, y) \mathrm{d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n P\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta x_i \\
& \int_L Q(x, y) \mathrm{d} y=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n Q\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta y_i
\end{aligned}
$$

其中 $P(x, y) ， Q(x, y)$ 称为被积函数，称 $L$ 为有向曲线弧段或有向积分路径.以上两个积分也称为**第二类曲线积分**.

可以证明，若 $P(x, y) 、 Q(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上连续，则 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x$ ， $\int_L Q(x, y) \mathrm{d} y$ 存在，且可记

$$
\boxed{
\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+\int_L Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y  
}
$$

## 第二类曲线积分的第二定义（向量定义）
**定义2** 设 $L$ 为一段有向光滑曲线， $F (x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j$ 为定义在 $L$ 上的有界函数 ， $e _\tau(x, y)$ 为 $L$ 上点 $(x, y)$ 处有向曲线的单位切向量，若 $\int_L F(x, y) \cdot e_\tau(x, y) d s$ 存在，则称该积分为函数 $F(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上的积分，也称为第二类曲线积分，记作 $\int_L F (x, y) \cdot d r$ ，即

$$
\int_L F (x, y) \cdot d r =\int_L F (x, y) \cdot e _\tau(x, y) d s ...(1)
$$

相比第一轮曲线积分，第二类曲线积分要抽象的多，这里从物理学的角度来理解第二类曲线积分。
#### 物理学中的上抛
想象物理学中的上抛运动，一个小球被抛出后，沿着曲线运行。对于小球受到的力$F$，传统上我们都是按照沿着水平的$x$轴和沿着垂直的$y$轴建立直角坐标系，这样力$F$就被分解为水平力$P(x,y)i$ 和垂直力$Q(x,y)j$，**这可以认为是力的第一次正交分解**。 参考下图
 ![图片](/uploads/2025-05/0766e6.jpg){WIDTh=400px}

但是，此时还不好计算$P,Q$做的功，我们需要再次分解，但是这次分解，我们按照小球运动的轨迹分解

我们**再次把运动轨迹分解**为沿着曲线切线方向(也就是速度方向)的路径和垂直速度方向的路径。
此时，要求$P,Q$做的功，就可以把 $P$分解为沿着速度v方向的力和沿着垂直速度方向的力。因为垂直速度方向力的不做功，因此，我们只要关注沿着速度方向的力即可，参考上图，很明显$P$在速度方向上投影分量是 $P \cos \alpha$ ,同理，$Q$力在速度方向的投影为$Q \cos \beta$.

理解了上面的解释后，再来理解曲线积分的第二定义

#### 第二定义
从定义（1）可知，向量值函数 $F (x, y)$ 在定向曲线 $L$ 上的第二类曲线积分就是数量值函数 $F (x, y) \cdot e _\tau(x, y)$ 在曲线 $L$ 上的第一类曲线积分，若令 $e _\tau(x$ ， $y)=\cos \alpha i+\cos \beta j$（这里 $\alpha, \beta$ 是切向量 $e _\tau(x, y)$ 关于 $x$ 轴和 $y$ 轴的夹角， 也就是速度与x,y 轴夹角），则

$$
F (x, y) \cdot e _\tau(x, y)=P(x, y) \cos \alpha+Q(x, y) \cos \beta
$$

从而积分

$$
\begin{aligned}
\int_L F (x, y) \cdot d r & =\int_L F (x, y) \cdot e _\tau(x, y) d s=\int_L[P(x, y) \cos \alpha+Q(x, y) \cos \beta] d s \\
& =\int_L P(x, y) \cos \alpha d s+\int_L Q(x, y) \cos \beta d s ...(2.1)
\end{aligned}
$$

若记 $\int_L P(x, y) \cos \alpha d s$ 为 $\int_L P(x, y) d x$ ，记 $\int_L Q(x, y) \cos \beta d s$ 为 $\int_L Q(x, y) d y$ ，即有

$$
{
\int_L P(x, y) d x=\int_L P(x, y) \cos \alpha d s, \int_L Q(x, y) d y=\int_L Q(x, y) \cos \beta d s
}
$$

从而可得第二类曲线积分的另一种表达式

$$
\boxed {
\int_L F (x, y) \cdot d r =\int_L P(x, y) d x+\int_L Q(x, y) d y = \int_L P(x, y) d x+Q(x, y) d y
}
$$

所以又称第二类曲线积分为**对坐标的曲线积分**．
由定义可看出， $d x=\cos \alpha d s, d y=\cos \beta d s$ ，即 $d x$ 是切向量 $d r = e _\tau(x, y) d s$在 $x$ 轴上的投影， $d y$ 是 $d r = e _\tau(x, y) d s$ 在 $y$ 轴上的投影，如下图所示，微弧$ds$它们有关系

$$
(d s)^2=(d x)^2+(d y)^2 .
$$

![图片](/uploads/2025-04/180841.jpg)

切向量 $\tau=(\cos \alpha d s, \cos \beta d s)=( d x, d y)$ ．

> 在应用中，积分 $\int_L P(x, y) d x, \int_L Q(x, y) d y$常一起出现，但对同一个函数，要注意区分积分 $\int_L f(x, y) d x, \int_L f(x, y) d y, \int_L f(x, y) d s$ 的含义．

在实际问题中一般用向量式 $\int_L F(x, y) \cdot d r$ 表示要求的量，用坐标式计算该量．如前面所说的功，可表示为 $W=\int_L F \cdot d r$ ，其中 $F \cdot d r$ 表示力 $F$ 与位移元素 $d r$ 的数量积，它表示功元素 $d W$ 。

如果 $L$ 为分段光滑有向曲线时，则 $L$ 上的曲线积分定义为各光滑曲线段上的积分之和。

当 $F (x, y)$ 在分段光滑曲线 $L$ 上连续时， $\int_L F (x, y) \cdot d r$ 存在．

#### 核心总结
对于公式
$$
\boxed{
\int_L P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\int_L(P(x, y) \cos \alpha+Q(x, y) \cos \beta) d s
}
$$

> **上述公式左边可以理解为将力和位移都分解为 $x$ 和 $y$ 方向分别求解再相加来求功，右边可以理解为将力投影到位移方向再相乘求功。于是，我们也可以理解了书上的公式**

$$
\int_{\Gamma} A \cdot d r =\int_{\Gamma} A \cdot \tau d s
$$

**等式左边表示力与位移的数量积的方式求功，右边表示力投影到位移方向求功。**

## 第二类曲线积分基本性质
性质1 (线性性) 设 $\alpha 、 \beta$ 是常数，则

$$
\int_L\left[\alpha \boldsymbol{F}_1(x, y)+\beta \boldsymbol{F}_2(x, y)\right] \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=\alpha \int_L \boldsymbol{F}_1(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}+\beta \int_L \boldsymbol{F}_2(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r} ；
$$

性质2 (对区间的可加性) 设有向曲线弧 $L$ 由两段有向曲线弧 $L_1$ 和 $L_2$ 组成， 则

$$
\int_L \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=\int_{L_1} \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}+\int_{L_2} \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}
$$

对坐标的曲线积分还有一个特有的性质如下:
性质3 (**方向性**) 设 $L$ 是有向曲线弧， $L^{-}$是 $L$ 反向曲线弧，则有

$$
\int_{\Sigma} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=-\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y
$$

这个性质表示, 当积分的弧段的方向改变时，对坐标的曲线积分要改变符号. 因此，对于对坐标的曲线积分，必须注意积分弧段的方向.

## 推广
**定义3** 可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧 $I$ (总假定光滑 $\Gamma$ 且具有 有限长度）的情形：

$$
\begin{aligned}
& \int_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n P\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta x_i \\
& \int_{\Gamma} Q(x, y, z) \mathrm{d} y=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n Q\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta y_i \\
& \int_{\Gamma} R(x, y, z) \mathrm{d} z=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n R\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta y_i
\end{aligned}
$$

积分存在的条件，性质等都可以类似地推广到空间曲线弧的情形.同样，应用 中经常出现的是

$$
\int_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+\int_{\Gamma} Q(x, y, z) \mathrm{d} y+\int_{\Gamma} R(x, y, z) \mathrm{d} z
$$

这种合并起来的形式，故也可简便地把上式写成

$$
\int_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z
$$

或者更简便地写成向量的形式

$$
\int_L A(x, y, z) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r},
$$

其中 $A(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k ， \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=\mathrm{d} x i+\mathrm{d} y j+\mathrm{d} z k$.

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