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第二类曲线积分

二、对坐标的曲线积分 (第二类曲线积分)
质点受变力作用沿平面曲线运动作功问题:

若 $F$ 为常力，质点沿有向线段 $\overline{A B}$ 从点 $A$ 运动到点 $B$ ，设 $\theta$ 为 $F$ 与 $\overline{A B}$ 的夹 角 (见图 7-52)，
则有
$W=|F| \cos \theta|\overrightarrow{A B}|=F \cdot \overrightarrow{A B}$.
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现在考虑质点受变力 $F(x, y)=P(x, y)^i+Q(x, y) j$ 作用沿平面曲线 $L=A B$ 运 动作功问题.
将 $A B$ 任意地分成 $r$ 个小弧段 $\Delta s_i=M_{i-1} M_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，当每个小弧段的长 度很小时，我们取其中一小弧段 $M_{i-1} M_i$ 来考虑，(见图 7-53)

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将 $A B$ 任意地分成 $n$ 个小弧段 $\Delta s_i=M_{i-1} M_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，当每个小弧段的长 度很小时，我们取其中一小弧段 $M_{i-1} M_i$ 来考虑，(见图 7-53)
以 $F\left(\xi_i, \eta_i\right)=P\left(\xi_i, \eta_i\right) i+Q\left(\xi_i, \eta_i\right) j$
近似替代该一小弧段 $M_{i-1} M_i$ 上各点处受到的力，则变力 $\vec{F}$ 在 $M_{i-1} M_i$ 所作的功为 $\Delta w_i \approx \vec{F}\left(\xi_i, \eta_i\right) \cdot \overrightarrow{M_{i-1} M_i}=\left(P\left(\xi_i, \eta_i\right), Q\left(\xi_i, \eta_i\right)\right) \cdot\left(\Delta x_i, \Delta y_i\right)=P\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta x_i+Q\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta y_i$ 于是 $W=\sum_{i=1}^n w_i \approx \sum_{i=1}^n P\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta x_i+Q\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta y_i$ ，令 $\lambda=\max _{1 \leq 1 \leq n}\left(\Delta s_i\right) \rightarrow 0$ ，则有

$$
W=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n P\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta x_i+Q\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta y_i .
$$

抛开这个问题的物理意义，对此和式极限进行抽象，就得到第二类曲线积分的 定义.
**对坐标的曲线积分的概念与性质**
定义 2 设 $L$ 为 $x O y$ 平面上从点 $A$ 到点 $B$ 的一条有向光滑(或分段光滑)的曲线弧，函数 $P(x, y) 、 Q(x, y)$ 在 $L$ 上有界，在 $L$ 上沿 $L$ 的方向任意取点 $M_1\left(x_1, y_1\right) 、 M_2\left(x_2, y_2\right) \ldots$ ， $M_{n-1}\left(x_{n-1,1} y_{n-1}\right)$ 将 $L$ 分成 $n$ 段小弧，记 $\Delta s_i=M_{i-1} M_i ， \Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \Delta y_i=y_i-y_{i-1}$ $\left(i=1,2, \cdots, n, M_0\left(x_0, y_0\right)=A, M_n\left(x_n, y_n\right)=B\right) ， \Delta s_i$ 也为该段的弧长. $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta s_i\right\}$ ， 任取 $\left(\xi_i, \eta_i\right) \in \Delta s_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，若 $\lim _{\lambda \rightarrow 0}=\sum_{i=1}^n P\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta x_i$ 存在，则称此极限为函数 $P(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上对坐标 $x$ 的曲线积分，记作 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x$;
同理，若 $\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n Q\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta y_i$ 存在，则称此极限为函数 $Q(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上 对坐标 $x$ 的曲线积分，记作 $\int_L Q(x, y) \mathrm{d} y$ ，
即

$$
\begin{aligned}
& \int_L P(x, y) \mathrm{d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n P\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta x_i \\
& \int_L Q(x, y) \mathrm{d} y=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n Q\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta y_i
\end{aligned}
$$

其中 $P(x, y) ， Q(x, y)$ 称为被积函数，称 $L$ 为有向曲线弧段或有向积分路径.
以上两个积分也称为第二类曲线积分.
如果是分段光滑的有向曲线弧，那么规定函数在 $L$ 上对坐标的曲线积分等于 该函数在 $I$ 的各光滑弧上对坐标的曲线积分之和. 此后我们总是假定有向积分曲 线弧是光滑的或分段光滑的.
可以证明，若 $P(x, y) 、 Q(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上连续，则 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x$ ， $\int_L Q(x, y) \mathrm{d} y$ 存在，且可记

$$
\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+\int_L Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y \text {; }
$$

也可以写成向量形式 $\quad \int_L F(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}$
其中 $\boldsymbol{F}(x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j$ 为向量值函数， $\mathrm{d} \boldsymbol{r}=\mathrm{d} x i+\mathrm{d} y j$ 为有向曲线弧元 素.
根据对坐标的曲线积分的定义与存在条件，
质点受力场 $F(x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j$ 的作用，沿平面曲线 $L=A B$ 从点 $A$
沿曲线移动到点 $B$ 时所作的功为

$$
W=\int_L F \cdot \mathrm{d} s=\int_{A B} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y ，
$$

其中 $\mathrm{d} s=(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y)$.
对坐标的曲线积分也具有对于计算起到重要作用的线性性质和与积分弧段 的可加性质.借助向量的形式，这两个性质可以表示如下:
设下面的向量值函数在有向曲线弧 $L$ 上连续 (当且仅当对应的分量函数都连 续)，则有
性质 3 (线性性) 设 $\alpha 、 \beta$ 是常数，则

$$
\int_L\left[\alpha \boldsymbol{F}_1(x, y)+\beta \boldsymbol{F}_2(x, y)\right] \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=\alpha \int_L \boldsymbol{F}_1(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}+\beta \int_L \boldsymbol{F}_2(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r} ；
$$

性质 4 (对区间的可加性) 设有向曲线弧 $L$ 由两段有向曲线弧 $L_1$ 和 $L_2$ 组成， 则

$$
\int_L \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=\int_{L_1} \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}+\int_{L_2} \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}
$$

对坐标的曲线积分还有一个特有的性质如下:
性质 5 (方向性) 设 $L$ 是有向曲线弧， $L^{-}$是 $L$ 反向曲线弧，则有

$$
\int_{\Sigma} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=-\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y
$$

这个性质表示, 当积分的弧段的方向改变时，对坐标的曲线积分要改变符号. 因此，对于对坐标的曲线积分，必须注意积分弧段的方向.
定义 2 可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧 $I$ (总假定光滑 $\Gamma$ 且具有 有限长度）的情形：

$$
\begin{aligned}
& \int_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n P\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta x_i \\
& \int_{\Gamma} Q(x, y, z) \mathrm{d} y=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n Q\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta y_i \\
& \int_{\Gamma} R(x, y, z) \mathrm{d} z=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n R\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta y_i
\end{aligned}
$$

积分存在的条件，性质等都可以类似地推广到空间曲线弧的情形.同样，应用 中经常出现的是

$$
\int_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+\int_{\Gamma} Q(x, y, z) \mathrm{d} y+\int_{\Gamma} R(x, y, z) \mathrm{d} z
$$

这种合并起来的形式，故也可简便地把上式写成

$$
\int_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z
$$

或者更简便地写成向量的形式

$$
\int_L A(x, y, z) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r},
$$

其中 $A(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k ， \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=\mathrm{d} x i+\mathrm{d} y j+\mathrm{d} z k$.

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