最后更新: 2025-04-09 08:49 查看: 460 次反馈刷题

曲面的方向（曲面的侧）

在介绍对坐标的曲面积分之前， 我们首先要对曲面作一些说明，这里假定曲面是光滑的.

## 曲面的侧

通常我们所见的曲面都有两侧（即两面），称为**双侧曲面**，如封闭曲面有内侧和外侧，$x O y$ 面有上侧和下侧，$y O z$ 面有前侧和后侧，$x O z$ 面有左侧和右侧等，
在光滑曲面的情形下，我们通常用曲面上的法向量的指向表示曲面的侧，如取封闭曲面的法向量指向外表示该曲面取外侧，又如取曲面：$z=x^2+y^2$的每点法向量指向上（法向量与 $z$ 轴成锐角）表示取曲面上侧。双侧曲面 $S$ 的特点是：**在 $S$ 上某一点 $M$ 处指定了方向的法向量在 $S$ 上不越过边界任意连续移动返回到点 $M$ 后法向量的方向不改变**。

我们总是假定以后所考虑的曲面都是双侧曲面，不仅如此，还要选定它的某 一侧. 我们称选定了侧的双侧曲面称为**有向曲面**.

> 这里有人或有疑问：难道曲面还有只有单侧的曲面吗？还真有，他就是**莫比乌斯带曲面**。有兴趣的可以查看一下

可以通过确定曲面上法向量的指向来定出曲面的侧，而反之，确定了曲面的侧，也就定出了曲面上法向量的指向.

比如，对于曲面 $z=z(x, y)$ ，若它的法向量 $\boldsymbol{n}$ 指向朝上，则就认为取定曲面 的上侧（见图 7-65)，又如，若闭曲面，取它的法向量指向朝外，就认为取定曲 面的外侧 (见图 7-66).

![图片](/uploads/2023-01/image_20230101d72751e.png)

从几何上看，对于曲面 $z=z(x, y)$ (函数 $z(x, y)$ 具有连续偏导数)，它在某点 $(x, y, z)$ 的法向量为 $n=\pm\left(-z_x,-z_y, 1\right)$.
若取 $n$ 向上，其与 $z$ 轴的夹角 $\gamma$ 是锐角，此时 $\cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}>0$ ，即取 $n=\left(-z_x,-z_y, 1\right)$ ，则就选定曲面的上侧（图 7-67)；

![图片](/uploads/2023-01/image_202301018b50043.png)
 
若取 $n$ 向下， $\gamma$ 是钝角，此时 $\cos \gamma=\frac{-1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}<0$ ，即取 $n=\left(z_x, z_y,-1\right)$ ，则 就选定曲面的下侧 (图 7-68).

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010145d5b81.png)
类似地，我们可以确定，对于曲面 $y=y(x, z)$ (函数 $y(x, z)$ 具有连续偏导数)， 它在某点 $(x, y, z)$ 的法向量为 $n=\pm\left(-y_x, 1,-y_z\right)$. 取 $n=\left(-y_x, 1,-y_z\right)$ 时，选定曲面的 右侧（图 7-69）；取 $n=\left(y_x,-1, y_z\right)$ ) 时，选定曲面的左侧（图 7-70）.

![图片](/uploads/2023-01/image_202301014647cc7.png)
对于曲面 $x=x(y, z)$ (函数 $x(y, z)$ 具有连续偏导数)，它在某点 $(x, y, z)$ 的法 向量为 $n=\pm\left(1,-x_y,-x_z\right)$. 取 $n=\left(1,-x_y,-x_z\right)$ 时，选定曲面的前侧（图 7-71)；取 $n=\left(-1, x_y, x_z\right)$ 时，选定曲面的后侧 (图 7-72).

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010170318cd.png)
因此可以确定，曲面的侧可以通过其单位法向量 $\boldsymbol{e}_n=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 表 出. 设 $\Sigma$ 是有向曲面，在 $\Sigma$ 上取一小块曲面 $\Delta S$ ，将 $\Delta S$ 投影到 $x O y$ 面上得一投 影区域，其面积记为 $(\Delta \sigma)_{x y}$ ，且假定在 $\Delta S$ 上各点处的法向量与 $z$ 轴的夹角 $\gamma$ 的余弦 $\cos \gamma$ 有相同的符号，则规定 $\Delta S$ 在 $x O y$ 面上的投影 $(\Delta S)_{x y}$ 为:

$$
(\Delta S)_{x y}=\left\{\begin{array}{cc}
(\Delta \sigma)_{x y}, & \cos \gamma>0, \\
-(\Delta \sigma)_{x y}, & \cos \gamma<0, \\
0, & \cos \gamma \equiv 0 .
\end{array}\right.
$$

其中 $\cos \gamma \equiv 0$ 也就是 $(\Delta \sigma)_{x y}=0$ 的情形.
类似地可以定义 $\Delta S$ 在 $y O z$ 面上的投影 $(\Delta S)_{y z}$ 及 $\Delta S$ 在 $x O z$ 面上的投影 $(\Delta S)_{x z}$.

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