最后更新: 2025-05-08 17:51 查看: 503 次反馈刷题

格林公式 Green公式

### 三大公式概述
曲线积分、曲面积分、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是多元积分学最复杂的内容，下表列出了各种积分的关心，方便读者理解其间的关系。
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![图片](/uploads/2025-01/629cce.jpg){width=500px}
 
## 为什么引入格林公式
在学习定积分时有一个牛顿-莱布尼兹公式：
$\int_a^b f(x) d x=\left.F(x)\right|_a ^b=F(b)-F(a)$

如下图，要求$f(x)$ 围成的面积，只要找到边界曲线$F(x)$，然后求$F(b)-F(a)$ 即可得到曲面面积。

牛顿-莱布尼兹公式揭示了 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的积分与它的 **原函数在边界集合$\{a, b\}$** 上取值的关系，

![图片](/uploads/2024-10/bd0b35.jpg){width=300}

下面将介绍的是格林公式，如下图，由有向曲线围成的面积能否像牛顿莱布尼兹公式一样，**只计算边界线来求得呢**？当然是可以的，这就是格林公式。

![图片](/uploads/2025-04/7889d1.jpg){width=500}

## 格林公式标准定义
**定理1** 设有界闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$ \boxed{
\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
}
$$ 
  
其中 $L$ 是 $D$ 的**正向边界曲线**.上式称为**格林公式**，

关于格林公式的推导请参加[格林公式的数学证明](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=422)

这里介绍一下格林公式的物理意义。

## 格林公式等号左边的意义
#### 正向边界曲线
在数学里，对于正向边界曲线的定义是：**当你沿着曲线逆时针行走时，积分区域(如下图就是阴影部分面积)始终在你的左手侧**。
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参考上图，特别要注意内部有“㓊”的曲线方向，此时，他的正向是顺时针方向。

#### 通量

想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，那么$\Delta t$内通过的水流量就是$V=vS\Delta t$, 现在把管子开口倾斜，通过的水流量是$V=vS \cos \theta \Delta t$,
关注两个极端情况：
（1）$\theta=0$，此时水流量最大
（2）$\theta=\frac{\pi}{2}$, 即管口和水流平行，此时流量为零
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现在我们对上面写成向量的形式：

![图片](/uploads/2025-01/e5c9f6.jpg){width=300px}

设 $\vec{F}$ 表示流体的速度，$t$ 表示时间 ,$\vec{n}$ 表示平面微元的法向量。
 $\vec{F} \Delta t$ 表示 $\Delta t$ 时间里通过的流量。
通过橘色 $\Delta S$ 区域的流量就是

$$
\frac{\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta t \Delta s}{\Delta t}=\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta s
$$

现在把上面的内容采用数学抽象说法进行介绍，为此引入二维通量。

**二维通量**

**通量的概念**：通量是另一种线积分，它衡量的是向量场穿过曲线的＂流量＂。
定义：对于平面曲线 $C$ 和向量场 $\vec{F}, ~ \vec{F}$ 穿过 $C$ 的通量定义为：

通量 $=\int_C \vec{F} \cdot \hat{n} d s $

其中：
- $\hat{n}$ 是曲线 $C$ 的单位法向量。
- $d s$ 是沿曲线 $C$ 的弧长元素。
- 惯例：$\hat{n}$ 指向曲线 $C$ 的右侧，即从单位切向量 $\hat{T}$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到的向量。

下图：紫色箭头代表速度方向，绿色箭头代表曲线的法向量。
 ![图片](/uploads/2025-05/67679a.jpg){width=400px}
 
 通量衡量的是向量场 $\vec{F}$ 与曲线 $C$ 的法向量 $\hat{n}$ 的点积沿曲线 $C$ 的积分。 在曲线 $C$ 上的每一点，我们都计算向量场 $\vec{F}$ 在该点法线方向上的分量，然后将这些分量沿着曲线 $C$ 求和。再积分就是流过曲线$C$的总流量，
即：总流量= $ \lim _{\Delta s \rightarrow 0} \sum(\vec{F} \cdot \hat{n}) \Delta s $

![图片](/uploads/2025-05/165bff.jpg)

**通量与功的比较**

|        | 功                                  | 通量                                 |
|--------|------------------------------------|------------------------------------|
|  数学表达式 | $\int_C \vec{F} \cdot \hat{T} d s$ | $\int_C \vec{F} \cdot \hat{n} d s$ |
|  物理意义  | 衡量向量场沿曲线**切向量**的累积效应                    | 衡量向量场穿过曲线**法向量**的累积效应                     |
| 计算方式   |  使用切向分量                            |  使用法向分量                            |
|        |                                    |                                    |

#### 通量的正负：

- 如果 $\vec{F}$ 与 $\hat{n}$ 的方向一致，则通量为正，表示流体从曲线的左侧流向右侧。
- 如果 $\vec{F}$ 与 $\hat{n}$ 的方向相反，则通量为负，表示流体从曲线的右侧流向左侧。
- 如果 $\vec{F}$ 与 $\hat{n}$ 垂直，则通量为零，表示没有流体穿过曲线。

## 从物理角度解释通量

通量的概念在物理学中有着直观的解释，尤其是在流体动力学中。如果我们把向量场 $\vec{F}$ 看作是速度场，那么通量就代表了每单位时间内有多少流体穿过曲线 $C$ 。

想象一下，你有一条河流，河水以一定的速度流动，这个速度可以用向量场 $\vec{F}$ 来表示。现在，你在河中设置一个＂水坝＂，但这个水坝上有一些孔，允许水流通过。通量就衡量了每单位时间内有多少水通过这个水坝上的孔。

为了更具体地理解这一点，我们考虑曲线 $C$ 的一小段，其长度为 $\Delta s$ 。

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 在这一小段上，假设流体以恒定的速度 $\vec{F}$ 流动。每单位时间内通过这一小段的流体量，可以近似为一个平行四边形的面积。这个平行四边形的底是曲线段的长度 $\Delta s$ ，高是向量场 $\vec{F}$ 在法向量 $\hat{n}$ 方向上的分量，即 $\vec{F} \cdot \hat{n}$ 。
 
  ![图片](/uploads/2025-05/e9fb4c.jpg){width=400px}
  
  因此，通过这一小段的通量（即流体量）可以表示为：

$$
 \Delta s \cdot(\vec{F} \cdot \hat{n})
$$

为了得到整个曲线 $C$ 的通量，我们需要将所有这些小段的通量加起来，并取极限，即：

$$
\int_C \vec{F} \cdot \hat{n} d s
$$

**总之，格林公式等号左边的意义可以认为流体流过边界的流量。**

下面从另一个视角理解格林公式，参考下图，假设你站在河边，河里有一个线框，流过线框的流量就是格林公式等号左边的意义。

![图片](/uploads/2025-01/c48d46.jpg){width=400px}

格林将闭区域 D 划分为很多个小格子，如下图所示。
  ![图片](/uploads/2025-01/9dee13.jpg){width=400px}
  
  这么做的原因是因为格林发现，如果在每个格子的边界上计算曲线积分，相邻的边界会相互抵消。以下图中的  4个蓝色格子为例，内部灰色边界上有一对方向相反的积分，也就是黑色箭头所指方向上的积分，这两者会相互抵消；而外部黑色边界上只有一个方向的积分，也就是红色箭头所指方向上的积分，该积分会被保留下来。
   ![图片](/uploads/2025-01/453f06.jpg){width=400px}
   
   也就是说在这 4 个蓝色格子上计算曲线积分并且相加起来，得到的是外部正向边界上的曲线积分，如下图所示，这里用红色描出了外部正向边界。
   
 ![图片](/uploads/2025-01/899766.jpg){width=400px}
    
 如果计算闭区域  D内所有的小矩形格子上的曲线积分并且相加起来，就会得到下图中红色边界上的曲线积分。
 
  ![图片](/uploads/2025-01/ccc21c.jpg){width=400px}
  
  如果将闭区域 D 划分为更多个小格子，然后计算闭区域D  内所有的小矩形格子上的曲线积分并相加，就会得到下图中红色边界上的曲线积分。

![图片](/uploads/2025-01/77f456.jpg){width=400px}
 
 可以看到随着小矩形格子的增多，红色边界会逐渐逼近有向曲线 $L$ ，相应的红色边界上的曲线积分也会逼近乔治－格林想要的计算结果，最终当小矩形格子的个数 $n \rightarrow \infty$ ，并且这些小矩形格子的最大直径 $\lambda \rightarrow 0$ 时，可以求出 $\oint_L F (x, y) \cdot d r$ 。

## 格林公式等号右边的意义
既然要统计流过线圈的流量，现在，我们换一个视角，从上帝的视角**垂直向下**看河里的线框，
线圈里的每个点都都是一个微小的“漩涡”，向外“喷”水，如果把线圈内所有的点的喷水量累加过来，就是流过整个线圈的流量。
因此，格林公式右边的结果应该类似如下的表示，

$$
\iint_R  ⊕  \cdot \vec{F} dxdy
$$

其中⊕未知

![图片](/uploads/2025-05/855860.jpg){width=300px}

要使得水流流出，参考下图在两个力的作用下，一个面积微元进行旋转，形成了一个个“漩涡”。$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$ 反映了力场在 $x$ 和 $y$ 方向上的**变化**的情况 
 ![图片](/uploads/2025-04/6a9c79.jpg){width=300px}

这些每一个小漩涡形成了一个大的环量。

![图片](/uploads/2025-04/b64e18.jpg){width=500px}

如果图形是不规则的，也是可以的，如下图局部的状态
 ![图片](/uploads/2025-04/ed0be4.jpg)
 
 把一个个漩涡用二重积分累加起来，就是最终流出曲线的流量，他也就是格林公式等式右边的意义。
  ![图片](/uploads/2025-04/5f7253.jpg){width=300px}

## 例题 
`例`设 $L$ 是一条分段光滑的闭曲线，求
$$
\oint_L 2 x y d x+x^2 d y
$$

解：令 $P=2 x y, Q=x^2$ ，则

$$
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2 x-2 x=0
$$

利用格林公式 (这是根据格林公式从曲线积分转换为曲面积分)，得

$$
\oint_L 2 x y d x+x^2 d y=\iint_D 0 d x d y=0
$$

`例`计算 $\iint_D e^{-y^2} d x d y$ ，其中 $D$ 是以 $O(0,0), A(1,1)$ ， $B(0,1)$ 为顶点的三角形闭域．
 ![图片](/uploads/2025-01/ec354e.jpg)
解：令 $P=0, Q=x e^{-y^2}$ ，则

$$
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{-y^2}
$$

利用格林公式，有

$$
\begin{aligned}
& \iint_D e^{-y^2} d x d y=\oint_{\partial D} x e^{-y^2} d y \\
& =\int_{\overline{O A}} x e^{-y^2} d y=\int_0^1 y e^{-y^2} d y \\
& =\frac{1}{2}\left(1-e^{-1}\right)
\end{aligned}
$$

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