在线学习
重点科目
初中数学
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
高中物理
数学公式
主要科目
复变函数
离散数学
数学分析
实变函数
群论
数论
未整理科目
近世代数
数值分析
常微分方程
偏微分方程
大学物理
射影几何
微分几何
泛函分析
拓扑学
数学物理
趣味数学
科数网
首页
教材
高考区
考研区
VIP
科数网
题库
在线学习
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
高中物理
复变函数
离散数学
你好
游客,
登录
注册
在线学习
高等数学
第七章 多元函数积分学
格林公式举例
最后
更新:
2025-05-08 18:29
查看:
364
次
反馈
刷题
格林公式举例
## 格林公式举例 在格林公式里(如下), $$ \boxed{ \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y } $$ 如果取$P=-y,Q=x$即得 $$ 2\iint_D dxdy= \oint_L xdy-ydx $$ 上式左端是闭区域$D$的面积$A$的两倍,因此有 $$ \boxed{ A=\iint_D dxdy= \dfrac{1}{2} \oint_L xdy-ydx ...(4) } $$ 格林公式出题时,有两种形式: 一种是从左边到右边,即把二重积分转换为一重积分 一种是从右边到左边。即把一重积分转换为二重积分。 `例` 求星形线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$ 所围区域的面积. {width=200px} 解 本次属于从右边到左边计算,曲线的参数方程为 $x=a \cos ^3 t , y=a \sin ^3 t , t: 0 \rightarrow 2 \pi$ ,根据公式 (4) 有 $$ \begin{aligned} A & =\frac{1}{2} \int_L x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x \\ & =\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi}\left[a \cos ^3 t\left(3 a \sin ^2 t \cos t\right)-a \sin ^3 t\left(-3 a \cos ^2 t \sin t\right)\right] \mathrm{d} t \\ & =\frac{3}{2} a^2 \int_0^{2 \pi} \sin ^2 t \cos ^2 t \mathrm{~d} t=\frac{3}{2} a^2 \int_0^{2 \pi} \frac{1}{8}(1-\cos 4 t) \mathrm{d} t \\ & =\frac{3}{16} a^2\left(t-\frac{1}{4} \sin 4 t\right)_0^{2 \pi}=\frac{3}{8} \pi a^2 . \end{aligned} $$ `例` 证明: 曲线积分 $\int_L 2 y \mathrm{~d} x+3 x \mathrm{~d} y$ 的值即为曲线 $L$ 所围区域 $D$ 的面积. 证 取 $P=2 y , Q=3 x$ ,则 $$ \int_L 2 y \mathrm{~d} x+3 x \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial}{\partial x}(3 x)-\frac{\partial}{\partial y}(2 y)\right) {dxd} y=\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, $$ 即为曲线 $L$ 所围区域 $D$ 的面积. `例` 计算二重积分 $\iint_D \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ,其中 $D$ 是以 $O(0,0) 、 A(1,1) 、 B(0,1)$ 为顶 点的三角形区域 (见图 7-88). 解 取 $P=0 , Q=x \mathrm{e}^{-y^2}$ ,则有 $$ \begin{aligned} & \iint_D \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_L x \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y \\ & \quad=\int_{O A}+\int_{A B}+\int_{B O} \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y=\int_0^1 y \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y+0+0 \\ & =\left[-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-y^2}\right]_0^1=-\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{-1}-1\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2 \mathrm{e}} . \end{aligned} $$ {width=300px} `例`计算二重积分 $\iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ , 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$. 取 $P=0 , Q=\frac{1}{2} x^2 y$ ,则有 $$ \begin{aligned} \iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\frac{1}{2} \int_L x^2 y \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} \cos ^2 t \sin t \cos t \mathrm{~d} t \\ & =-\frac{1}{2} \cdot\left[\frac{1}{4} \cos ^4 t\right]_0^{2 \pi}=0 . \end{aligned} $$ `例`求 $\int_L x y^2 \mathrm{~d} y-x^2 y \mathrm{~d} x$ ,其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=R^2$ 依逆时针方向. 解 由题意知, $P=-x^2 y, Q=x y^2, L$ 为区域边界的正向,故根据格林公式,有 $$ \mathfrak{D}_L x y^2 \mathrm{~d} y-x^2 y \mathrm{~d} x=\iint_D\left(y^2+x^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^R r^2 r \mathrm{~d} r=\frac{\pi R^4}{2} . $$ `例`计算曲线积分 $I=\int_{A B}\left(\mathrm{e}^x \sin 2 y-y\right) \mathrm{d} x+\left(2 \mathrm{e}^x \cos 2 y-100\right) \mathrm{d} y$ ,其中 $A B$ 为 单位圆 $x^2+y^2=1$ 上从点 $A(1,0)$ 到 $B(-1,0)$ 的上半圆周. 解 引进辅助直线 $\overline{B A}: y=0, x:-1 \rightarrow 1 , D$ 为由 $L=A B+\overline{B A}$ 所围的平面区 域 (见图 7-89), 则 $$ I=\int_{4 B}\left(\mathrm{e}^x \sin 2 y-y\right) \mathrm{d} x+\left(2 \mathrm{e}^x \cos 2 y-100\right) \mathrm{d} y $$ {width=300px} $$ \begin{aligned} & I=\int_L\left(\mathrm{e}^x \sin 2 y-y\right) \mathrm{d} x+\left(2 \mathrm{e}^x \cos 2 y-100\right) \mathrm{d} y-\int_{\overline{A B}}\left(\mathrm{e}^x \sin 2 y-y\right) \mathrm{d} x+\left(2 \mathrm{e}^x \cos 2 y-100\right) \mathrm{d} y \\ & =\iint_D\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(2 \mathrm{e}^x \cos 2 y-100\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\mathrm{e}^x \sin 2 y-y\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-\int_{-1}^1 0 \mathrm{~d} x+0 \\ & =\iint_D\left(2 \mathrm{e}^x \cos 2 y-2 \mathrm{e}^x \cos 2 y+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+0=\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \pi . \end{aligned} $$ `例`计算曲线积分 $I=\prod_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}$ ,其中 $L$ 分别为 (1) $x^2+y^2=a^2$ 的正向边界闭曲线. (2) 任意不经过原点的正向的简单闭曲线. 解 (1) 当 $x^2+y^2 \neq 0$ 时, $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} ; P 、 Q$ 在原点不连续, 因此不能用格林公式,利用曲线积分的计算方法,可得 $$ I=\int_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}=\frac{1}{a^2}\left[\int_L x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x=\frac{1}{a^2} \int_0^{2 \pi}\left[a^2 \cos ^2 t+a^2 \sin ^2 t\right] \mathrm{d} t=2 \pi .\right. $$ (2)当 $x^2+y^2 \neq 0$ 时, $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}$ ; 若 $L$ 所围区域 $D$ 内不含原点(图 7-90), 则 $I=\prod_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}=\iint_D 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ ; {width=300px} (2)当 $x^2+y^2 \neq 0$ 时, $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}$ ; 若 $L$ 所围区域 $D$ 内含有原点 (见图 7-91), {width=300px} 若 $L$ 所围区域 $D$ 内含有原点 (见图 7-91),取 $C_{\varepsilon}: x^2+y^2=\varepsilon^2$ (顺时针), 使 $C_{\varepsilon} \subset D , C_{\varepsilon}$ 所围区域记为 $D_{\varepsilon}$ ,则 $$ \prod_{L+C \varepsilon} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}=\iint_{D / D_{\varepsilon}} 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0 {~ , ~ 即 ~} I=\coprod_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}=\prod_{C_{\varepsilon}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2} \text { , } $$ 由 $-C_{\varepsilon}:\left\{\begin{array}{l}x=\varepsilon \cos \theta \\ y=\varepsilon \sin \theta\end{array}(\theta: 0 \rightarrow 2 \pi)\right.$ ,得 $\quad I=\int_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta=2 \pi$ ;
开VIP会员
非会员每天6篇,会员每天16篇,VIP会员无限制访问
题库训练
自我测评
投稿
上一篇:
格林公式 Green公式
下一篇:
格林公式的证明
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
纠错
高考
考研
关于
赞助
公式
科数网是专业专业的数学网站。