最后更新: 2025-04-22 17:33 查看: 584 次反馈刷题

理解：通量与散度

## 通量

想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，那么$\Delta t$内通过的水流量就是$V=vS\Delta t$, 现在把管子开口倾斜，通过的水流量是$V=vS \cos \theta \Delta t$,
关注两个极端情况：
（1）$\theta=0$，此时水流量最大
（2）$\theta=\frac{\pi}{2}$, 也管口和水流平行，此时流量为零
 ![图片](/uploads/2025-01/9477a8.svg){width=400px}
 
 仔细观察 $V=vS \cos \theta \Delta t$ 
 
①如果你这样打括号$V=v (S \cos \theta) \Delta t$, 他的意义是水流速度不变，而通过得面积为有效面积。

②如果你这样打括号$V=(v \cos \theta ) S  \Delta t$, 他的意义是面积不变，但是水流速度分解为垂直截面的速度和平行截面的速度。

这两个理解都对，所以他们的结果是一样的。

现在我们对上面写成向量的形式：

![图片](/uploads/2025-01/e5c9f6.jpg){width=300px}

设 $\vec{F}$ 表示流体的速度，$t$ 表示时间 ,$\vec{n}$ 表示平面微元的法向量。
 $\vec{F} \Delta t$ 表示 $\Delta t$ 时间里通过的流量。
通过橘色 $\Delta S$ 区域的流量就是

$$
\frac{\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta t \Delta s}{\Delta t}=\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta s
$$

上面是一个“单位微元”通过的流量大小，要计算通过整个面积的流量，只要进行二重积分即可，上面图形是规则的，如果是任意一个弯曲面呢？为此我们还要引入一个法向量。
 
### 法向量
在一个曲面上，取一个面积元，当这个面积非常小时，这个面积可以近似看成平面。既然是平面，就能找到一条直线和这个平面垂直，这个直线就是法线，我们给他一个更专业的名字：法向量。表示他处了有大小还要有方向，如下图
 ![图片](/uploads/2025-01/e98751.svg)

### 通量的数学定义

有了向量$A$、任意一个面积$S$，还有一个法向量$n$，我们就把

$$
\boxed{
\iint_{\Sigma} A \cdot n d S
}
$$

称为向量场 $A$ 通过曲面 $\Sigma$ 向着指定侧的通量（或流量）．

![图片](/uploads/2025-01/d1bf72.jpg){width=200px}

上面采用向量给出，如果转换为标量则可以叙述为
  
给定一向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$, 其中函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z) 、 R(x, y, z)$ 具有一阶连续偏导数，
曲面$\Sigma$为场内的一片有向光滑曲面， $n$ 为$\Sigma$ 上的某一 $M(x, y, z)$ 处的单位法向量。对面积的曲面积分:

$$
\iint_{\Sigma} \vec{A} \bullet \vec{n} d S=\iint_{\Sigma} P d y d z+Q d x d z+R d x d y
$$
称为向量场 $A$ 通过有向曲面 $\Sigma$ 的通量

### 通量的物理解释

我们知道磁场对通电导线有作用力，并从这个现象入手定义了物理量——磁感应强度B。安培在研究磁场与电流的相互作用方面作出了杰出的贡献，为了纪念他，人们把通电导线在磁场中受的力称为安培力（Ampère force），把电流的单位定为安培，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1003)

![图片](/uploads/2024-12/10b0d3.jpg){width=200px}
 
上图如果进行简化，可以得到下面的方式：磁场垂直向下，电流从纸面向内，则有安倍力向左，如下图

![图片](/uploads/2024-12/6fbd1e.jpg){width=200px}

在高中物理我们学过，垂直于磁场 $B$ 的方向放置的长为 $l$ 的一段导线，当通过的电流为I时，它所受的安培力F为
$ F=IlB$
 
现在我们让导线倾斜

![图片](/uploads/2024-12/1f15b3.jpg){width=200px}

此时磁通量B可以分解为平行于导线的磁通量$B_{//}$和垂直于导线的磁通量$B_{\perp}$ ，而平行于导线的磁通量$B_{//}$ 并不产生安倍力，只有垂直于导线的磁通量$B_{\perp}$产生安倍力。

换句话说，只有垂直的磁通量$B_{\perp}$是有效的。“正如山不转水转一样”，上面是面积不变，而让磁通量改变。但是，我们可以换一个角度，磁通量不变，而让面积分解，如下：虽然磁通量通过面积$S$，但是真正有效的面积是$S'$

![图片](/uploads/2024-12/158b1e.jpg){width=280px}
 
 理解了上面的概念后，再看通量的定义：$n$ 为$\Sigma$ 上的某一 $M(x, y, z)$ 处的单位法向量。为什么使用法向量，因为通过法向量才算是“有效的面积”。
 
 如下图，一个向量$F$在法向量$n$ 的投影，正是向量的点积的意义，所以可以直接使用$\boldsymbol{F \cdot n}$ , 向量点积的意义如果你忘记了，请点击 [向量点积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)
 ![图片](/uploads/2025-04/d659e5.jpg){width=300px}
  
 
> 通量通俗解释就是单位时间内，通过**有效面积**的流量。

## 通量的通俗理解-生活实例角度

**流水场景**
把水流想象成一个向量场，其中每一点的向量表示水流在该点的速度和方向。现在有一个假想的平面（比如一张无限大的薄塑料片）放在水流中。

• 正通量：如果水流的方向大多是从平面的上方指向下方穿过这个平面，就好像有很多水不断地从平面的一侧流到另一侧，那么就说通过这个平面的水的通量是正的。这就好比在一个下雨天，你拿着一个向上开口的盆子接雨水，雨水不断地落入盆中，此时雨水通过盆子这个“平面”的通量就是正的。

• 负通量：若水流的方向主要是从平面的下方指向上方穿过平面，即水是从平面的另一侧流向我们所关注的这一侧，那么通过该平面的水的通量就是负的。例如，你拿着一个向下开口的容器放在水流中，水会从这个容器中流出，此时水通过容器这个“平面”的通量就是负的。

• 零通量：当水流垂直穿过平面，且平面两侧的水流量大小相等、方向相反时，通过平面的净通量为零。就像在一个封闭的环形管道中，水稳定流动，管道中间有一个垂直于水流方向的薄板，水均匀地从薄板两侧流过，薄板两侧的水流量相同，那么水通过薄板的通量就是零。

**电通量场景**
把电场想象成是由无数条电力线组成的，电力线的方向表示电场的方向。假设有一个封闭的曲面（比如一个气球表面）放在电场中。

• 正通量：如果从封闭曲面内部发出的电力线多于进入曲面的电力线，就好像有很多“电场力”从曲面内部向外扩散，那么通过这个封闭曲面的电通量就是正的。例如，在一个正点电荷周围，电场线是从正电荷向四周发散的，当我们用一个封闭球面把这个正点电荷包围起来时，通过这个球面的电通量就是正的。

• 负通量：若进入封闭曲面的电力线多于从曲面内部发出的电力线，即有更多的“电场力”进入曲面，那么通过该封闭曲面的电通量就是负的。比如在一个负点电荷周围，电场线是指向负电荷的，当用封闭球面把负点电荷包围起来时，通过这个球面的电通量就是负的。

• 零通量：当封闭曲面内没有电荷，且进入曲面的电力线和从曲面发出的电力线数量相等时，通过封闭曲面的电通量为零。就像在一个均匀电场中放置一个不带电的封闭导体壳，电场线穿过导体壳，但进入和穿出的电力线数量相同，此时通过导体壳的电通量为零。

**数学定义角度**
在数学上，对于向量场 $\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i} + Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$，通量分为平面通量和空间通量。

**平面通量**
设 $\vec{F}$ 是一个二维向量场，$C$ 是平面上的光滑曲线，规定曲线 $C$ 的方向，那么向量场 $\vec{F}$ 通过曲线 $C$ 的通量 $\varPhi$ 定义为 $\varPhi=\int_{C}\vec{F}\cdot\vec{n}ds$，其中 $\vec{n}$ 是曲线 $C$ 的单位法向量，$ds$ 是曲线弧长微元。从直观上看，$\vec{F}\cdot\vec{n}$ 表示向量场 $\vec{F}$ 在法向量 $\vec{n}$ 方向上的分量，对它沿着曲线 $C$ 积分，就是在计算向量场通过曲线 $C$ 的总量。

**空间通量**
对于三维向量场 $\vec{F}$，设 $\varSigma$ 是空间中的一个光滑曲面，规定曲面 $\varSigma$ 的方向（即法向量的指向），则向量场 $\vec{F}$ 通过曲面 $\varSigma$ 的通量 $\varPhi$ 定义为 $\varPhi=\iint_{\varSigma}\vec{F}\cdot\vec{n}dS$，其中 $\vec{n}$ 是曲面 $\varSigma$ 的单位法向量，$dS$ 是曲面面积微元。这里 $\vec{F}\cdot\vec{n}$ 是向量场 $\vec{F}$ 在法向量 $\vec{n}$ 方向上的投影，对它在整个曲面 $\varSigma$ 上积分，就得到了向量场通过曲面 $\varSigma$ 的通量。当 $\varSigma$ 是封闭曲面时，通常规定其外法向量为正方向。

## 散度

散度是高等数学中向量分析里的一个重要概念，下面从生活实例、物理意义和数学定义几个方面来通俗解释散度。

**生活实例角度**
想象你站在一个十字路口，周围有很多条小路，人们在这些小路上行走。现在把人们行走的方向想象成向量场（向量场可以理解为空间中每一点都对应一个向量的场），而十字路口就是空间中的一个点。

• 散度为正的情况：如果在这个十字路口，不断有人从四面八方的小路汇聚过来，然后又从这个路口向其他方向散开，并且散开的人比汇聚过来的人多，那么就可以说这个点有“向外发散”的趋势。在向量场里，这个点对应的散度就是正的。例如，在一个热源周围，热量会从热源向四周扩散，热源这个点就相当于上述十字路口，热流形成的向量场中，热源处的散度为正。

• 散度为负的情况：反过来，如果不断有人从其他地方朝着这个十字路口聚集过来，并且离开这个路口的人比到达的人少，那么这个点就有“向内汇聚”的趋势，对应的散度就是负的。比如在一个排水口处，水会从四面八方流向排水口，排水口这个点在水流形成的向量场中，散度就是负的。

• 散度为零的情况：如果到达十字路口的人数和从十字路口离开的人数大致相等，那么这个点既没有明显的“向外发散”，也没有明显的“向内汇聚”，此时这个点对应的散度就是零。例如，在一个封闭的环形管道中，流体稳定流动时，管道内任意一点处流入和流出的流体量相同，该点处向量场的散度为零。

**物理意义角度**
在物理学中，散度有着广泛的应用，它与流体的流动、电场等密切相关。
• 流体中的散度：在流体力学里，向量场可以表示流体的速度场。散度描述了流体在某一点处的“源”或“汇”的强度。如果某点的散度大于零，意味着该点是一个“源”，流体从这里不断产生并向外流出；如果散度小于零，该点就是一个“汇”，流体不断向这里汇聚；散度等于零表示流体在该点既没有产生也没有消失，是连续流动的。

• 电场中的散度：在电磁学中，高斯定律表明电场的散度与电荷密度有关。电荷可以看作是电场的“源”，正电荷是“源”，负电荷是“汇”。在空间中某一点处，如果存在正电荷，那么该点电场的散度大于零，电场线从正电荷向外发散；如果存在负电荷，该点电场的散度小于零，电场线向负电荷汇聚；如果没有电荷，电场的散度为零。

## 散度的定义
设向量场 $\vec{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\vec{i} + Q(x,y,z)\vec{j} + R(x,y,z)\vec{k}$，其中 $P$、$Q$、$R$ 是关于 $x$、$y$、$z$ 的函数，$\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$ 分别是 $x$、$y$、$z$ 轴正方向的单位向量。向量场 $\vec{F}$ 在点 $(x,y,z)$ 处的散度记为 $\text{div}\vec{F}$ 或 $\nabla\cdot\vec{F}$，其计算公式为：
$$
\text{div}\vec{F}=\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
$$
从数学计算的角度来看，**散度就是向量场的三个分量 $P$、$Q$、$R$ 分别对各自变量求偏导数后相加的结果** 它反映了向量场在各个方向上的变化情况综合起来所产生的“发散”或“汇聚”效应。如果这个和大于零，说明向量场在该点总体上有向外发散的趋势；如果小于零，有向内汇聚的趋势；如果等于零，则没有明显的发散或汇聚现象。
> 重要结论：散度$\operatorname{div} v (M)$的意义： 在这里可看做稳定流动的不可压缩流体在点 $M$ 的源头强度. 在 $\operatorname{div} v (M)>0$的点处, 流体从该点向外发散, 表示流体在该点处有正源; 在 $\operatorname{div} v(M)<0$ 的点处, 流体向该点汇聚，表示流体在该点处有吸收流体的负源（又称为汇或洞）；在 $\operatorname{div} v (M)=0$的点处, 表示流体在该点处无源.

##  散度的推导
 
考虑在向量场里，通过一个“立方体”得流量。为此在立方体上取一个“立方体微元”，如下图
 ![图片](/uploads/2025-01/6f766c.jpg)
 
为方便研究，把上面立方体微元进行了**无限的放大**。

因为一个向量场可以分解为$i,j,k$三个维度，为了方便理解，这里先看$i$ 维度，即沿着$x$方向上，单位时间内通过的面积向量，

想象一下，水是均匀的从左向右流过立方体，则在$\Delta t$ 时间内，流过的体积为
$$
V= \Delta t \times   \text{宽} \times \text{高}= \Delta t \cdot  \Delta y \cdot \Delta z
$$

![图片](/uploads/2025-01/3a0c5d.jpg){width=400px}

因为我们只考虑$i$ 方向， 即通过右侧有效面积是 $ \Delta y \cdot \Delta z $ ,因此结果是
$V=F1 \cdot (\Delta t  \cdot \Delta y \cdot \Delta z) $

除以 $\Delta t$,这样单位时间内流过右侧面积流量就是，即

$V=F1 \cdot (    \Delta y \cdot \Delta z)$
这里$F1$可以认为是向量$F$的$i$分量，

因此在$\Delta t$内通过右平面的流量为
$$

V_{右平面}=F_1(x+\Delta x, y,z) \Delta y \Delta z ...①

同样，通过左平面的流量为(注意方向向左)
$$

V_{左平面}=F_1(x, y,z) \Delta y \Delta z ...②

因为左平面的流量就是$F_1(x, y,z)$,不需要加$\Delta x$

所以，总流量就是：
$$
\boxed{
\Delta_V=V_{右平面}-V_{左平面}=F_i(x+\Delta x, y,z) \Delta y \Delta z -F_1(x, y,z) \Delta y \Delta z
}
$$

把上式左右两端同除以$\Delta x$   有

$$
\frac{V}{\Delta x} =\left[\frac{F_i(x+\Delta x, y, z)-F_1(x, y, z)}{\Delta x}\right] {\Delta x \Delta y \Delta z}
$$

可以发现左侧表示单位i方向体积变化，右侧正是 $\frac{\partial F_1}{\partial x} \Delta x \Delta y \Delta z$

所以
$x$ 方向的流出量：

$$
\frac{\partial F_1}{\partial x} \Delta x \Delta y \Delta z  ...①
$$

$y$ 方向的流出量：

$$
\frac{\partial F_2}{\partial y} \Delta x \Delta y \Delta z ...②
$$

$z$ 方向的流出量：

$$
\frac{\partial F_3}{\partial z} \Delta x \Delta y \Delta z ... ③
$$

单位盒子全部的流出量就是 ①+②+③：

$$
\left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right) \Delta x \Delta y \Delta z
$$

再积分就得整个盒子全部的流出量就是散度，记做

$$
div F=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}
$$

## 例题
`例`求向量场 $r=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ 的通量
(1) 穿过圆雉 $x^2+y^2 \leq z^2(0 \leq z \leq h)$ 的底(向上);
(2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.
解 设 $S_1, S_2$ 及 $S$ 分别为此圆雉的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的通 量

$$
Q=\iint_{S^{\star}} r \cdot \mathbf{d} S=\iiint_V d i v r \mathrm{~d} v=3 \iiint_V \mathrm{~d} v=\pi h^3 .
$$

(1) 穿过底面向上的流量为 $Q_1=\iint_{S^{+}} r \cdot \mathbf{d} S=\iint_{\substack{x^2+y^2 \leq z^2 \\+=h}} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{x^2+y^2 \leq z^2} h \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\pi h^3$.
(2)穿过侧表面向外的流量为 $Q_2=Q-Q_1=0$.

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