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二维连续型随机变量及其联合密度函数
日期:
2023-01-03 10:39
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定义7 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $F(x, y)$ ，如果存在二元非负实值函 数 $f(x, y)$ ，使得对任意的 $(x, y) \in R^2$ 有 $$ F(x, y)=P(X \leq x, Y \leq y)=\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(u, v) d u d v=\iint_{D_y} f(u, v) d u d v $$ 则称 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，称 $f(x, y)$ 为二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联 合 (概率) 密度函数. 定义8 设 $n$ 维随机变量 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合分布函数为 $F\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，如果存在一个 $n$ 元非负 函数 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，使得对任意的 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in R^n$ 有 $$ F\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\int_{-\infty}^{x_1} \int_{-\infty}^{x_2} \cdots \int_{-\infty}^{x_n} f\left(u_1, u_2, \cdots, u_n\right) d u_1 d u_2 \cdots d u_n $$ 成立，则称 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为 $n$ 维连续型随机变量， $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 为 $n$ 维连续型随机变量 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合 (概率) 密度函数。 定理 2 (联合密度函数的性质) 设 $f(x, y)$ 为二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数，则 （1） 非负性 $f(x, y) \geq 0,-\infty<x, y<+\infty$; （2）规范性 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1$. 定理3 二维连续型随机变量的性质 1 任意一条平面曲线 $L$ ，有 $P((X, Y) \in L)=0$ ； $2 F(x, y)$ 为连续函数，在 $f(x, y)$ 的连续点处有 $$ \frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x \partial y}=f(x, y) ; $$ 3 对 xoy 平面上任意一区域 $D$ ，有 $$ P((X, Y) \in D)=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$   
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2023-01-03 10:39
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