正项级数审敛性举例

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 26 次更新导出Word

例 9 判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{\left(2+\frac{1}{n}\right)^n}$ 的敛散性.
解 因为 $\frac{n^2}{\left(2+\frac{1}{n}\right)^n}<\frac{n^2}{2^n}$ ，而对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ ， 由比值审玫定理，

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2=\frac{1}{2}<1,
$$

所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ 收玫，从而原级数亦收敛.

例 10 判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n ! a^n}{n^n}(a>0)$ 的收敛性.
解 采用比较判别法，由于

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n+1}(n+1) !}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{a^n \cdot n !}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{(1+1 / n)^n}=\frac{a}{\mathrm{e}},
$$

所以当 $0<a<\mathrm{e}$ 时，原级数收敛；当 $a>\mathrm{e}$ 时，原级数发散；当 $a=\mathrm{e}$ 时，比值法 失效，但此时注意到数列 $x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 严格单调增加，且 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\mathrm{e}$ ， 于是 $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\mathrm{e}}{x_n}>1$ ，即 $u_{n+1}>u_n$ ，故 $u_n>u_1=\mathrm{e}$ ，由此得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n \neq 0$ ，所以当时原级数 发散.
定理 4 (根值审敛定理) 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=l$ ，则当 $0 \leq l<1$ 时， $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛；当 $l>1$ 时， $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散；当 $l=1$ 时，无法确定.
证 由 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=l$ 知， $\forall \varepsilon>0 ， \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，恒有 $\left|\sqrt[n]{u_n}-l\right|<\varepsilon$ ，即 $l-\varepsilon<\sqrt[n]{u_n}<l+\varepsilon$ ，当 $0 \leq l<1$ 时，取适当的 $\varepsilon>0$ ，使 $l+\varepsilon=q<1$ ，则得 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收玫； 当 $l>1$ 时，取适当的 $\varepsilon>0$ ，使 $l-\varepsilon>1$ ，则得 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散.
例 11 讨论下列正项级数的敛散性.
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^n}{n^s}(s>0, \alpha>0)$;
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^n}{3^n}$.
解 （1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{\alpha^n}{n^s}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\alpha}{(\sqrt[n]{n})^s}=\alpha$ ，当 $0<\alpha<1$ 时，级数收玫； 当 $\alpha>1$ 时，级数发散；当 $\alpha=1$ 时， $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ 当 $0<s \leq 1$ 时，该级数收敛， 当 $s>1$ 时，该级数发散.

$$
\text { （2）由于 } \begin{gathered}
\frac{\sqrt[n]{2}}{3}<\sqrt[n]{\frac{3+(-1)^n}{3^n}}<\frac{\sqrt[n]{4}}{3} ， \text { 及 } \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{4}=1 \text { ， } \\
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{3+(-1)^n}{3^n}}=\frac{1}{3}<1 ，
\end{gathered}
$$

故级数收敛.
为了更方便判别正项级数的敛散性，再介绍两个审敛方法.
*定理 5 (积分审敛定理) 若 $f(x)(x>0)$ 为非负的不增函数，则 $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 与 $\int_1^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 同敛散.
例 12 讨论下列正项级数的敛散性.
(1) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^p n}(p \geq 0)$;
(2) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n !}$.
解 (1) 由于

$$
I=\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^p x}= \begin{cases}{[\ln \ln x]_2^{+\infty}=+\infty,} & p=1, \\ {\left[\frac{1}{1-p}(\ln x)^{1-p}\right]_2^{+\infty},} & p \neq 1 ;\end{cases}
$$

及当 $p>1$ 时， $I=\frac{1}{p-1}(\ln 2)^{1-p}$ ，
当 $0 \leq p<1$ 时， $I=+\infty$ ， 因此当 $0 \leq p<1$ 时，级数发散；当 $p>1$ 时，级数收敛.
(2) 由于 $\ln n !=\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots+\ln n<n \ln n$ ，

$$
\text { 即 } \frac{1}{\ln n !}>\frac{1}{n \ln n} \text { ， }
$$

级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ 发散， 故原级数也发散.

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