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正项级数推论

推论 (比较审敛定理的极限形式)：设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n, \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 是两个正项级数， $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_n}{v_n}=l$,
若 $0<l<+\infty$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 同敛散；
若 $l=0$ ，则当 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，有 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛；
若 $l=+\infty$ ，则当 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，有 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也发散.
证明从略.
例 5 证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$ 是发散的.
证 因为

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}}{\frac{1}{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n^2}{n(n+1)}}=1 .
$$

又已知调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，故由比较审敛定理的极限形式可知，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$ 是发散的.
例 6 判定级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n^2}\right)$ 的敛散性.
解 因为

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n^2}}=1,
$$

又已知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收玫，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n^2}\right)$ 收敛.
例 7 判别下列级数的收敛性
(1) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)$;
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n-2^n}$.
解 (1)由于

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-\cos \frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{2} .
$$

而又知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)$ 收敛.
例 7 判别下列级数的收敛性 (1) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)$;
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n-2^n}$.
(2)由于

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{3^n-2^n}}{\frac{1}{3^n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n}=1,
$$

而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}$ 收敛，故原级数收敛.
使用比较审敛定理或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有 些困难. 下面介绍的判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性.
定理 3 (比值审敛定理) 设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 是正项级数，如果 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$ ，那么，当 $\rho<1$ 时级数收敛， $\rho>1\left(\right.$ 或 $\left.\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{u_n+1}{u_n}=\infty\right)$ 时级数发散， $\rho=1$ 时无法判定.
证 (1) 设 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho<1$ ，取一个充分小的正数 $\varepsilon$ ，使得 $\rho+\varepsilon=r<1$. 由函数和极限的关系可知，当 $r$ 充分大的时候，即存在正整数 $N$ ，当 $n \geq N$ 时， 有

$$
\frac{u_{n+1}}{u_n}<r<1 \text {. }
$$

定理 3 (比值审敛定理) 设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 是正项级数，如果 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$ ，那么，当 $\rho<1$ 时级数收敛， $\rho>1\left(\right.$ (或 $\left.\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{u_n+1}{u_n}=\infty\right)$ 时级数发散， $\rho=1$ 时无法判定.

$$
\frac{u_{n+1}}{u_n}<r<1 .
$$

于是有

$$
u_{N+1}<r u_N, u_{N+2}<r u_{N+1}<r^2 u_N, u_{N+3}<r u_{N+2}<r^3 u_N, \cdots
$$

即对于任意的 $n \geq N$ ，均有

$$
u_{n+N}<r^n u_N
$$

又因为 $r<1$ ，等比级数 $\sum_{n=1}^{\infty} r^n u_N$ 收敛. 故由比较审玫定理知级数

$$
\sum_{n=N+1}^{\infty} u_n=u_{N+1}+u_{N+2}+u_{N+3}+\cdots
$$

收玫，从而 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n=u_1+u_2+\cdots+u_N+u_{N+1}+u_{N+2}+\cdots \quad$ 也收敛.
(2) 设 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho>1$ ，取一个充分小的正数 $\delta$ ，使得 $\rho-\delta>1$. 则存在 正整数 $N$ ，当 $n \geq N$ 时，有 $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho-\delta>1$ ， 即

$$
u_{n+1}>u_n \text {. }
$$

所以当 $n \geq N$ 时，有

$$
u_n<u_{n+1}<u_{n+2}<\cdots
$$

即级数的一般项逐渐增大，从而 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n \neq 0$ ，故级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛.
（3）若 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho=1$ ，用比值判别定理不能判定级数的收敛性. 例如，对于调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ，有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=1 .
$$

而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 收敛.
（3）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho=1$ ， 用比值判别定理不能判定级数的收敛性.
对于 $P$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ ，有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2}=1 .
$$

而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛.
例 8 判别下列级数的收敛性:
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !}$;
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{10^n}$;
(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1) \cdot 2 n}$;
(4) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{2^n}$;
(5) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^n}$
(6) $\sum_{n=1}^{\infty} n !\left(\frac{x}{n}\right)^n(x \geq 0)$.
解 (1) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 /(n+1) !}{1 / n !}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}=0<1$ ，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !}$ 收玫.
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1) !}{10^{n+1}} \cdot \frac{10^n}{n !}=+\infty$ ， 故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{10^n}$ 发散.
例 8 判别下列级数的收敛性:
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !}$;
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{10^n}$;
(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1) \cdot 2 n}$;
(4) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{2^n}$;
(5) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^n}$;
(6) $\sum_{n=1}^{\infty} n !\left(\frac{x}{n}\right)^n(x \geq 0)$.
(3) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2 n-1) \cdot 2 n}{(2 n+1) \cdot(2 n+2)}=1$ ，比值审敛定理失效，改用比较审 敛定理.
因为 $\frac{1}{(2 n-1) \cdot 2 n}<\frac{1}{n^2}$ ，而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1) \cdot 2 n}$ 收敛.
(4) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n+3}{2^{n+1}}}{\frac{n+2}{2^n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \frac{n+3}{n+2}=\frac{1}{2}<1$ ， 因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{2^n}$ 收敛.
(5) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{(n+1) !}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n !}{n^n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{\mathrm{e}}<1$ ， 因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^n}$ 收玫.
(6) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1) !\left(\frac{x}{n+1}\right)^{n+1}}{n !\left(\frac{x}{n}\right)^n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{x}{\mathrm{e}}$,
当 $\frac{x}{\mathrm{e}}<1$ 即 $0 \leq x<\mathrm{e}$ 时，级数收敛；当 $x>\mathrm{e}$ 时，级数发散；
当 $x=\mathrm{e}$ 时， $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\mathrm{e}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1$ ，故级数发散.

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