最后更新: 2025-04-22 22:03 查看: 649 次反馈刷题

交错级数的及其审敛性

## 交错级数的及其审敛性
上节我们讨论了关于正项级数收敛性的判别法，本节我们要进一步讨论关 于一般常数项级数收敛性的判别法，这里所胃 "一般常数项级数" 是指级数的 各项可以是正数、负数或零.
先来讨论一种特殊的级数一一交错级数，然后再讨论一般常数项级数.
### 交错级数
设 $u_n>0(n=1,2, \cdots)$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n$ 或 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_n$ 称为交错级数.
所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正、负交错的，其具体形式如下:

$$
u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots+(-1)^{n-1} u_n+\cdots
$$

或 $-u_1+u_2-u_3+u_4-\cdots+(-1)^n u_n+\cdots$
其中 $u_1, u_2, u_3, u_4 \cdots, u_n, \cdots$ 均为正数.
由常数项级数的性质可知，(1) 和 (2) 式的敛散性相同，故我们只需讨 论首项为正的交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n$ 的性质.
## 定理 6 (莱布尼兹定理)

如果交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n$ 满足条件:
(1) $u_n \geq u_{n+1}(n=1,2, \cdots)$ ；
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$ ，
则交错级数收玫，且收玫和 $s \leq u_1$.
证 先证 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_{2 n}$ 存在. 将(1)式的前 $2 n$ 项的部分和 $s_{2 n}$ 写成如下两种形式

$$
\begin{aligned}
& s_{2 n}=\left(u_1-u_2\right)+\left(u_3-u_4\right)+\cdots+\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right) \\
& s_{2 n}=u_1-\left(u_2-u_3\right)-\left(u_4-u_5\right)-\cdots-\left(u_{2 n-2}-u_{2 n-1}\right)-u_{2 n}
\end{aligned}
$$

由条件(1) $u_n \geq u_{n+1}(n=1,2, \cdots)$ 可知所有括号内的差均非负，第一个表达式表
明: 数列 $s_{2 n}$ 是单调增加的；而第二个表达式表明: $s_{2 n}<u_1$ ， 数列 $s_{2 n}$ 有上界.
由单调有界数列必有极限准则，当 $n$ 无限增大时， $s_{2 n}$ 趋向于某值 $s$ ，并且 $s \leq u_1$.
即 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_{2 n}=s \leq u_1$
再证 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_{2 n+1}=s$.
因 $s_{2 n+1}=s_{2 n}+u_{2 n+1}$ 由条件(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{2 n+1}=0$ 可知，

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} s_{2 n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{2 n}+\lim _{n \rightarrow \infty} u_{2 n+1}=s+0=s
$$

由于级数的偶数项之和与奇数项之和都趋向于同一极限，故级数(1)的部分 和当 $n \rightarrow \infty$ 时具有极限 $s$. 这就证明了级数(1)收玫于 $s$ ，且 $s \leq u_1$.

`例`试证明交错级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots
$$

是收敛的.
证 $u_n=\frac{1}{n}<\frac{1}{n+1}=u_{n+1}$ ' 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$. 故此交错级数收玫，并且和 $s<1$.

`例`判定交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n \cdot 4^n}$ 的敛散性.
解 设 $u_n=\frac{1}{n \cdot 4^n}$ ，则 $u_n=\frac{1}{n \cdot 4^n}>\frac{1}{(n+1) \cdot 4^{n+1}}=u_{n+1}$ ，
且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n \cdot 4^n}=0$ ，所以级数收敛.

`例` 级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\ln n}$ 收敛.
证 因级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\ln n}$ 是交错级数，并且 $\frac{1}{\ln n}$ 随 $n$ 增大而递减地趋于零， 因 此级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln n}$ 收敛，从而级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\ln n}=-\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln n}$ 是收敛的.

## 小故事 从 $ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots $说起
详见 [交错调和级数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1845)

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