最后更新: 2025-01-01 07:40 查看: 391 次反馈刷题

矩阵的加减与数乘

## 矩阵的加法
**定义** 设 $A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $B=\left(b_{i j}\right)_{m \times n}$ 是两个同型矩阵，则矩阵 $A$ 与 $B$ 的和记为 $A+B$ ，规定：

$$
\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1 n}+b_{1 n} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2 n}+b_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1}+b_{m 1} & a_{m 2}+b_{m 2} & \cdots & a_{m n}+b_{m n}
\end{array}\right) .
$$

矩阵的加法满足如下的运算规律: 设 $A, B, C$ 是任意三个 $m \times n$ 矩阵，则
1 交换律: $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}$ ；
2 结合律: $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})+\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})$ ；
3 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{O}_{m \times n}=\boldsymbol{O}_{m \times n}+\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}$.

## 矩阵的减法
对于矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ ，称矩阵 $\left(-a_{i j}\right)_{m \times n}$ 为矩阵 $A$ 的负矩阵，记为 $-\boldsymbol{A}$.
显然， $A+(-A)=O_{m \times n}$.
定义矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}=\left(b_{i j}\right)_{m \times n}$ 的减法为:

$$
\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}+(-\boldsymbol{B})=\left(a_{i j}-b_{i j}\right)_{m \times n} .
$$

矩阵的加减就是对应数字的加减。

### 矩阵的数乘
**定义** 用一个数 $k$ 乘矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 的所有元素得到的矩阵 $\left(k a_{i j}\right)_{m \times n}$ 称为矩阵的数乘，记为 $k \boldsymbol{A}$ 或者 $\boldsymbol{A} k$ ， 即 $k \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} k=\left(k a_{i j}\right)_{m \times n}$.

上述定义告诉我们: 矩阵乘以一个数等于矩阵里**所有元素**都乘以这个数。例如
$$
\begin{aligned}
& 2 \times\left(\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
4 & 2 \\
8 & 6
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
 
 
>请把矩阵数乘和行列式的数乘区分出来，行列式乘以一个k，等于行列式里的**一行**乘以k。而矩阵乘以一个k等于矩阵里**每行**乘以k

矩阵的数乘运算满足如下的运算规律：设 $k, l$ 是任意两个数， $A, B$ 是任意两个 $m \times n$ 矩阵，

$1. k(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=k \boldsymbol{A}+k \boldsymbol{B}$
   $2. (k+l) \boldsymbol{A}=k \boldsymbol{A}+l \boldsymbol{A}$
   $3. (k l) \boldsymbol{A}=k(l \boldsymbol{A})=l(k \boldsymbol{A})$
  $4. 1 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}$
   $5. (-1) \boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A}$
   $6.  0 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}_{n \times n}$
   矩阵的加法和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算.

`例`矩阵的加减法就是对应数字相加减,例如
$$
\begin{aligned}
&\left(\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
1 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
3 & 3 \\
5 & 3
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
   
`例` 设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3\end{array}\right)$ ，求 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 和 $2 \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$.

解:
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}
3 & 0 & 2 \\
1 & 3 & 4
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
3-1 & 0+2 & 2+1 \\
1+0 & 3+2 & 4+3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 2 & 3 \\
1 & 5 & 7
\end{array}\right) ; \\
& 2 \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=2\left(\begin{array}{lll}
3 & 0 & 2 \\
1 & 3 & 4
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
3 \times 2 & 0 \times 2 & 2 \times 2 \\
1 \times 2 & 3 \times 2 & 4 \times 2
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 3
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{ccc}
6+1 & 0-2 & 4-1 \\
2-0 & 6-2 & 8-3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
7 & -2 & 3 \\
2 & 4 & 5
\end{array}\right) . \\
&
\end{aligned}

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