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矩阵的乘法

>对于初学线性代数的同学来说，矩阵的乘法是一个比较奇怪的计算方程，他很多性质和传统的数学也不同，最明显的，$AB \ne BA$ ，这导致有不少性质和传统代数的里的乘除运算不兼容，但是在下面的章节里，会详细介绍，矩阵乘法具有非常现实的物理意义与几何意义。

## 矩阵的乘法
设矩阵 $A=\left(a_{ij}\right)$ 是一个 $m \times p$ 矩阵, 矩阵 $B=\left(b_{i j}\right)$ 是一个 $p \times n$ 矩阵, 定义矩阵 $A$ 与 $B$ 的乘积是
一个 $m \times n$ 矩阵 $C=\left(c_{i j}\right)$ ，其中矩阵 $C=\left(c_{i j}\right)$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 $c_{i j}$ 是由矩阵 $A$ 的第 $i$ 行元素$a_{11}, a_2, \cdots, a_p$ 与矩阵 $B$ 的第 $j$ 列相应元素 $b_{1 j}, b_{2 j}, \cdots, b_B$ 乘积之和，即

$$
c_{i j}=\sum_{k=1}^p a_{i k} b_{k j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i p} b_{p j} .
$$
定义很绕口，直接看例子。

### 矩阵乘法举例

`例` 计算 
$$
\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{cc}
7 & 8 \\
9 & 10 \\
11 & 12
\end{array}\right)=
$$

解：第一个矩阵是$2 \times 3$矩阵，第二个矩阵是$3 \times 2$矩阵，所以结果将是一个$2 \times 2$的矩阵。

$c_{11}=1*7+2*9+3*11=58$
![图片](/uploads/2024-09/2b59ab.jpg)

同理，
$c_{12}=1*8+2*10+3*12=64$
$c_{21}=4*7+5*9+6*11=139$
$c_{22}=4*8+5*10+6*12=154$

所以，结果是

$$
\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{cc}
7 & 8 \\
9 & 10 \\
11 & 12
\end{array}\right)=

\left(\begin{array}{cc}
58 & 64 \\
139 & 154 
\end{array}\right)
$$

`例`求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 0\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right)$ 的乘积 $A B$.
解 因为矩阵 $A$ 是 $2 \times 3$ 矩阵，矩阵 $B$ 是 $3 \times 3$ 矩阵， $A$ 的列数等于 $B$ 的行数，所以矩阵 $A$ 与 $B$ 可 以相乘，乘积 $A B$ 是一个 $2 \times 3$ 矩阵.

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} & =\left(\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 1 \\
2 & 2 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & -1
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{ccc}
3 \times 1+(-1) \times 1+1 \times 2 & 3 \times(-1)+(-1) \times 1+1 \times 1 & 3 \times 0+(-1) \times 1+1 \times(-1) \\
2 \times 1+2 \times 1+0 \times 2 & 2 \times(-1)+2 \times 1+0 \times 1 & 2 \times 0+2 \times 1+0 \times(-1)
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{ccc}
4 & -3 & -2 \\
4 & 0 & 2
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

`例`求矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -6 & -3\end{array}\right)$ 的乘积 $A B$ 及 $B A$.

解 $A B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -6 & -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-8 & -4 \\ 16 & 8\end{array}\right)$;

$$
B A=\left(\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-6 & -3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
2 & -2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right) .
$$

注意: 
(1) 矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下， $A B \neq B A$.
(2) 尽管矩阵 $A$ 与 $B$ 满足 $A B=O$ ，但是得不出 $A=O$ 或 $B=o$ 的结论.

## 矩阵乘法满足的运算规律

**结合律：** 
$(A B) C=A(B C)$ ；

**矩阵乘法对矩阵加法的分配律:**
$A(B+C)=A B+A C,(A+B) C=A C+B C$ ；

**数乘**
$(k \boldsymbol{A}) \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}(k \boldsymbol{B})=k(\boldsymbol{A B}) ；$

**单位矩阵**
$\boldsymbol{E}_m \boldsymbol{A}_{m \times n}=\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{E}_n=\boldsymbol{A}_{m \times n} ;$

**矩阵乘法**
$\boldsymbol{O}_{m \times s} \boldsymbol{A}_{s \times n}=\boldsymbol{O}_{m \times n} ; \quad \boldsymbol{A}_{m \times s} \boldsymbol{O}_{s \times n}=\boldsymbol{O}_{m \times n} .$

## 矩阵乘法的用途
设有方程
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\
\cdots \cdots \cdots \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m
\end{array}\right.
$$

令

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{array}\right)
\end{gathered}
$$

则上面方程可以写成 $Ax=\beta$ 形式，这种形式和初中学习的$ax=b$ 极其类似。 一方面便于书写方便，更主要的是，可以利用矩阵研究线性方程组的解。

## 方阵的幂

定义方阵的方幂如下: $A^k=\underbrace{A A \cdots A}_{k \uparrow}$ (这里 $k$ 为正整数)，
并且规定：对非零方阵 $A$ ，有 $A^0=E$.
方阵的方幂满足以下运算规律 (这里 $k, l$ 均为非负整数) :

$$
\boldsymbol{A}^k \boldsymbol{A}^l=\boldsymbol{A}^{k+l} ; \quad\left(\boldsymbol{A}^k\right)^l=\boldsymbol{A}^{k l} \text {. }
$$

由于矩阵乘法不满足交换律，一般来讲 $(A B)^k \neq A^k B^k ，(A+B)^2 \neq A^2+2 A B+B^2$.
只有当 $A$ 与 $B$ 可交换（即 $A B=B A)$ 时，公式
 $(A B)^k=A^k B^k,(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2,(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ 等才成立.

`例`设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 求 $A^2$ 和 $A^3$.

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^2 & =\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right), \\
\boldsymbol{A}^3 & =\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$$

## 利用矩阵研究方程
有三组未知数 $x、y$ 和 $t$，其中 $x$ 和 $y$ 的关系如下

$$
\begin{gathered}
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2=y_1 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2=y_2
\end{array}\right. \\
\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=\binom{y_1}{y_2}
\end{gathered}
$$

$x$ 和$ t$ 的关系如下

$$
\begin{gathered}
\left\{\begin{array}{l}
b_{11} t_1+b_{12} t_2=x_1 \\
b_{21} t_1+b_{22} t_2=x_2
\end{array}\right. \\
\left(\begin{array}{ll}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right)\binom{t_1}{t_2}=\binom{x_1}{x_2}
\end{gathered}
$$

**直觉告诉我们**，应该可以把第二个矩阵的$(x_1 , x_2)$ 代入第一个矩阵里的 $(x_1 , x_2)$ ：即：

$$
\begin{aligned}
&\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right)\binom{t_1}{t_2}=\binom{y_1}{y_2}
\end{aligned}
$$

从方程式来看，确实也可以把第二个方程组代入第一个方程组。
$$
\begin{aligned}
&\left\{\begin{array}{l}
a_{11}\left(b_{11} t_1+b_{12} t_2\right)+a_{12}\left(b_{21} t_1+b_{22} t_2\right)=y_1 \\
a_{21}\left(b_{11} t_1+b_{12} t_2\right)+a_{22}\left(b_{21} t_1+b_{22} t_2\right)=y_2
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
上面的方程组可以整理成下面的形式

$$
\begin{gathered}
\left\{\begin{array}{l}
\left(a_{11} b_{11}+a_{12} b_{21}\right) t_1+\left(a_{11} b_{12}+a_{12} b_{22}\right) t_2=y_1 \\
\left(a_{21} b_{11}+a_{22} b_{21}\right) t_1+\left(a_{21} b_{12}+a_{22} b_{22}\right) t_2=y_2
\end{array}\right. \\
\left(\begin{array}{ll}
a_{11} b_{11}+a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12}+a_{12} b_{22} \\
a_{21} b_{11}+a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12}+a_{22} b_{22}
\end{array}\right)\binom{t_1}{t_2}=\binom{y_1}{y_2}
\end{gathered}
$$

最后那个矩阵等式，与前面的矩阵等式一对照，就会得到下面的关系。

$$
\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
a_{11} b_{11}+a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12}+a_{12} b_{22} \\
a_{21} b_{11}+a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12}+a_{22} b_{22}
\end{array}\right)
$$

矩阵乘法的计算规则从而得到简单证明。

## 矩阵乘法的意义
相比矩阵的加减，矩阵乘法要复杂的多。
对于初学者，可能最疑惑的就是为什么矩阵乘法不能定义成像矩阵加法那样的，对应元素直接相乘，历史上确实有数学家这么干过，但是后来发现，这种乘法毫无意义或者用处不大，因此被淘汰，而使用现有的定义方法，矩阵乘法具有很大的现实意义，详细参考，
[矩阵乘法的物理意义](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1378)和[矩阵乘法的经济意义](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1379)

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