切比雪夫不等式

日期: 2023-01-03 13:27 查看: 99 次

定理1切比雪夫不等式
设随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 及方差 $D(X)$ 存在，则对于任意的 $\varepsilon>0$ ，有

$$
P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}
$$

证明: 仅给出 $X$ 为连续型随机变量的证明。

$$
\begin{aligned}
& P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)=\int_{|x-\varepsilon(x)| \geq \varepsilon} f(x) d x \leq \int_{|x-E(x)| \sum \varepsilon} \frac{|X-E(X)|^2}{\varepsilon^2} f(x) d x \\
& \leq \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|X-E(X)|^2}{\varepsilon^2} f(x) d x=\frac{D(X)}{\varepsilon^2}
\end{aligned}
$$

例1
设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 计算 $P(|X-\mu| \geq 3 \sigma)$ 。
解: 因为 $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$ ，所以

$$
\begin{aligned}
& P(|X-\mu| \geq 3 \sigma)=P\left(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right| \geq 3\right) \\
& P\left(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right| \geq 3\right)=2-2 \Phi(3)=0.003
\end{aligned}
$$

例2 设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 用切比雪夫不等式估计概率 $P(|X-\mu| \geq 3 \sigma)$ 。
解
因为 $\varepsilon=3 \sigma$ ，由切比雪夫不等式得

$$
\begin{aligned}
& P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2} \\
& P(|X-\mu| \geq 3 \sigma) \leq \frac{D(X)}{(3 \sigma)^2}=\frac{1}{9}
\end{aligned}
$$

设随机变量 $X$ 的方差 $D(X)=0$ ，求证， $X$ 服从参数为 $c$ 的退化分布。
证明 利用切比雪夫不等式得，对任意的 $\varepsilon>0$ ，有

$$
0 \leq P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}=0
$$

由 $\varepsilon$ 的任意性知

$$
P(X=E(X))=1

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