最后更新: 2025-01-01 09:19 查看: 725 次反馈同步训练

矩阵的转置

## 矩阵的转置
**定义**： 设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right)$ 这是一个$3 \times 2$ 得矩阵，把矩阵 $A$ 的行、列互换得到的矩阵称为矩阵 $A$ 的转置矩阵，互换后矩阵变成$2 \times 3$型,记为 $A^{\mathrm{T}}$ ，即

$$
A^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6 \\
\end{array}\right) .
$$

#### 矩阵转置的性质
矩阵的转置满足下面的运算规律 (这里 $k$ 为常数， $A$ 与 $B$ 为同型矩阵)：
(1)$\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$ 
(2)$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 
(3) $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 
(4) $(k \boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}=k \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

请注意第三条性质可以推广
$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}\boldsymbol{C)}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

## 矩阵转置的计算

`例`设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 1\end{array}\right)$, 求 $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$.
解法一：

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 3 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
0 & 2 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
0 & 2
\end{array}\right) \text {, 所以 }(\boldsymbol{A B})^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ll}
-1 & 0 \\
-1 & 2
\end{array}\right) \text {. }
$$

解法二：

$$
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
-1 & 2 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & 1 \\
3 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
-1 & 2
\end{array}\right) .
$$

### 对称矩阵
**定义2** $n$ 阶方阵 $A$ 如果满足 $A^{\mathrm{T}}=A$ ，则称 $A$ 为对称矩阵，如果满足 $A^{\mathrm{T}}=-A$ ，则称 $A$ 为反对称矩阵.
由定义可知，
1 如果 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是对称矩阵，则 $a_{i j}=a_{j i}(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n)$.
如果 $n$ 阶方阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是反对称矩阵，
则 $a_{i j}=-a_{j i}(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n)$ ，且 $a_{i i}=0(i=1,2, \cdots, n)$.

`例` 设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，证明: $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{A A ^ { \mathrm { T } }}$ 都是对称矩阵.
证明 因为

$$
\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}, \quad\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}},
$$

所以 $A^{\mathrm{T}} A$ 和 $A A^{\mathrm{T}}$ 都是对称矩阵.

>注意：在矩阵证明题里，要证明一个矩阵是对称矩阵，通常使用 $A^T=A$ 这个性质

## 矩阵对平面和空间的旋转变换
在[矩阵乘法的本质论里](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1380) 讨论了矩阵乘法的意义。 平面和空间中的旋转变换是很常见的, 我们在前面的例子里也多次谈到旋转矩阵, 又比如工程中我们要模拟飞机在空中的前后、左右和上下的旋转动作等。因此, 弄清旋转矩阵是很有意思的。下面我们就详细讨论这个问题。

### 平面上点的旋转变换
   如图所示, 平面上任意一点 $P(x, y)$ 对应的向量 $\overrightarrow{o P}$ (与原点 $o$ 相连接得到), 以逆时针方向绕原点在平面上旋转 $\theta$ 角, 得到向量 $\overrightarrow{O P^{\prime}}$, 即点 $P(x, y)$ 在平面上以逆时针方向绕原点旋转 $\theta$ 角, 变化到点 $P^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ 。
   ![图片](/uploads/2024-01/image_20240112902c404.png)
   如果我们记这个变换为 $\boldsymbol{\Gamma}$, 那么有 $\overrightarrow{o P^{\prime}}=\boldsymbol{\Gamma} \overrightarrow{O P}$ 。实际上这个点的旋转变换 $\boldsymbol{\Gamma}$ 就是前面我们介绍的[旋转矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1380)  $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$, 即点（或向量）的旋转变换为

$$
\left(\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\righ

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