伴随矩阵与矩阵的求逆公式

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 31 次更新导出Word

**定义**

设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶方阵， $A_{i j}$ 是 $|A|$ 的 $(i, j)$ 元素 $a_{i j}$ 的代数余子式则矩阵

$$
\boldsymbol{A}^*=\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right)
$$

称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵.
引理 设方阵 $A^*$ 是 $n$ 阶方阵 $A$ 的伴随矩阵，则必有 $A A^*=A A^*=\left(\begin{array}{llll}|A| & & \\ & & \\ & & & \\ & \ddots & \\ & & |A|\end{array}\right)=|A| E$.
证明
乘积矩阵 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元为:

$$
a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=\delta_{i j}|\boldsymbol{A}| .
$$

即： $A A^*=|A| E$. 类似可得， $A^* A=|A| E$.

定理 1 如果 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆，则有求逆公式 $A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^*$.

证明 如果 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆，则有 $|A| \neq 0$. 于是在公式 $A A^*=A^* A=|A| E$ 两端同除以 $|A|$ 得

$$
\boldsymbol{A}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^*\right)=\left(\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^*\right) \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}
$$

因此有 $A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{\prime}$.

例1 设 2 阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, 因为 $|A|= \mid \begin{array}{l}a & b \\ c & d\end{array} \mid=a d-b c$ ，所以当 $a d-b c \neq 0$ 时，矩阵 $A$ 可逆.
且由于 $A$ 的伴随矩阵 $A^*=\left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right)$, 所以

$A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^*=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right)$.

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