范德蒙德行列式

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 45 次更新导出Word

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设 $A_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 是行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则

$$
a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=0, \quad i \neq j
$$

或

$$
a_{1 i} A_{1 j}+a_{2 i} A_{2 j}+\cdots+a_{n i} A_{n j}=0, \quad i \neq j
$$

证明 因为 $\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=|\boldsymbol{A}|$ 所以只要证明第一个公式即可.
将 $|A|$ 按第 $j$ 行展开，有

$$
|A|=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{i 1} & \cdots & a_{i n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{j 1} & \cdots & a_{j n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{r m}
\end{array}\right|=a_{j 1} A_{j 1}+a_{j 2} A_{j 2}+\cdots+a_{j n} A_{j n}
$$

把上式中 $a_{j 1} 1, a_{j 2}, \cdots, a_{j n}$ 换成 $a_{n 1}, a_{i 2}, \cdots, a_m$ ，可得

$$
a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{i 1} & \cdots & a_{i n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{i 1} & \cdots & a_{i n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=0 .
$$

即 $a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=0 \quad(i \neq j)$.
关于代数余子式的重要性质:

$$
\sum_{k=1}^n a_{i k} A_{j k}=|\boldsymbol{A}| \delta_{i j}=\left\{\begin{array}{cc}
|\boldsymbol{A}|, & i=j \\
0, & i \neq j .
\end{array}\right.
$$

或

$$
\sum_{k=1}^n a_{k i} A_{k j}=|\boldsymbol{A}| \delta_{i j}=\left\{\begin{array}{cc}
|\boldsymbol{A}|, & i=j \\
0, & i \neq j .
\end{array}\right.
$$

其中 $\delta_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1, & i=j \\ 0, & i \neq j .\end{array}\right.$ 是克罗内克 (Kronecker) 符号.

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