克莱默法则

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 35 次更新导出Word

二、克莱默法则
设有一个含有 $n$ 个末知数 $x_1, x_2, \cdots, x_n, n$ 个线性方程的方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\
\cdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n,
\end{array} \longleftrightarrow \boldsymbol{A X}=\boldsymbol{\beta}\right.
$$

其中

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right), \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right)
$$

定理 2 (Cramer (克莱默) 法则) :
如果线性方程组 $A X=\beta$ 的系数行列式不等于零，即 $|A| \neq 0$ ，则方程组有唯一解：

$$
x_1=\frac{D_1}{|\boldsymbol{A}|}, x_2=\frac{D_2}{|\boldsymbol{A}|}, \cdots, x_n=\frac{D_n}{|\boldsymbol{A}|},
$$

其中 $D_j(j=1,2, \cdots, n)$ 是把系数行列式的第 $j$ 列元素用 $\beta$ 的元素代替后得到的行列式.
证明 因为 $|A| \neq 0$ ，所以 $A^{-1}$ 存在. 令 $X=A^{-1} \beta$ ，则有 $A X=A\left(A^{-1} \beta\right)=\beta$ ，即 $X=A^{-1} \beta$ 是线性方程组的解.
且由 $A^{-1}$ 的唯一性可知，线性方程组的解是唯一的.
由求逆公式 $A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}$ 可得 $X=A^{-1} \beta=\frac{1}{|A|} A^* \beta$ ，
即

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102be772a4.png)
于是 $ x_j=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \sum_{k=1}^n b_k A_{i j}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\left(b_1 A_{1 j}+b_2 A_{2 j}+\cdots+b_n A_{n j}\right)(j=1,2, \cdots, n) \text {. } $ 而将$D_j$按第$j$列展开，有

$$
\begin{gathered}
D_j=\left|\begin{array}{ccccccc}
a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & b_1 & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2, j-1} & b_2 & a_{2, j+1} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & b_n & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=b_1 A_{1 j}+b_2 A_{2 j}+\cdots+b_n A_{n j}(j=1,2, \cdots, n), \\
\text { 所以 } x_j=\frac{D_j}{|\boldsymbol{A}|}(j=1,2, \cdots, n) \text {. }
\end{gathered}
$$

用克莱默法则求解线性方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-x_2-x_3 & =-1 \\
-2 x_1+2 x_2+x_3 & =1 \\
2 x_1-x_2+3 x_3 & =1
\end{aligned}\right.
$$

解：

$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
-2 & 2 & 1 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 5
\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 5 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right|=1 \neq 0, \quad D_1=\left|\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & -1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 3
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right|=-2,
$$

$$
D_2=\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
-2 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
0 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right|=-2, \quad D_3=\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
-2 & 2 & 1 \\
2 & -1 & 1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 3
\end{array}\right|=1,
$$

因此 $\quad x_1=\frac{D_1}{|\boldsymbol{A}|}=-2, \quad x_2=\frac{D_2}{|\boldsymbol{A}|}=-2, \quad x_3=\frac{D_3}{|\boldsymbol{A}|}=1$.

定理 3
如果线性方程组 $A X=\beta$ 的系数行列式不等于零，即 $|A| \neq 0$ ，则方程组一定有解，且解是唯一的.
定理 4
如果线性方程组 $A X=\beta$ 无解或有无穷多解，则它的系数行列式必等于零， 即 $|A|=0$.
完理 5
如果齐次线性方程组 $A X=0$ 的系数行列式不等于零，即 $|A| \mid \neq 0$ ，则它只零解 $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$.
定理 6
如果齐次线性方程组 $A X=0$ 有非零解，则必有它的系数行列式等于零， 即 $|A|=0$.

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