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线性代数
第一篇 方阵的行列式
克莱默法则
日期:
2024-01-12 16:15
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克莱默法则
二、克莱默法则 设有一个含有 $n$ 个末知数 $x_1, x_2, \cdots, x_n, n$ 个线性方程的方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1, \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\ \cdots \\ a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n, \end{array} \longleftrightarrow \boldsymbol{A X}=\boldsymbol{\beta}\right. $$ 其中 $$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right), \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) $$ 定理 2 (Cramer (克莱默) 法则) : 如果线性方程组 $A X=\beta$ 的系数行列式不等于零，即 $|A| \neq 0$ ，则方程组有唯一解： $$ x_1=\frac{D_1}{|\boldsymbol{A}|}, x_2=\frac{D_2}{|\boldsymbol{A}|}, \cdots, x_n=\frac{D_n}{|\boldsymbol{A}|}, $$ 其中 $D_j(j=1,2, \cdots, n)$ 是把系数行列式的第 $j$ 列元素用 $\beta$ 的元素代替后得到的行列式. 证明 因为 $|A| \neq 0$ ，所以 $A^{-1}$ 存在. 令 $X=A^{-1} \beta$ ，则有 $A X=A\left(A^{-1} \beta\right)=\beta$ ，即 $X=A^{-1} \beta$ 是线性方程组的解. 且由 $A^{-1}$ 的唯一性可知，线性方程组的解是唯一的. 由求逆公式 $A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}$ 可得 $X=A^{-1} \beta=\frac{1}{|A|} A^* \beta$ ， 即  于是 $ x_j=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \sum_{k=1}^n b_k A_{i j}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\left(b_1 A_{1 j}+b_2 A_{2 j}+\cdots+b_n A_{n j}\right)(j=1,2, \cdots, n) \text {. } $ 而将$D_j$按第$j$列展开，有 $$ \begin{gathered} D_j=\left|\begin{array}{ccccccc} a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & b_1 & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2, j-1} & b_2 & a_{2, j+1} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & b_n & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=b_1 A_{1 j}+b_2 A_{2 j}+\cdots+b_n A_{n j}(j=1,2, \cdots, n), \\ \text { 所以 } x_j=\frac{D_j}{|\boldsymbol{A}|}(j=1,2, \cdots, n) \text {. } \end{gathered} $$ 用克莱默法则求解线性方程组 $$ \left\{\begin{aligned} x_1-x_2-x_3 & =-1 \\ -2 x_1+2 x_2+x_3 & =1 \\ 2 x_1-x_2+3 x_3 & =1 \end{aligned}\right. $$ 解： $$ |\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 5 \end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right|=1 \neq 0, \quad D_1=\left|\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|=-2, $$ $$ D_2=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|=-2, \quad D_3=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right|=1, $$ 因此 $\quad x_1=\frac{D_1}{|\boldsymbol{A}|}=-2, \quad x_2=\frac{D_2}{|\boldsymbol{A}|}=-2, \quad x_3=\frac{D_3}{|\boldsymbol{A}|}=1$. 定理 3 如果线性方程组 $A X=\beta$ 的系数行列式不等于零，即 $|A| \neq 0$ ，则方程组一定有解，且解是唯一的. 定理 4 如果线性方程组 $A X=\beta$ 无解或有无穷多解，则它的系数行列式必等于零， 即 $|A|=0$. 完理 5 如果齐次线性方程组 $A X=0$ 的系数行列式不等于零，即 $|A| \mid \neq 0$ ，则它只零解 $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$. 定理 6 如果齐次线性方程组 $A X=0$ 有非零解，则必有它的系数行列式等于零， 即 $|A|=0$.  ## 3.7 克莱姆法则的几何意义 1750 年, 瑞士的克莱姆发现了用行列式求解线性方程组的克莱姆 (Cramer) 法则。这个法则在表述上简洁自然, 思想深刻, 包含了对多重行列式的计算, 是对行列式与线性方程组之间关系的深刻理解。如果我们不能从几何上解释这个法则, 就难以领会向量、行列式和线性方程组之间的真正关系。 3. 7.1 二阶克莱姆法则的几何解释 对于二阶线性方程组: $\left\{\begin{array}{l}a_1 x+b_1 y=c_1 \\ a_2 x+b_2 y=c_2\end{array}\right.$, 其克莱姆法则的解为 $$ x=\frac{\left|\begin{array}{ll} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{array}\right|}, y=\frac{\left|\begin{array}{ll} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} a_1 & b_1 \\ a_1 & b_2 \end{array}\right|} $$ 这里为解释其几何意义, 同样从行列式的列或行向量的角度入手。 2 阶列向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c} 、 \boldsymbol{x}$分别表示为 $$ \boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{l} a_1 \\ a_2 \end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l} b_1 \\ b_2 \end{array}\right), \boldsymbol{c}=\left(\begin{array}{l} c_1 \\ c_2 \end{array}\right), \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) $$ 上述二阶线性方程组使用向量的形式表示为 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$ 。下面推导出二阶克莱姆法则。 对于二阶线性方程组的系数行列式 $|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}|$, 我们构造出: $$ x|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}|=|x \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}|=|x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}, \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}| $$ 因此 $$ x=\frac{|\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}|} $$ 据此构造的推理过程, 绘出构造过程中的几何图形, 如图 3-26 所示。  在图 3-26 中, 向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 的叉积是平行四边形, 其面积是 $S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}|$ 。这个面积$S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 乘以一个数值 $x$ (图里 $x$ 大于 1), 等同于向量 $\boldsymbol{b}$ 不变, 同时与向量 $\boldsymbol{a}$ 伸长得到的新向量 $x \boldsymbol{a}$ 叉积张成大平行四边形。结果是平行四边形 $S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 向上伸展为大平行四边形 $S(x \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 。 接着, 大平行四边形进行右向切变换, 切变面积不变。这个切变等同于向量 $\boldsymbol{b}$ 不变, 同时向量 $x \boldsymbol{a}$ 和 $y \boldsymbol{b}$ 相加得到新向量 $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}$, 向量 $\boldsymbol{b}$ 与新向量 $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}$ 叉积张成细长形的平行四边形, 结果是大平行四边形右向切变换为细长形的平行四边形, 面积表达式为 $S(x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}, \boldsymbol{b})$, 即 $S(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b})$ 。 因此各个平行四边形的面积有等式 $$ x S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=S(x \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=S(x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}, \boldsymbol{b})=S(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}) $$ 从而 $x$ 的表达式为 $$ x=\frac{S(x \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})}{S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})}=\frac{S(x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}, \boldsymbol{b})}{S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})}=\frac{S(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b})}{S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})} $$ 把面积用行列式表示, 即可得克莱姆法则的表达式 $$ x=\frac{S(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b})}{S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})}=\frac{|\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}|} $$ 因此我们可以归纳出: $x$ 为由面积 $S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 伸缩和切变到 $S(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b})$ 的面积之比例，是变化前后的面积之比。 同理, 我们构造出 $y|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}, y \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}, x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}|$, 得到 $y=\frac{|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}|}{|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}|}$ 。它的几何图形类同于 $x=\frac{|c, b|}{|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}|}$, 咱不再画了。 ## 3.7.2 三阶克莱姆法则的几何解释 三阶线性方程组如下: $$ \left\{\begin{array}{l} a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \\ a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\ a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 \end{array}\right. $$ 其克莱姆法则的解为 $$ x=\frac{\left|\begin{array}{lll} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|}, y=\frac{\left|\begin{array}{lll} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|}, z=\frac{\left|\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|} $$ 同样地, 三阶列向量 $a 、 b 、 c 、 d 、 x$ 分别表示为 $$ \boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{l} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right), \boldsymbol{c}=\left(\begin{array}{l} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array}\right), \boldsymbol{d}=\left(\begin{array}{l} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{array}\right), \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) $$ 因此三阶线性方程组表示为 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{d}$ 。与二阶克莱姆法则的推导类似, 下面推导三阶克莱姆法则。 对于三阶线性方程组的系数行列式 $|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}|$, 我们构造出: $$ x|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}|=|x \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}|=|x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}|=|x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}|=|(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) \boldsymbol{x}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{d}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}| $$ 因此 $$ x=\frac{|d, b, c|}{|a, b, c|} $$ 类似地, 我们可以得到 $y=\frac{|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{d}, \boldsymbol{c}|}{|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}|}, z=\frac{|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{d}|}{|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}|}$ 。据上述推理过程, 绘出 $x=\frac{|\boldsymbol{d}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}|}{|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}|}$ 的几何图形如图 3-27 所示。  由图 3-27 看到, 由向量 $\boldsymbol{d} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 张成的平行六面体的体积 $|\boldsymbol{d}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}|$ 除以由向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 张成的平行六面体的体积 $|\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}|$ 就是向量 $\boldsymbol{a}$ 的伸缩量 $x$ 值。因为我们看到, 在图所示的变换中,以 $\boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 两向量张成的平行四边形面积 $S(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})$ 为底的平行六面体的变化过程中, 只有向量 $\boldsymbol{a}$ 进行了伸缩变化, 其余的平行六面体的变化只是先后沿着向量 $\boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{c}$ 的方向进行了等体积的切向变化, 因此向量 $\boldsymbol{a}$ 方向的高度没有变化。 克莱姆法则的意义是可以用方程组的系数和常数项的行列式把方程组的解简洁地表达出来。但在实际工程应用中由于计算量较大, 常常采用高斯消元法来解大型的线性方程组。在后面的线性方程组一章 (详见第 6 章) 中, 我们将探讨高斯消元法的几何意义。 在以上的行列式的各类性质的几何解释中，除了伸缩、旋转、镜像就是切变，向量的大小 和方向在变化，但没有对向量进行弯曲、扭曲变化，全部是直线段的变化。所有的变化保持直线性。因此行列式的计算吅包含线性变换的内涵。这个意思到了矩阵一章就比较清楚了。
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