日期: 2024-01-12 16:20 查看: 106 次编辑导出本文

最后一列为 1 的行列式

某一类行列式的形式如下:

$$
\left|\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n-1} & 1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n-1} & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n-1} & 1
\end{array}\right|

这类行列式有个特点, 就是行列式的最后一列全部是数字 1。在前面章节中我们给出了一般行列式的几何意义, 比如三阶行列式是由三个三维向量所张成的平行多面体的有向体积, 那么对于最后一列的元素全部为 1 的三阶行列式至少也有同样的几何意义。

这类行列式看起来很特殊, 不过在解析几何中应用满多的, 而且此类行列式除了前面所讲述的一般情况下的几何意义外还有更简洁的几何意义。

对于二阶行列式 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & 1 \\ a_{21} & 1\end{array}\right|$, 其一般的几何意义是由二维向量 $\boldsymbol{a}=\left(a_{11}, 1\right)$ 和 $\boldsymbol{b}=\left(a_{21}, 1\right)$ 所张成的平行四边形的有向面积 (见图 3-28(a)), 其值等于 $a_{11}-a_{21}$, 如图 3-28 (b) 所示。显然,两个向量的末端都在一条直线上。
![图片](/uploads/2024-01/image_202401123c38eac.png)
另外, 从行列式的值的表达式 $a_{11}-a_{21}$, 直接得到另外一个几何意义, 就是坐标 $x$ 轴上的有向线段 $\overrightarrow{a_{21} a_{11}}$ 的有向长度。显然, 如果此行列式为零, 那么向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 重合; 在解析几何上可以判断点 $a 、 b$ 重合。

对于三阶行列式 $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & 1 \\ a_{31} & a_{32} & 1\end{array}\right|$, 其一般的几何意义是由三个三维行向量 $\left(a_{11}, a_{12}, 1\right)$ 、 $\left(a_{21}, a_{22}, 1\right) 、\left(a_{31}, a_{32}, 1\right)$ 所张成的平行六面体的有向体积, 如图 3-29 所示。
![图片](/uploads/2024-01/image_2024011276e0558.png)
显然也可以看出, 三个向量的末端都在一个平面 $x_3=1$ 上, 这一点下面马上提到。
对于三阶行列式, 我们可以利用行列式的性质对其进行变换, 第 2 行和第 3 行元素分别减去第 1 行元素, 进而按照第 3 列进行展开, 得到一个二阶行列式:

$$
\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & 1 \\
a_{21} & a_{22} & 1 \\
a_{31} & a_{32} & 1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & 1 \\
a_{21}-a_{11} & a_{22}-a_{12} & 0 \\
a_{31}-a_{11} & a_{32}-a_{12} & 0
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
a_{21}-a_{11} & a_{22}-a_{12} \\
a_{31}-a_{11} & a_{32}-a_{12}
\end{array}\right|
$$

二阶行列式 $\left|\begin{array}{ll}a_{21}-a_{11} & a_{22}-a_{12} \\ a_{31}-a_{11} & a_{32}-a_{12}\end{array}\right|$ 的向量张成的面实际上是在二维平面 $x_3=1$ 上, 即由行向量 $\overrightarrow{A_1 A_2}=\left(a_{21}-a_{11}, a_{22}-a_{12}\right)$ 和 $\overrightarrow{A_1 A_3}=\left(a_{31}-a_{11}, a_{32}-a_{12}\right)$ 所张成的平行四边形的有向面积, 如图 3-30 所示的阴影平行四边形。
![图片](/uploads/2024-01/image_202401124af17b5.png)
稍进一步, 更具有实用意义的是此行列式还等于在二维平面 $x_3=1$ 上以三点 $A_1\left(a_{11}, a_{12}\right)$ 、 $A_2\left(a_{21}, a_{22}\right)$ 和 $A_3\left(a_{31}, a_{32}\right)$ 为顶点的三角形 $\Delta A_1 A_2 A_3$ 面积的 2 倍, 见图 3-31 中的阴影三角形。
![图片](/uploads/2024-01/image_202401127b859e7.png)
有个推论就是, 如果行列式等于零, 那么六面体的体积等于零, 三角形的面积 $\Delta A_1 A_2 A_3$ 也等于零, 说明三个顶点 $A_1 、 A_2 、 A_3$ 在一条直线上。

类似地, 对于四阶行列式 $\left|\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 1 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 1 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & 1\end{array}\right|$, 其一般的几何意义是由四个四维行向量所张成的平行八面体的有向体积; 同时也是三维空间 $x_4=1$ 中以四个点 $A_1\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}\right) 、 A_2\left(a_{21}, a_{22}, a_{23}\right)$ 、 $A_3\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}\right)$ 和 $A_4\left(a_{41}, a_{42}, a_{43}\right)$ 为顶点的四面体的体积的 6 倍; 同时也是以向量 $\overrightarrow{A_1 A_2} 、 \overrightarrow{A_1 A_3}$和 $\overrightarrow{A_1 A_4}$ 张成 (为相邻棱) 的平行六面体的有向体积。
3. 8. 2 一列为 1 的行列式的应用
在解析几何中我们常常应用等式 $D_n=\left|\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n-1} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n-1} & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n-1} & 1\end{array}\right|=0$ 来判断空间中点之间的关系,比如,

$$
D_n=0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
n=2, \text { 一维数轴上两点重合 } \\
n=3, \text { 二维平面上三点共线 } \\
n=4, \text { 三维空间中四点共面 }
\end{array}\right.
$$

这个结论是 3.8.1 一节的总结。下面我们看一看此类行列式在几何上的灵活应用。
例 3.1 有行列式方程:

$$
\left|\begin{array}{lll}
x & y & 1 \\
a_1 & a_2 & 1 \\
b_1 & b_2 & 1
\end{array}\right|=0
$$

此行列式方程表示过平面两点 $A\left(a_1, a_2\right)$ 和 $B\left(b_1, b_2\right)$ 的直线, 其中 $(x, y)$ 为直线上的任意一点。将其推广到空间中, 如例 3.2 所示。
例 3.2

$$
\left|\begin{array}{llll}
x & y & z & 1 \\
a_1 & a_2 & a_3 & 1 \\
b_1 & b_2 & b_3 & 1 \\
c_1 & c_2 & c_3 & 1
\end{array}\right|=0
$$

此行列式方程表示, 不在同一条直线上的三点 $A\left(a_1, a_2, a_3\right) 、 B\left(b_1, b_2, b_3\right) 、 C\left(c_1, c_2, c_3\right)$ 所确定的平面, 其中 $(x, y, z)$ 是平面上的任意一点。
这个行列式方程也可以这样得到:
从初等几何的知识知道, 过不在同一条直线的三点 $A 、 B 、 C$ 的平面 $\Pi$ 是存在的。设平面$\Pi$ 的一般方程为 $A x+B \mathrm{y}+C z+D=0$, 那么平面上的三点和任意一点 $M(x, y, z)$ 满足方程组:

$$
\left\{\begin{array}{l}
A x+B y+C z+D=0 \\
A a_1+B a_2+C a_3+D=0 \\
A b_1+B b_2+C b_3+D=0 \\
A c_1+B c_2+C c_3+D=0
\end{array}\right.
$$

将这个方程看成是对于欲求平面系数 $A 、 B 、 C 、 D$ 的齐次线性方程:

$$
\left[\begin{array}{llll}
x & y & z & 1 \\
a_1 & a_2 & a_3 & 1 \\
b_1 & b_2 & b_3 & 1 \\
c_1 & c_2 & c_3 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
A \\
B \\
C \\
D
\end{array}\right]=\mathbf{0}
$$

因为这个平面是存在的, 所以方程组有非零解, 根据第 6 章线性方程组的理论, 四阶矩阵的行列式等于零, 因此得到了题目中的结论。

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