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逆矩阵

### 逆矩阵引入
在数学里，数字有加减乘除运算，自然，我们想把这个运算规律推广到矩阵上。在矩阵里，前面介绍了矩阵的加减和乘法，只有除法没有说过。
在数字运算中, 除法是乘法的逆运算, 它可以通过求倒数来实现. 即若求数 $a$ 除以 $b(b \neq 0)$ 的商, 则只需求出 $b^{-1}=\frac{1}{b}$, 于是 $\frac{a}{b}=a b^{-1}$. 对矩阵我们也可以这样做, 先定义矩阵的逆阵, 然后将矩阵的除法归结为一个矩阵和另外一个矩阵的逆阵之积.

## 逆矩阵的定义
**定义1**    设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，如果存在 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{B}$ 使得

$$
A B=B A=E \text {, }
$$

其中 $E$ 为 $n$ 阶单位方阵，则称矩阵 $A$ 是可逆的，矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵；否则称 $A$ 是不可逆的.
如果矩阵 $A$ 可逆，则 $A$ 的逆矩阵一定是唯一的.
这是因为，若矩阵 $B 、 C$ 都满足 $A B=B A=E ， A C=C A=E$ ，于是 $C=C E=C(A B)=(C A) B=E B=B$.
所以 $A$ 的逆矩阵一定是唯一的. $A$ 的逆矩阵记为 $A^{-1}$.

**并非任一非零方阵都有逆阵．** 比如，矩阵

$$
A =\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right)
$$

就没有逆阵．因为对任一 $B =\left(b_{i j}\right)_{2 \times 2}$ ，有

$$
A B =\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
b_{11}+b_{21} & b_{12}+b_{22} \\
0 & 0
\end{array}\right) .
$$

$A B$ 不可能是单位阵．

### 矩阵的逆是什么
如果把矩阵的逆类比为数字中的倒数：应该是

数字：$ab=1 => b=\dfrac{1}{a}=a^{-1}$
矩阵：$AB=E => B=\dfrac{1}{A}=A^{-1}$

但是，等等，因为矩阵一般不满足 $AB \neq BA$，写成倒数就会有问题，例如

$\dfrac{AB}{C}$ 到底表示的是 $ABC^{-1}$ 还是  $C^{-1}AB$ 会有歧义.

>矩阵里，我们从不会说矩阵有除法运算，而是说有逆运算。但是在学习中，您完全可以把逆运算看成除法，这样很多推导会容易记忆的很多。

#### 奇异矩阵/退化矩阵
若方阵$A$得行列式$|A|=0$,则称$A$为奇异矩阵，也叫退化矩阵或降秩矩阵。

#### 非奇异矩阵/非退化矩阵
若方阵$A$得行列式$|A| \ne 0$,则称$A$非奇异矩阵，也叫非退化矩阵或非降秩矩阵。

>把矩阵的逆想象为数字除法后，正像除非里分母不能为零，同样，逆矩阵里$|A| \neq 0$。 如果$|A| = 0$他就是不可逆。

在矩阵的定义里，曾经说过，$|A|$ 代表矩阵张量的空间，$A$ 表示空间里向量，如果$|A|$为零，则表示空间坍塌为一个点，自然向量也就不存在了，进而也就没有逆矩阵了。

由 $|A| \neq 0$ 可知矩阵 $A$ 可逆，这样可以得出另外一个重要结论: 可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。如果 $A$ 为奇异矩阵，则 $A X=0$ 有无穷解， $A X=b$ 有无穷解或者无解。如果 $A$ 为非奇异矩阵，则 $A X=0$ 有且只有唯一零解， $A X=b$ 有唯一解。

>记忆技巧，我们可以把 $A X=0$ 想象称初中的 $ax=0$，A的性质和a类似

## 逆矩阵的性质
   1 若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 也可逆，并且 $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$ ；
   2 若矩阵 $A_1, A_2, \cdots, A_s$ 都可逆，则它们的乘积 $A_1 A_2 \cdots A_s$ 也可逆，并且 $\left(A_1 A_2 \cdots A_s\right)^{-1}=A_s^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1} ;$
   3 若 $A$ 可逆，则 $A^{\mathrm{T}}$ 也可逆，并且 $\left(A^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm{T}}$ ；
   4 若 $A$ 可逆并且数 $k \neq 0$ ，则 $k \boldsymbol{A}$ 也可逆，并且 $(k \boldsymbol{A})^{-1}=k^{-1} A^{-1}$.
   
  
`例`若矩阵 $A$ 有全零行 (全零列)，那么矩阵 $A$ 一定不可逆.
   证明 假设矩阵 $A$ 的第 $i$ 行是全零行，则对任何一个矩阵 $B$ ，矩阵 $A B$ 的第 $i$ 行总是全为零， 从而不存在矩阵 $B$ 使得 $A B=B A=E$ ，所以矩阵 $A$ 不可逆.
   类似可证，若矩阵 $A$ 有全零列，那么矩阵 $A$ 一定不可逆.
   
   
`例`设 $A^k=\boldsymbol{O}$ ( $k$ 为正整数), 证明: $(E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}$.
   证明 因为 $A^k=O$, 于是

$$
\begin{aligned}
(E-A)\left(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}\right) & =E\left(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}\right)-A\left(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}\right) \\
& =E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}-A-A^2-\cdots-A^{k-1}-A^k=E-A^k=E,
\end{aligned}
$$

$$
\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2+\cdots+\boldsymbol{A}^{k-1}\right)(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2+\cdots+\boldsymbol{A}^{k-1}\right) \boldsymbol{E}-\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2+\cdots+\boldsymbol{A}^{k-1}\right) \boldsymbol{A}
$$

$$
=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}-A-A^2-\cdots-A^{k-1}-A^k=E-A^k=E,
$$

所以人 $E-A$ 可逆，且 $(E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}$.

## 矩阵可逆的充要条件
**定理2**  $n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $|A| \neq 0$.
证明 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆，则方阵 $A$ 行等价于单位阵 $E$ ，即 $A$ 可通过初等行变换化为单位阵 $E$. 一定存在一个数 $\lambda \neq 0$ ，使得 $|A|=\lambda|E|$. 而 $|E|=1$ ，因此 $|A|=\lambda \neq 0$.
反之，设 $|A| \neq 0$. 由于 $n$ 阶方阵 $A$ 可通过初等行变换化为行最简形矩阵 $R$ ， 因此存在一个数 $\lambda \neq 0$, 使得 $|A|=\lambda|R|$. 由 $|A| \neq 0$ 可得 $|R| \neq 0$ ，因此 $R$ 中没有全零行，从而 $R=E$.
也就是说，方阵 $A$ 行等价于单位阵 $E$ ，所以方阵 $A$ 可逆.

**例3** 判断下列矩阵是否可逆:
(1) $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)$;
(2) $B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right)$.

解：(1)因为 $\quad|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 2\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right|=4 \neq 0$, 所以矩阵 $A$ 可逆.
(2) 因为 $|\boldsymbol{B}|=\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2\end{array}\right|=0$, 所以矩阵 $B$ 不可逆.

**逆矩阵的求法**
逆矩阵通常有两种求法
（1）伴随矩阵法
（2）初等行变换法
（3）初等列变换法

## 伴随矩阵法求解逆矩阵

伴随矩阵的性质：
$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{I}_n
$$
利用这个性质可以求矩阵的逆。

`例`求 
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 2
\end{array}\right)
$$
的伴随矩阵

注：本节内容涉及 [伴随矩阵](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=474) 的求法。

解：
$$
\begin{aligned}
&\text { 因为 }|\boldsymbol{A}|=-18 \neq 0 \text { ，所以 } \boldsymbol{A} \text { 可逆. }\\
&\begin{aligned}
& A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right|=5, \quad A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
3 & 2
\end{array}\right|=-1, \quad A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
3 & 1
\end{array}\right|=-7 \\
& A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
1 & 2
\end{array}\right|=-1, \quad A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
3 & 2
\end{array}\right|=-7, \quad A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 1
\end{array}\right|=5 \\
& A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
3 & 1
\end{array}\right|=-7, \quad A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
2 & 1
\end{array}\right|=5, \quad A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{array}\right|=-1
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

于是$A$的伴随矩阵为

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
5 & -1 & -7 \\
-1 & -7 & 5 \\
-7 & 5 & -1
\end{array}\right) 
$$

$A$得逆矩阵
$$
\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^*=\frac{1}{-18}\left(\begin{array}{ccc}
5 & -1 & -7 \\
-1 & -7 & 5 \\
-7 & 5 & -1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{5}{18} & \frac{1}{18} & \frac{7}{18} \\
\frac{1}{18} & \frac{7}{18} & -\frac{5}{18} \\
\frac{7}{18} & -\frac{5}{18} & \frac{1}{18}
\end{array}\right)
$$

## 初等行变换法求逆矩阵

**定理** $ n \times n$ 矩阵 $A$ 是可逆的,   $A$ 行等价于 $I_n$, 这时, 把 $A$ 变为 $I_n$ 的一系列初等行变换同时也会把 $I_n$ 变成 $A^{-1}$ 。

证 设 $A$ 是可逆矩阵, 则对任意 $b$, 方程 $A x = b$ 有解 ， $A$ 在每一行有主元位置 , 因 $A$ 是方阵, 这 $n$ 个主元位置必在对角线上. 这就是说 $A$ 的简化阶梯形是 $I_n$, 即 $A \sim I_n$.

反之, 若 $A \sim I_n$, 因每一步行变换对应于左乘一个初等矩阵, 就是说, 存在初等矩阵 $E_1, \cdots, E_p$使

$$
A \sim E_1 A \sim E_2\left(E_1 A\right) \sim \cdots \sim E_p\left(E_{p-1} \cdots E_1 A\right)=I_n
$$

即

$$
E_p E_{p-1} \cdots E_1 A=I_n
$$

因为 $E_p \cdots E_1$ 是可逆矩阵的乘积, 因此也是可逆矩阵, 由 (1) 式推出

$$
\begin{aligned}
\left(E_p \cdots E_1\right)^{-1}\left(E_p \cdots E_1\right) A & =\left(E_p \cdots E_1\right)^{-1} I_n \\
A & =\left(E_p \cdots E_1\right)^{-1}
\end{aligned}
$$

于是 $A$ 是可逆的, 因它是可逆矩阵的逆 , 同样有

$$
A^{-1}=\left[\left(E_p \cdots E_1\right)^{-1}\right]^{-1}=E_p \cdots E_1
$$

于是 $A^{-1}=E_p \cdots E_1 \cdot I_n$, 这就是说, $A^{-1}$ 可由依次以 $E_1, \cdots, E_p$ 作用于 $I_n$ 而得到, 它们就是上 式中把 $A$ 变为 $I_n$ 的同一行变换序列.

由此得到如下结论：

> **若$A$是一个$n$阶矩阵,把$A$和单位阵$E$合在一起，即 $[A \mid E]$ 然后进行初等行变

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