在线学习
重点科目
初中数学
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
高中物理
数学公式
主要科目
复变函数
离散数学
数学分析
实变函数
群论
数论
未整理科目
近世代数
数值分析
常微分方程
偏微分方程
大学物理
射影几何
微分几何
泛函分析
拓扑学
数学物理
趣味数学
科数网
首页
教材
高考区
考研区
VIP
科数网
题库
在线学习
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
高中物理
复变函数
离散数学
你好
游客,
登录
注册
在线学习
线性代数
第二篇 矩阵
逆矩阵
最后
更新:
2025-01-01 09:34
查看:
417
次
反馈
刷题
逆矩阵
### 引入 在数学里,数字有加减乘除运算,自然,我们想把这个运算规律推广到矩阵上。在矩阵里,前面介绍了矩阵的加减和乘法,只有除法没有说过。 在数字运算中, 除法是乘法的逆运算, 它可以通过求倒数来实现. 即若求数 $a$ 除以 $b(b \neq 0)$ 的商, 则只需求出 $b^{-1}=\frac{1}{b}$, 于是 $\frac{a}{b}=a b^{-1}$. 对矩阵我们也可以这样做, 先定义矩阵的逆阵, 然后将矩阵的除法归结为一个矩阵和另外一个矩阵的逆阵之积. ## 逆矩阵的定义 **定义1** 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,如果存在 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{B}$ 使得 $$ A B=B A=E \text {, } $$ 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位方阵,则称矩阵 $A$ 是可逆的,矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵;否则称 $A$ 是不可逆的. 如果矩阵 $A$ 可逆,则 $A$ 的逆矩阵一定是唯一的. 这是因为,若矩阵 $B 、 C$ 都满足 $A B=B A=E , A C=C A=E$ ,于是 $C=C E=C(A B)=(C A) B=E B=B$. 所以 $A$ 的逆矩阵一定是唯一的. $A$ 的逆矩阵记为 $A^{-1}$. **并非任一非零方阵都有逆阵.** 比如,矩阵 $$ A =\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) $$ 就没有逆阵.因为对任一 $B =\left(b_{i j}\right)_{2 \times 2}$ ,有 $$ A B =\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} b_{11}+b_{21} & b_{12}+b_{22} \\ 0 & 0 \end{array}\right) . $$ $A B$ 不可能是单位阵. ### 矩阵的逆是什么 如果把矩阵的逆类比为数字中的倒数:应该是 数字:$ab=1 => b=\dfrac{1}{a}=a^{-1}$ 矩阵:$AB=E => B=\dfrac{1}{A}=A^{-1}$ 但是,等等,因为矩阵一般不满足 $AB \neq BA$,写成倒数就会有问题,例如 $\dfrac{AB}{C}$ 到底表示的是 $ABC^{-1}$ 还是 $C^{-1}AB$ 会有歧义. >矩阵里,我们从不会说矩阵有除法运算,而是说有逆运算。但是在学习中,您完全可以把逆运算看成除法,这样很多推导会容易记忆的很多。 #### 奇异矩阵/退化矩阵 若方阵$A$得行列式$|A|=0$,则称$A$为奇异矩阵,也叫退化矩阵或降秩矩阵。 #### 非奇异矩阵/非退化矩阵 若方阵$A$得行列式$|A| \ne 0$,则称$A$非奇异矩阵,也叫非退化矩阵或非降秩矩阵。 >把矩阵的逆想象为数字除法后,正像除非里分母不能为零,同样,逆矩阵里$|A| \neq 0$。 如果$|A| = 0$他就是不可逆。 在矩阵的定义里,曾经说过,$|A|$ 代表矩阵张量的空间,$A$ 表示空间里向量,如果$|A|$为零,则表示空间坍塌为一个点,自然向量也就不存在了,进而也就没有逆矩阵了。 由 $|A| \neq 0$ 可知矩阵 $A$ 可逆,这样可以得出另外一个重要结论: 可逆矩阵就是非奇异矩阵,非奇异矩阵也是可逆矩阵。如果 $A$ 为奇异矩阵,则 $A X=0$ 有无穷解, $A X=b$ 有无穷解或者无解。如果 $A$ 为非奇异矩阵,则 $A X=0$ 有且只有唯一零解, $A X=b$ 有唯一解。 >记忆技巧,我们可以把 $A X=0$ 想象称初中的 $ax=0$,A的性质和a类似 ## 逆矩阵的性质 1 若 $A$ 可逆,则 $A^{-1}$ 也可逆,并且 $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$ ; 2 若矩阵 $A_1, A_2, \cdots, A_s$ 都可逆,则它们的乘积 $A_1 A_2 \cdots A_s$ 也可逆,并且 $\left(A_1 A_2 \cdots A_s\right)^{-1}=A_s^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1} ;$ 3 若 $A$ 可逆,则 $A^{\mathrm{T}}$ 也可逆,并且 $\left(A^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm{T}}$ ; 4 若 $A$ 可逆并且数 $k \neq 0$ ,则 $k \boldsymbol{A}$ 也可逆,并且 $(k \boldsymbol{A})^{-1}=k^{-1} A^{-1}$. `例`若矩阵 $A$ 有全零行 (全零列),那么矩阵 $A$ 一定不可逆. 证明 假设矩阵 $A$ 的第 $i$ 行是全零行,则对任何一个矩阵 $B$ ,矩阵 $A B$ 的第 $i$ 行总是全为零, 从而不存在矩阵 $B$ 使得 $A B=B A=E$ ,所以矩阵 $A$ 不可逆. 类似可证,若矩阵 $A$ 有全零列,那么矩阵 $A$ 一定不可逆. `例`设 $A^k=\boldsymbol{O}$ ( $k$ 为正整数), 证明: $(E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}$. 证明 因为 $A^k=O$, 于是 $$ \begin{aligned} (E-A)\left(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}\right) & =E\left(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}\right)-A\left(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}\right) \\ & =E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}-A-A^2-\cdots-A^{k-1}-A^k=E-A^k=E, \end{aligned} $$ $$ \left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2+\cdots+\boldsymbol{A}^{k-1}\right)(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2+\cdots+\boldsymbol{A}^{k-1}\right) \boldsymbol{E}-\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2+\cdots+\boldsymbol{A}^{k-1}\right) \boldsymbol{A} $$ $$ =E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}-A-A^2-\cdots-A^{k-1}-A^k=E-A^k=E, $$ 所以人 $E-A$ 可逆,且 $(E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}$. ## 矩阵可逆的充要条件 **定理2** $n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $|A| \neq 0$. 证明 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆,则方阵 $A$ 行等价于单位阵 $E$ ,即 $A$ 可通过初等行变换化为单位阵 $E$. 一定存在一个数 $\lambda \neq 0$ ,使得 $|A|=\lambda|E|$. 而 $|E|=1$ ,因此 $|A|=\lambda \neq 0$. 反之,设 $|A| \neq 0$. 由于 $n$ 阶方阵 $A$ 可通过初等行变换化为行最简形矩阵 $R$ , 因此存在一个数 $\lambda \neq 0$, 使得 $|A|=\lambda|R|$. 由 $|A| \neq 0$ 可得 $|R| \neq 0$ ,因此 $R$ 中没有全零行,从而 $R=E$. 也就是说,方阵 $A$ 行等价于单位阵 $E$ ,所以方阵 $A$ 可逆. **例3** 判断下列矩阵是否可逆: (1) $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)$; (2) $B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right)$. 解:(1)因为 $\quad|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 2\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right|=4 \neq 0$, 所以矩阵 $A$ 可逆. (2) 因为 $|\boldsymbol{B}|=\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2\end{array}\right|=0$, 所以矩阵 $B$ 不可逆. **逆矩阵的求法** 逆矩阵通常有两种求法 (1)伴随矩阵法 (2)初等变换法 ## 伴随矩阵法求解逆矩阵 伴随矩阵的性质: $$ \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{I}_n $$ 利用这个性质可以求矩阵的逆。 `例`求 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right) $$ 的伴随矩阵 注:本节内容涉及 [伴随矩阵](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=474) 的求法。 解: $$ \begin{aligned} &\text { 因为 }|\boldsymbol{A}|=-18 \neq 0 \text { ,所以 } \boldsymbol{A} \text { 可逆. }\\ &\begin{aligned} & A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right|=5, \quad A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right|=-1, \quad A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{array}\right|=-7 \\ & A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right|=-1, \quad A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{array}\right|=-7, \quad A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}\right|=5 \\ & A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{array}\right|=-7, \quad A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right|=5, \quad A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right|=-1 \end{aligned} \end{aligned} $$ 于是$A$的伴随矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 5 & -1 & -7 \\ -1 & -7 & 5 \\ -7 & 5 & -1 \end{array}\right) $$ $A$得逆矩阵 $$ \boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^*=\frac{1}{-18}\left(\begin{array}{ccc} 5 & -1 & -7 \\ -1 & -7 & 5 \\ -7 & 5 & -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -\frac{5}{18} & \frac{1}{18} & \frac{7}{18} \\ \frac{1}{18} & \frac{7}{18} & -\frac{5}{18} \\ \frac{7}{18} & -\frac{5}{18} & \frac{1}{18} \end{array}\right) $$ ## 初等变换法求逆矩阵 **定理** $ n \times n$ 矩阵 $A$ 是可逆的, $A$ 行等价于 $I_n$, 这时, 把 $A$ 变为 $I_n$ 的一系列初等行变换同时也会把 $I_n$ 变成 $A^{-1}$ 。 证 设 $A$ 是可逆矩阵, 则对任意 $b$, 方程 $A x = b$ 有解 , $A$ 在每一行有主元位置 , 因 $A$ 是方阵, 这 $n$ 个主元位置必在对角线上. 这就是说 $A$ 的简化阶梯形是 $I_n$, 即 $A \sim I_n$. 反之, 若 $A \sim I_n$, 因每一步行变换对应于左乘一个初等矩阵, 就是说, 存在初等矩阵 $E_1, \cdots, E_p$使 $$ A \sim E_1 A \sim E_2\left(E_1 A\right) \sim \cdots \sim E_p\left(E_{p-1} \cdots E_1 A\right)=I_n $$ 即 $$ E_p E_{p-1} \cdots E_1 A=I_n $$ 因为 $E_p \cdots E_1$ 是可逆矩阵的乘积, 因此也是可逆矩阵, 由 (1) 式推出 $$ \begin{aligned} \left(E_p \cdots E_1\right)^{-1}\left(E_p \cdots E_1\right) A & =\left(E_p \cdots E_1\right)^{-1} I_n \\ A & =\left(E_p \cdots E_1\right)^{-1} \end{aligned} $$ 于是 $A$ 是可逆的, 因它是可逆矩阵的逆 , 同样有 $$ A^{-1}=\left[\left(E_p \cdots E_1\right)^{-1}\right]^{-1}=E_p \cdots E_1 $$ 于是 $A^{-1}=E_p \cdots E_1 \cdot I_n$, 这就是说, $A^{-1}$ 可由依次以 $E_1, \cdots, E_p$ 作用于 $I_n$ 而得到, 它们就是 (1) 式中把 $A$ 变为 $I_n$ 的同一行变换序列. 上面的证明啰里啰嗦了一大堆,初学者看不懂没关系,只要会计算即可,下面概况求解逆矩阵的核心方法: > 若$A$是一个$n$阶可逆矩阵,把$A$和单位阵$E$合在一起,即 $[A \mid E]$ 然后进行初等变换,把左边$A$变换为$E$,而右侧就是$A$得逆矩阵$A^{-1}$ 即得 $[E \mid A^{-1}]$ 。 `例` 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & -3 & 8\end{array}\right]$ 的逆, 假如它存在的话. 解:把$A$矩阵和三阶单位矩阵进行合并。然后利用矩阵的初等变换,把左侧的矩阵$A$化为单位阵$E$,则右侧就是$A^{-1}$ $$ \begin{aligned} & {\left[\begin{array}{ll} A & E \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrrrrr} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -3 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -3 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]} \\ & \sim\left[\begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -4 & 0 & -4 & 1 \end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & -4 & 1 \end{array}\right] \\ & \sim\left[\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 / 2 & -2 & 1 / 2 \end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & -9 / 2 & 7 & -3 / 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 / 2 & -2 & 1 / 2 \end{array}\right] \end{aligned} $$ 此时可以看到矩阵左侧已经是**单位矩阵**了,所以右侧就是$A^{-1}$ 即 $$ A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} -9 / 2 & 7 & -3 / 2 \\ -2 & 4 & -1 \\ 3 / 2 & -2 & 1 / 2 \end{array}\right] $$ `例`已知 $A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right]$,用初等变换 求A的送矩阵。 解:这是一个4阶矩阵。 容易知道他的单位阵E为 $$ E=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$ 现在把$A$矩阵和$E$矩阵写在一起。 $$ A=[A \mid E]=\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$ 开始使用矩阵的初等变换化简$A$为$E$ ①第一行的-1倍加到第二行上去 ②第一行的-1倍加到第三行上去 ③第一行的-1倍加到第四行上去 $$ \xrightarrow{\substack{r_2-r_1 \\ r_3-r_1 \\ r_4-r_1}}\left[\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -2 &-1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$ 现在第一列已经是 $1,0,0,0$ 当第一列处理完毕后,不再主动参与后面的运算(被动可以), 现在处理第二列,我们要把第2列处理为$0,1,0,0$, 调换第二行和第四行 $$ \xrightarrow{\substack{r_2 \leftrightarrow r_4}}\left[\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -2 &-1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right] $$ 第二行得-1倍加到第三行,第二行的$\frac{1}{2}$倍加到第一行 $$ \xrightarrow{}\left[\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & -2 & -2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & -2 &-1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right] $$ 第二行乘以$-\frac{1}{2}$ 目前是让其变成数字1 $$ \xrightarrow{} \left[\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & -2 &-1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right] $$ 现在第2列已经变成$0,1,0,0$ ,开始处理第三列,使其变成 $0,0,1,0$ 第三行加到第4行,第三行的$-\frac{1}{2}$ 加到第2行。 $$ \xrightarrow{} \left[\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -4 &-1 & 1 & 1 & -1 \\ \end{array}\right] $$ 第3行乘以$\frac{1}{2}$ $$ \xrightarrow{} \left[\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & -4 &-1 & 1 & 1 & -1 \\ \end{array}\right] $$ 现在处理第4列,使其变成$(0,0,0,1)$ ①用第4行的$\frac{1}{4}$ 加到第一行 ②用第4行的$\frac{1}{4}$ 加到第二行 ③用第4行的$-\frac{1}{4}$ 加到第三行 $$ \xrightarrow{} \left[\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & -4 &-1 & 1 & 1 & -1 \\ \end{array}\right] $$ 第四行乘以 $-\frac{1}{4}$ $$ \xrightarrow{} \left[\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \end{array}\right] $$ 现在矩阵的左半部分已经变成了单位矩阵$E$,矩阵右半部分就是$A^{-1}$ $$ \begin{aligned} &\therefore A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array}\right]\\ \end{aligned} $$ 关于矩阵的初等变换请参考 [http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=461](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=461) 这一题还有个很神奇很巧合的解法,因为 $A \cdot A=4E $,可以快速得出结论。但是本站希望通过本题讲解逆矩阵的通用方法。 ## 逆矩阵解方程 逆矩阵最大的作用是解方程 。 一般线性方程为 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n \end{array}\right. $$ 可写成矩阵形式 $$ \boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}, $$ 其中 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$. 若 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 必存在, 因此 $$ \boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x})=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{\beta} $$ 即 $$ \begin{aligned} &\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{\beta} .\\ &\text { 将上式中的矩阵写出来就是: }\\ &\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) . \end{aligned} $$ 具体可以参考后面的介绍 ### 逆矩阵的另一个观点 用 $e_1, \cdots, e_n$ 表示 $I_n$ 的各列. 则把 $\left[\begin{array}{ll}A & I\end{array}\right]$ 行变换成 $\left[\begin{array}{ll}I & A^{-1}\end{array}\right]$ 的过程可看作解 $n$ 个方程组. $$ A x=e_1, A x=e_2, \cdots, A x=e_n $$ 其中这些方程组的 "增广列" 都放在 $A$ 的右边, 构成矩阵 $$ \left[\begin{array}{lllll} A & e_1 & e_2 & \cdots & e_n \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} A & I \end{array}\right] $$ 方程 $A A^{-1}=I$ 及矩阵乘法的定义说明 $A^{-1}$ 的列正好是方程(2)的解。这一点是很有用的,因为在某些应用问题中, 只需要 $A^{-1}$ 的一列或两列. 这时只需要解 (2) 中的相应方程. ## 逆矩阵的意义 说到逆矩阵最容易想到的是“倒数”,如果$a*b=1$, 则称$a$和$b$互为倒数,但是有一个例外:即$a,b$不能为0,因为0不能存在倒数。 在前面说过,行列式和矩阵都是可以看成向量所扩张的平面。以二维为例,$a,b$表示两个向量,如果 $a,b$不共线,那么$a,b$可以扩张成整个平面,此时,二维向量$a,b$向量构成的平行四边形面积不为零。  而如果$a,b$共线,显然无法扩张为平面,此时其构造的平行是不是的面积是0。
开VIP会员
非会员每天6篇,会员每天16篇,VIP会员无限制访问
题库训练
自我测评
投稿
上一篇:
伴随矩阵
下一篇:
矩阵的初等变换与矩阵等价
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
纠错
高考
考研
关于
赞助
公式
科数网是专业专业的数学网站。