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样本
日期:
2023-01-03 13:45
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样本 从总体中抽取样本的方法有很多，我们主要采用简单随机抽样的方法，即有放回地重 复独立抽取，这样得到的样本称为简单随机样本 (简称样本). 记作 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$. 在试验前，样本的观测值是不确定的，为了体现随机性，在数理统计中样本记 作 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ ，事实上是一个 $n$ 维随机向量. 通过实验或观测得到的数值称为样本观测值，记作 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，其中 $n$ 称为 样本容量(样本大小). 也就是说样本是一组随机变量，而样本观测值是抽样完成以后所得到的这组随机变量的 一次具体取值.  简单随机样本具有两个特点: (1) 独立性: $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是相互独立的; (2) 代表性: 每个个体 $X_i$ 的分布都和总体分布相同. 即 $X_i \sim f\left(x_i, \theta\right), i=1,2, \cdots, n$. (1) 设 $X$ 为离散型随机变量，则 $X \sim f(x ; \theta) \hat{=} P(X=x)$ 而样本 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合分布律为: $$ \begin{aligned} f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta\right) & \hat{=} P\left(X_1=x_1, X_2=x_2, \cdots, X_n=x_n ; \theta\right) \\ & =P\left(X_1=x_1\right) P\left(X_2=x_2\right) \cdots P\left(X_n=x_n\right)=\prod_{i=1}^n P\left(X_i=x_i ; \theta\right) \end{aligned} $$ (2) 设 $X$ 为连续型随机变量，概率密度函数为 $f(x ; \theta)$ ， 则样本 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合概率密度函数为: $$ \begin{aligned} f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta\right) & \hat{=} f_{\left(X_1, X_2 \cdots, X_n\right)}\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \\ & =f_{X_1}\left(x_1\right) f_{X_2}\left(x_2\right) \cdots f_{X_n}\left(x_n\right) \\ & =f\left(x_1 ; \theta\right) f\left(x_2 ; \theta\right) \cdots f\left(x_n ; \theta\right)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i ; \theta\right) . \end{aligned} $$      
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2023-01-03 13:45
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