x方分布

日期: 2023-01-03 13:54 查看: 74 次

定义
设 $X_1, \cdots, X_n$ 是独立同分布的随机变量，且都服从标准正 态分布 $N(0,1)$ ， 则称随机变量 $Y \hat{=} \sum_{i=1}^n X_i^2$
所服从的分布为自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，记为 $Y \sim \chi^2(n)$.

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例1
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_6\right)$ 是取自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本， 求下列三个统计量的分布
(1) $X_1^2+X_2^2$;
(2) $X_1^2$;
(3) $Q=X_1^2+a\left(X_2+X_3\right)^2+b\left(X_4-X_5+X_6\right)^2$
解 (1) 由样本的定义可知， $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 相互独立，且都服从 $N(0,1)$ ， 所以根据 $\chi^2$ 分布的定义可知 $X_1^2+X_2^2 \sim \chi^2(2)$ ；
（2）同上， $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ ；
(3) $X_2+X_3 \sim N(0,2) \Rightarrow \frac{X_2+X_3}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$,

$$
X_4-X_5+X_6 \sim N(0,3) \Rightarrow \frac{X_4-X_5+X_6}{\sqrt{3}} \sim N(0,1) \text {, }
$$

且 $X_1, \frac{1}{\sqrt{2}}\left(X_2+X_3\right), \frac{1}{\sqrt{3}}\left(X_4-X_5+X_6\right)$ 相互独立，
再由 $\chi^2$ 分布的定义

$$
X_1^2+\left(\frac{X_2+X_3}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{X_4-X_5+X_6}{\sqrt{3}}\right)^2 \sim \chi^2(3) .
$$

可得 $a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{3}$

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补例 设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是取自总体 $X \sim \chi^2(n)$ 的一个样本，
定义 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，试求 $E(\bar{X}), D(\bar{X})$.
解 由 $\chi^2$ 分布性质知 $E(X)=n, D(X)=2 n$, 故

$$
E(\bar{X})=E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right)=n .
$$

由 $\chi^2$ 分布性质知 $E(X)=n, D(X)=2 n$, 故

$$
\begin{aligned}
D(\bar{X}) & =D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n^2} D\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) \\
& =\frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D\left(X_i\right)=\frac{1}{n} D(X)=2 .
\end{aligned}

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