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线性代数
第一篇 行列式
n 阶行列式
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2025-05-03 21:01
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n 阶行列式
## $n$ 阶行列式的定义 由 $n^2$ 个元素 $a_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 排成 $n$ 行 $n$ 列的正方形的数表: $$ D_n=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| $$ 由这个数表所决定的数 $\sum_{p_1 p_2 \cdots p_n}(-1)^{\tau\left(\left(p_1 \cdots \cdots p_n\right)\right.} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 称为由 $n^2$ 个元素 $a_y(i, j=1,2, \cdots, n)$ 构成的 $n$ 阶行列式, 对所有的 $n$ 阶全排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 求和 ①$\sum_{p_1 p_2...p_n}$ 是对所有的 $n$ 阶全排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 求和,所以展开式中共有 $n!$ 项; ②每一项 $a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 是取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积; ③每一项 $a_{1 p_1}, a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 的行标排成一个标准排列, 列标排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 的奇偶性决定了乘积$a_{1 p_1}, a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 前的符号. > 这里给出了$n$阶行列式的定义与计算,估计很多同学看到定义都蒙了,别急,后面会用三阶行列式展开来告诉你如何理解定义。 记矩阵 $$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right), $$ 则行列式$D_n$通常也称为方阵 $A$ 的行列式,记为 $|A|$. 有时为了表明行列式是由元素 $a_{i j}$ 构成的,也简记为 $|A|=\operatorname{det}\left(a_{i j}\right) 、\left|a_{i j}\right|_{n \times n}$ 或 $\left|a_{i j}\right|_n$. ## 根据上面定义计算三阶行列式 上面给出了$n$阶行列式的定义,比较抽象,这里以 $n=3$ 为例,详细介绍行列式怎么取数和计算。 三阶行列式的定义如下 $$ \left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=\sum_{\substack{p_1 p_2 p_3}}(-1)^{\tau\left(p_1 p_2 p_3\right)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} a_{3 p_3} $$ 如何理解上式等号**右边**的式子? 首先,$\sum$ 表示求和,这个大家都能看懂,齐次,$\tau (p_1 p_2 p_3)$ 代表 $(p_1 p_2 p_3)$ 形成你逆序数,见[逆序数教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=466) **下面解释怎么取数** 在等号右边求和里,即 $ a_{1 p_1} a_{2 p_2} a_{3 p_3}$ 里可以看到 $a$的第一个下标都是固定的,变的只是$p_1,p_2,p_3$ 比如,取 $p_1=1,p_2=2,p_3=3$,带入就是 $ a_{11} a_{22} a_{3 3}$,为了记录方便,可以写成 $p_1 p_2 p_3=123$,代表取数 $ a_{11} a_{22} a_{3 3}$ 同理,取 $p_1=1,p_2=3,p_3=2$,带入就是 $ a_{11} a_{23} a_{32}$ , 也就是$p_1 p_2 p_3=132$ 代表取数是 $ a_{11} a_{23} a_{32}$ 从这些取数里可以发现,每次取数时,第一个行标不变,而只变列标,这样,防止取数重复或者漏取。 > 再仔细看一下取数,每次取数时,这个数都是在不同行不同列上取的,比如我第一个数取$a_{11}$ 那么后面所有的数都不可能在第1行第1列取数,记住这个规律非常重要。 **现在开始计算三阶行列式** **STEP1:** 根据定义, $3!=6$,所以三阶行列式是共有**6**项,同时每项含有**3**个数相乘,这是大方向,不能搞错。 **STEP2:** ①$p_1 p_2 p_3=123$ 时, 对应项为 $$ (-1)^{\tau(123)} a_{11} a_{22} a_{33}=(-1)^0 a_{11} a_{22} a_{33}=a_{11} a_{22} a_{33} \text {, } $$ ②$p_1 p_2 p_3=132$ 时, 对应项为 $$ (-1)^{\tau(132)} a_{11} a_{23} a_{32}=(-1)^1 a_{11} a_{23} a_{32}=-a_{11} a_{23} a_{32}, $$ ③$p_1 p_2 p_3=213$ 时, 对应项为 $$ (-1)^{\tau(213)} a_{12} a_{21} a_{33}=(-1)^1 a_{12} a_{21} a_{33}=-a_{12} a_{21} a_{33}, $$ ④$p_1 p_2 p_3=231$ 时, 对应项为 $$ (-1)^{\tau(231)} a_{12} a_{23} a_{31}=(-1)^2 a_{12} a_{23} a_{31}=a_{12} a_{23} a_{31} \text {, } $$ ⑤$p_1 p_2 p_3=312$ 时, 对应项为 $$ (-1)^{\tau(312)} a_{13} a_{21} a_{32}=(-1)^2 a_{13} a_{21} a_{32}=a_{13} a_{21} a_{32}, $$ ⑥$p_1 p_2 p_3=321$ 时, 对应项为 $$ (-1)^{\tau(321)} a_{13} a_{22} a_{31}=(-1)^3 a_{13} a_{22} a_{31}=-a_{13} a_{22} a_{31} $$ **STEP3:** 把这六项求和, 就得到三阶行列式 $$ \begin{aligned} & \left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=\sum_{p_1 p_2 p_3}(-1)^{\tau\left(p_1 p_2 p_3\right)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} a_{3 p_3} \\ & =a_{11} a_{22} a_{33}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31} \\ & +a_{13} a_{21} a_{32}-a_{13} a_{22} a_{31} \end{aligned} $$ 利用定义,不管是四阶行列式还是五阶行列式都可以采用这种思路计算。 ## n 阶行列式的性质 **性质 1** 行列式 $D_n$ 与它的转置行列式 $D_n^{\top}$ 相等. **性质2** 互换行列式的两行(或两列),行列式变号. 记为 $r_i \leftrightarrow r_j$ 或 $c_i \leftrightarrow c_j$ $$ \left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & 4 \\ 7 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 1 \end{array}\right|=-\left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 \\ 7 & 5 & 6 \end{array}\right|, \quad\left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & 4 \\ 7 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 1 \end{array}\right|=-\left|\begin{array}{lll} 4 & 3 & 1 \\ 6 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 2 \end{array}\right| $$ **性质3** 若行列式中有两行 (或两列) 对应元素相等,则行列式等于零. **性质4** 若行列式的某一行有公因子$k$ ,则公因子$k$可以提到行列式记号外面; > 这条性质必须和矩阵的区别出来,矩阵的是性质是 若矩阵里每个元素有公因子$k$ ,则公因子$k$可以提到矩阵的记号外面; **性质5** 设 $D$ 是 $n$ 阶方阵,则等式 $|k D|=k^n|D|$ 成立. **性质6** 若行列式中某行 (列) 元素均为两项之和, 则行列式可表示为两个行列式之和。 **性质7** 行列式的某一行 (列) 乘以某个数加到另一行 (列) 上, 行列式的值不变。 ## 三阶行列式的计算 `例`设 ${D}=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ -3 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right|$, 求 $D$. 解:可以化为上三角,也可以直接展开。 $|\boldsymbol{D}|=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ -3 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right|=1 \times 3 \times(-1)+2 \times 1 \times 1+(-2) \times(-3) \times 2-(-2) \times 3 \times 1-1 \times 1 \times 2-2 \times(-3) \times(-1)$ $=(-3)+2+12-(-6)-2-6=9$. ## 四阶行列式的计算 对于超过3阶以上的行列式,通常需要使用行列式的性质,把他化为上三角或下三角进行计算。主要使用的一条性质是:**性质7:行列式的某一行 (列) 乘以某个数加到另一行 (列) 上, 行列式的值不变。** `例`求四阶行列式 $$ \begin{aligned} &D=\left|\begin{array}{cccc} 3 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 7 \\ 2 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right| \end{aligned} $$ 解:这是一个四阶行列式,主要利用行列式的性质,把他化成上三角。 ①因为最终化为上三角,所以,我们希望第一行第一列最好都是1,然后用**第一行**消去第二行,用**第一行**消去第三行,用**第一行**消去第四行。为此,第二行和第一行互换,根据行列式性质,互换两行,行列式变号,前面需要添加一个负号。 $$ D \xlongequal{r_1 \leftrightarrow r_2}-\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 7 \\ 2 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right| $$ ②现在第一行不变,利用第一行分别消去第二行,第三行和第四行。行列式有一个性质是:一行的k倍加到另一行上去,行列式的值不变,因此 (i)第一行乘以 $-3$ 加到第二行 (ii)第一行乘以 $-2$ 加到第三行 (iii)第一行乘以 $-2$ 加到第四行 $$ D=\xlongequal{\substack{-3 r_1+r_2 \\ -2 r_1+r_3 \\ -2 r_1+r_4}}-\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 3 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right| $$ ③ 现在第一列已经变成$(k,0,0,0)$ 上三角形式了, 接下来处理第二列,让第二列由 $(0,1,3,2)$ 变成 $(a,b,0,0)$形式, 为此,以**第二行**为基础,消去第三行和第四行。 (i)将第$2$行乘以 $-3$ 加到第三行 (ii)将第$2$行乘以 $-2$ 加到第四行 此时得到的行列式如下: $$ D\xlongequal{\substack{-3 r_2+r_3 \\ -2 r_2+r_4}}-\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 14 & 21 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \end{array}\right| $$ > **注意** 在第一列已经处理完毕的情况下,第一列不再主动参与运算。比如第一行乘以一个数加到下面任何一行,都会破坏前面列已经化简的结果,但是从下往上被动是可以的,因为已经处理的列下面是0,0的倍数加上上面,值不变。 ④观察上面第三行的数字是$14$和第四行的$7$,虽然$14$乘以$-\frac{1}{2}$ 加到第四行可以销掉第四行,但是会产生分数,我们尽可能希望使用整数,因此 交换第三行和第四行(**注意行列式再次变号**), $$ D\xlongequal{\substack{r_{3 \leftrightarrow r_4} \\ }}\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \\ 0 & 0 & 14 & 21 \end{array}\right| $$ 然后用新的第$3$行乘以 $-2$ 加到第四行上去。 $$ D\xlongequal{\substack{} \\ -2 r_3+r_{4-2} }\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{array}\right| $$ ⑤ 此时行列式已经化成上三角,结果是主对角线的值 $$ \left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{array}\right|=-21 $$ > 对于任意一个四阶行列式,通过上述得变换,化简为上三角或下三角行列式,然后其值为主对角线的乘积。但是在具体算时,需要灵活运动行列的性质。 `例`计算 $$ D=\left|\begin{array}{cccc} 2 & -3 & 4 & 5 \\ 3 & -2 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & -3 & 2 \\ 4 & 6 & -4 & -5 \end{array}\right| $$ 解: 因为现 在$a_{11}=2$ ,若将 $a_{21}, a_{31}$ 化零时会出现分数。 **我们要尽可能想办法让行列式中$a_{11}=1$,(当然-1也可以)** , 一种方法是第一行**提取公因子法**,即第一行提取一个公因子$2$,但是这样后面几个数字也会出现分数。 为此,先将 $D$ 中第二 行的 $-1$ 倍加到第一行上,使新的 $a_{11}=-1$ .根据新的第 $1$ 行的特点,将 $a_{12}, a_{13}, a_{14}$ 化为零更方便, ① 将第2行的-1倍加到第一行上,结果如下。 **此时可以按照上一个例题用第一行消去第2,3,4 行,但是我们仔细观察数字,用第一列消去第2,3,4列更方便。总之,在化简过程中要保存两个原则,一是尽可能化为零,二是尽可能化为上三角或下三角,这2个主轴不能变。** 根据结果要随时改变解题策略。 $$ =\left|\begin{array}{rrrr} -1 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & -3 & 2 \\ 4 & 6 & -4 & -5 \end{array}\right| $$ ② 观察第一行后面3个数字,用第一列,消去第二列,用第一列消去第三列,用第一列消去第四列。 (i)第一列乘以$-1$ 倍加到第二列 (ii)第一列乘以$1$ 倍加到第三列 (iii)第一列乘以$1$ 倍加到第四列 得 $$ D=\left|\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -5 & 6 & 7 \\ 5 & -1 & 2 & 7 \\ 4 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right|, $$ ③根据新行列式特点,拟将 $D$ 化成**下三角**形行列式,  ④需将 $a_{23},a_{24}, a_{34}$ 化为零,因为$a_{44}=-1$ 所以 (i)用第四行的7倍加到第二行 (ii)用第四行的7倍加到第三行 得到如下行列式 $$ D=\left|\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 31 & 9 & 6 & 0 \\ 33 & 13 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right| $$ ⑤接下来要把$a_{23}$ 化为零, (i)用第三行的-3倍加到第二行 化成下三角后,行列式的值为辅对角线的值相乘即可。 $$ =\left|\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ -68 & -30 & 0 & 0 \\ 33 & 13 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right|=(-1) \times(-30) \times 2 \times(-1)=-60 . $$ `例`计算行列式 $$ D=\left|\begin{array}{llll} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right| $$ 解:注意到行列式的每一列元素之和都是 5 ,将行列式的第二、三、四行都加到第一行,得 $$ D=\left|\begin{array}{llll} 5 & 5 & 5 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right|=5\left|\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right| $$ $$ \xlongequal[r_4+(-1)_r]{\substack{r_2+(-1) r_1 \\ r_3+(-1) r_1}} 5\left|\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right|=5 $$ `例`计算$n+1$ 阶行列式 $$ \begin{aligned} &D_{n+1}=\left|\begin{array}{ccccc} c_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ b_1 & c_1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_2 & 0 & c_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_n & 0 & 0 & \cdots & c_n \end{array}\right|, \quad c_1 c_2 \cdots c_n \neq 0 \end{aligned} $$ 解 由题设知, $c_1, c_2, \cdots, c_n$ 全不为零,依次给行列式 $D_{n+1}$ 的第 2、第 3、 $\cdots$ 、第 $n+1$ 列分别乘以 $-\frac{b_1}{c_1},-\frac{b_2}{c_2}, \cdots,-\frac{b_n}{c_n}$ 加到第 1 列, 由行列式的性质可得 所以, $$ D_{n+1}=\left|\begin{array}{ccccc} c_0-\frac{a_1 b_1}{c_1}-\frac{a_2 b_2}{c_2}-\cdots-\frac{a_n b_n}{c_n} & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 0 & c_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & c_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c_n \end{array}\right| . $$ $$ \begin{aligned} D_{n+1} & =\left(c_0-\frac{a_1 b_1}{c_1}-\frac{a_2 b_2}{c_2}-\cdots-\frac{a_n b_n}{c_n}\right) c_1 c_2 \cdots c_n \\ & =\left(c_0+\sum_{k=1}^n \frac{a_k b_k}{c_k}\right) \prod_{i=1}^n c_i \end{aligned} $$ 评注 这个行列式的特点是除第 1 行, 第 1 列和主对角线元素而外,其余元素均为零。它的所有非零元素组成一个汉字「爪」,所以,它也称为爪形行列式。由于有许多行列式可化为爪形行列式, 因此此类行列式化为三角形的方法应熟练掌握. `例`计算行列式 $$ D=\left|\begin{array}{cccc} a^2 & (a+1)^2 & (a+2)^2 & (a+3)^2 \\ b^2 & (b+1)^2 & (b+2)^2 & (b+3)^2 \\ c^2 & (c+1)^2 & (c+2)^2 & (c+3)^2 \\ d^2 & (d+1)^2 & (d+2)^2 & (d+3)^2 \end{array}\right| $$ 解 将行列式 $D$ 中的第 1 列的 (-1) 倍加到第 2、3、4 列, 整理可得 $$ D=\left|\begin{array}{llll} a^2 & 2 a+1 & 4 a+4 & 6 a+9 \\ b^2 & 2 b+1 & 4 b+4 & 6 b+9 \\ c^2 & 2 c+1 & 4 c+4 & 6 c+9 \\ d^2 & 2 d+1 & 4 d+4 & 6 d+9 \end{array}\right| $$ $$ =\left|\begin{array}{llll} a^2 & 2 a+1 & 2 & 6 \\ b^2 & 2 b+1 & 2 & 6 \\ c^2 & 2 c+1 & 2 & 6 \\ d^2 & 2 d+1 & 2 & 6 \end{array}\right|=0 $$ `例` 计算$D=\left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ x & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\ x & x & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ x & x & x & \cdots & 1 & 2 \\ x & x & x & \cdots & x & 1 \end{array}\right|,$ 分 析 构成本题行列式元素的特点是:第 $i$ 行元素:$a_{i j}=$ $\left\{\begin{array}{l}x, \text { 当 } j<i \text { 时,} \\ j-i+1, \text { 当 } j \geqslant i \text { 时 }\end{array}(i=1,2, \cdots, n)\right.$ ,即相邻两行的对应元素或差为零或差为 1 ,只有一个元素差为 $(1-x)$ 。因此若用逐行相减的方法可化出许多零元素及 1 来。 解 从第 2 行起,每一行的( -1 )倍都加到上一行上,有 $$ D=\left|\begin{array}{cccccc} 1-x & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 1-x & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1-x & \cdots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1-x & 1 \\ x & x & x & \cdots & x & 1 \end{array}\right| $$ 对于上式还不是特殊三角形,但每相邻两列之间有许多相同元素(1 或 0 ),且最后一行有 $(n-1)$ 元素都是 $x$ ,因此可再用相邻两列逐列相减的方法:从第 $(n-1)$ 列起,每一列的 $(-1)$ 倍加到后一列上: $$ D=\left|\begin{array}{cccccc} 1-x & x & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1-x & x & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1-x & x \\ x & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1-x \end{array}\right| $$ 按第一行展开 $$ =(1-x)\left|\begin{array}{ccccc} 1-x & x & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1-x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1-x & x \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1-x \end{array}\right| $$ $$ \begin{aligned} & +x \cdot(-1)^{n+1} \cdot\left|\begin{array}{ccccc} x & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1-x & x & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1-x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1-x & x \end{array}\right| \\ & =(1-x)^n+(-1)^{n+1} x^n . \end{aligned} $$ 小结 对于本题所作第一次变换——逐行相减——的结果,第二次是作了逐列相减的变换,这样得出的行列式,再按第 1 列展开后,成了两个 $(n-1)$ 阶的特殊行列式。若第二次仍作逐行相减,则再按第 1 列展开,就没有这么简单,读者不妨一试,体会其中的区别,并分析为何第二次作逐列相减更好一些. ## n 阶行列式的几何意义 前面在介绍二阶行列式时,曾经说过,二阶行列式的值相当于在二维平面上两个向量形成的面积,在三阶行列式上,是三个向量形成的体积。以此类推,$n$ 阶行列式的值为$n$个向量所张成的空间体积。 示意图如下 对于 $n$ 维空间 $n$ 个向量构成的多面体: $$ a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_j, \cdots a_n \text {, 记其体积为 } D\left(a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_j, \cdots a_n\right) $$ 我们将其两个向量对换位置: $$ a_1, \cdots, a_j, \cdots, a_i, \cdots a_n, \quad \text { 记其体积为 } D\left(a_1, \cdots, a_j, \cdots, a_i, \cdots a_n\right) $$ 我们应当有: $$ D\left( a _1, \cdots, a_i, \cdots, a_j, \cdots a_n\right)=-D\left( a _1, \cdots, a_j, \cdots, a_i, \cdots a_n\right) $$ 
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