最后更新: 2024-12-31 09:24 查看: 777 次反馈刷题

上三角与下三角行列式

## 上三角
主对角线下方去为零的元素，称为上三角行列式，其值为主对角线乘积。

计算
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|
$$

要使得乘积项 $a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 不等于零，元素 $a_{n p_n}$ 只能取 $a_{n n}$; 元素 $a_{n-1, p_{n-1}}$ 只能取 $a_{n-1, n-1}$; ；元素 $a_{1P_1}$ 只能取 $a_{11}$ 。
于是行列式的展开式中只有 $a_{11} a_{22} \cdots a_m$ 这一项可能不是零， 其它项全为零.
而 $a_{11} a_{22} \cdots a_m$ 的列标是标准排列，逆序数为零，所以

$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|= a_{11} a_{22} a_{33} \cdots a_{n n}
$$

## 下三角
主对角线上方全为零元素，这样的行列式称为下三角行列式

计算 $D=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & c_{2 n} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & a_{n 2} & \cdots & a_m\end{array}\right|$

解：根据行列式的定义

$$
|\boldsymbol{D}|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=\sum_{p_1 p_2 \cdots p_n}(-1)^{\tau\left(p p_2 \cdots p_n\right)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}
$$

该行列式中有较多的元素为零。要使得乘积项 $a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{np_ n}$ 不等于零，元素 $a_{1p}$ 只能取 $a_{11}$ ；元素 $a_{2 p_2}$ 只能取 $a_{22} ； \cdots \cdots$ ；元素 $a_{np_i}$ 只能取 $a_{nn}$ ，
从而行列式的展开式中只有 $a_{11} a_{22} \ldots a_{mm}$ 这一项可能不是零，其它项全为零.
而 $a_{11} a_{22} \cdots a_{mm}$ 的列标是标准排列，逆序数为零，所以

## 对角行列式
由于对角矩阵 $D=\left|\begin{array}{cccc}a_{12} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_m\end{array}\right|$ 既是上三角同时也是下三角方阵，
所以

$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}
$$

对角矩阵的行列式称为对角行列式.

## 副三角行列式
参考上面的介绍，也可以得出下面副三角行列式
$$
\left|\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & a_{1 n} \\
0 & 0 & \cdots & a_{2, n-1} & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1} & a_{n-1, n} \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n, n-1} & a_{n n}
\end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1 n} a_{2, n-1} \cdots a_{n-1,2} a_{n 1}
$$

**例1** 计算行列式

$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1+a & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1-a & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1+b & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1-b
\end{array}\right|
$$

解 将该行列式的第 2 行乘以 ( -1 ) 加到第 1 行, 再将第 4 行乘以 $(-1)$ 加到第 3 行, 得

$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
a & a & 0 & 0 \\
1 & 1-a & 1 & 1 \\
0 & 0 & b & b \\
1 & 1 & 1 & 1-b
\end{array}\right|
$$

从第 1 行提出 $a$ 后, 将第 1 行的 $(-1)$ 倍加到第 2 行及第 4 行, 再按第 1 列，第 2 列展开得

$$
D=a\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -a & 1 & 1 \\
0 & 0 & b & b \\
0 & 0 & 1 & 1-b
\end{array}\right|=-a^2\left|\begin{array}{cc}
b & b \\
1 & 1-b
\end{array}\right|=a^2 b^2
$$

**例2** 计算
$$
\begin{aligned}
&D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 2 & -2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2-n & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & 1-n
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

解 将上面行列式第 $2,3, \cdots, n$ 列分别加到第 1 列, 得

$$
D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
\frac{n(n+1)}{2} & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
0 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 2 & -2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2-n & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & 1-n
\end{array}\right|
$$

按第 1 列展开, 得

$$
D_n=\frac{n(n+1)}{2}\left|\begin{array}{ccccc}
-1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
2 & -2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 2-n & 0 \\
0 & 0 & \cdots & n-1 & 1-n
\end{array}\right|=(-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2}(n-1)!
$$

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