最后更新: 2025-07-20 17:08 查看: 470 次反馈同步训练

行列式的转置

## 行列式的转置
将行列式的行做成列，列做成行，称为行列式的转置，记作: $D^T$ 或 $D^{\prime}$ （T表示Transformers）。
例如：
$$
\begin{aligned}
& D=\left|\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 1 \\
8 & 8 & 8
\end{array}\right| \\
& D^T=\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & 8 \\
2 & 1 & 8 \\
3 & 1 & 8
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

对行列式转置之后再转置等于原行列式，即 $\left(D^T\right)^T=D$ 。可以发现，对行列式求 $2 n(n \geq 1)$ 次转置仍然等原行列式。

## 行列式转置的性质

> **行列式转置，其值不变，即$D^T = D$**

我们使用一个具体的行列式来证明他的值不变，这个证明过程使用了行列式计算最原始的定义-逆序数。如果把下面证明中使用的具体数字更改为$i,j$ 就是教科书里采用的严格证明。

对于$n$阶行列式，在 [n阶行列式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=467) 里介绍了如何通过定义展开行列式。要证明行列式转置等于行列式，只要证明其每一项取数是一样的就可以了,因为数字是相同的，最主要是检验前面的符号一样，而符号是通过逆序数来决定的。

假设有一个行列式$D$如下，我们随机取行列是里的一个数字，
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
(1) & 2 & 3 & 4 \\
1 & 1 & 1 & (6) \\
2 & (8) & 8 & 8 \\
9 & 9 & (9) & 3
\end{array}\right|
$$

比如取(1)(6)(8)(9) 这四项，他的行标为 4 级标准排列**行排列1234**，列标排列为 **列排列1423** ，所以为该项使用第一种定义展开:

$$
a_{ij}= (-1)^{N(1432)} 1 \times 6 \times 8 \times 9
$$

现在把矩阵转置过来，仔细观察着四个数字的位置。
$$
\begin{aligned}
& D^T=\left|\begin{array}{cccc}
(1) & 1 & 2 & 9 \\
2 & 1 & (8) & 9 \\
3 & 1 & 8 & (9) \\
4 & \text { (6) } & 8 & 3
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

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