最后更新: 2024-10-23 09:17 查看: 395 次反馈刷题

行列式的转置

## 行列式的转置
将行列式的行做成列，列做成行，称为行列式的转置，记作: $D^T$ 或 $D^{\prime}$ （T表示Transformers）。
例如：
$$
\begin{aligned}
& D=\left|\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 1 \\
8 & 8 & 8
\end{array}\right| \\
& D^T=\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & 8 \\
2 & 1 & 8 \\
3 & 1 & 8
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

对行列式转置之后再转置等于原行列式，即 $\left(D^T\right)^T=D$ 。可以发现，对行列式求 $2 n(n \geq 1)$ 次转置仍然等原行列式。

## 行列式转置的性质

行列式转置，其值不变，即$D^T = D$

举例：
举例:

$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
(1) & 2 & 3 & 4 \\
1 & 1 & 1 & (6) \\
2 & (8) & 8 & 8 \\
9 & 9 & (9) & 3
\end{array}\right|
$$

行列式 $D$ 中(1)(6)(8)(9)项的行标为 4 级标准排列1234，列标排列为 1423 ，所以为该项使用第一种定义展开:

$$
\begin{aligned}
& (-1)^{N(1432)} 1 \times 6 \times 8 \times 9 \\
& D^T=\left|\begin{array}{cccc}
(1) & 1 & 2 & 9 \\
2 & 1 & (8) & 9 \\
3 & 1 & 8 & (9) \\
4 & \text { (6) } & 8 & 3
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

转置行列式 $D^T$ 中(1)(6)(8)(9)项的行标排列为 1423 ，列为 4 级标准排列1234，所以为该项使用第二种定义展开: $(-1)^{N(1432)} 1 \times 6 \times 8 \times 9$ 。

不难发现，行列式 $D$ 和其转置行列式 $D^T$ 中的(1)(6)(8)(9)项的值相同，可以推出，其他各项值也会完全相同，故 $D^T=D$ 。

## 从行列式转置的意义上理解其值
我们以简单的二阶行里说为例：
在前面曾经说过，[二阶行列式](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=812)表示的两个向量张成的平行四边形的有向面积，行列式转置后，其围成的面积并没有干部，所以其值不变。

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