在线学习
重点科目
初中数学
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
高中物理
数学公式
主要科目
复变函数
离散数学
数学分析
实变函数
群论
数论
未整理科目
近世代数
数值分析
常微分方程
偏微分方程
大学物理
射影几何
微分几何
泛函分析
拓扑学
数学物理
趣味数学
科数网
首页
教材
高考区
考研区
VIP
科数网
题库
在线学习
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
高中物理
复变函数
离散数学
你好
游客,
登录
注册
在线学习
线性代数
第二篇 矩阵
对角线矩阵和标准形矩阵
最后
更新:
2025-01-02 08:11
查看:
495
次
反馈
刷题
对角线矩阵和标准形矩阵
## 对角线矩阵 若一个方阵除了主对角线上的元素外其余元素都等于零, 就称之为**对角阵**. 对角阵的形状为 $$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right) $$ 上述对角阵可简记为 $\operatorname{diag}\left\{a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{n n}\right\}$. ### 单位矩阵 若进一步有 $a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{n n}=1$, 则称这个矩阵为**单位阵**. $n$ 阶单位阵通常记为 $\boldsymbol{I}_n$ 或者$\boldsymbol{E}_n$ 表示。 ### 行矩阵和列矩阵 按照分开矩阵的做法,如果把矩阵按行或者列进行划分,就可以得到行分块矩阵和列分块矩阵。 ## 标准形矩阵 形如 $$ D=\left(\begin{array}{lllllll} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & 0 & & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 0 \end{array}\right) $$ 得$m \times n$矩阵称为标准形矩阵 如果一个矩阵满足: ①左上角是一个单位矩阵; ②其他元全为0; 在[阶梯形矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1860)里介绍了行最简简形矩阵。 对于行最简形矩阵再实施初等列变换,可变成一种形状更简单的矩阵. 例如, 将上面的行最简形矩阵再实施初等列变换  最后一个矩阵称为**矩阵的标准形**,写成分块矩阵的形式,则有 $\boldsymbol{F}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{E}_3 & \boldsymbol{o} \\ \boldsymbol{o} & \boldsymbol{o}\end{array}\right)$ 对于一般的矩阵,我们有下面的结论: 01任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵; 02 任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵; 03 任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等变换化为它标准形 $F=\left(\begin{array}{ll}E_r & o \\ 0 & 0\end{array}\right)_{m, n}$, 04 其中 $r$ 为**行阶梯形矩阵中非零行的行数**. ### 标准形的作用 前面说过,线性方程组可以写成矩阵,反过来也一样,使用矩阵也可以写出线性方程组。 在标准型里,如果写成方程的形式就是: $$ \left\{\begin{array}{c} x+0+\cdots+0=b_1, \\ 0+ x_2+\cdots+0=b_2, \\ \cdots \cdots \cdots \\ 0+0+\cdots+x_n=b_m, \end{array}\right. $$ 也就是从标准型,可以立刻写出方阵组的解。 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=461
开VIP会员
非会员每天6篇,会员每天16篇,VIP会员无限制访问
题库训练
自我测评
投稿
上一篇:
阶梯形矩阵的求法
下一篇:
矩阵的秩
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
纠错
高考
考研
关于
赞助
公式
科数网是专业专业的数学网站。