对角线矩阵和标准形矩阵

对角线矩阵

若一个方阵除了主对角线上的元素外其余元素都等于零, 就称之为对角阵. 对角阵的形状为

A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{n n} \end{array})

上述对角阵可简记为 $diag {a_{11}, a_{22}, \dots, a_{n n}}$ .

单位矩阵

若进一步有 $a_{11} = a_{22} = \dots = a_{n n} = 1$ , 则称这个矩阵为单位阵. $n$ 阶单位阵通常记为 $I_{n}$ 或者 $E_{n}$ 表示。

行矩阵和列矩阵

按照分开矩阵的做法，如果把矩阵按行或者列进行划分，就可以得到行分块矩阵和列分块矩阵。

标准形矩阵

形如

D = (\begin{array}{lllllll} 1 \\ ⋱ \\ 1 \\ 0 \\ ⋱ \\ 0 \end{array})

得 $m \times n$ 矩阵称为标准形矩阵

如果一个矩阵满足：
①左上角是一个单位矩阵；
②其他元全为0；

在阶梯形矩阵里介绍了行最简简形矩阵。
对于行最简形矩阵再实施初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵. 例如，将上面的行最简形矩阵再实施初等列变换

最后一个矩阵称为矩阵的标准形，写成分块矩阵的形式，则有 $F = (\begin{array}{cc} E_{3} & o \\ o & o \end{array})$
对于一般的矩阵，我们有下面的结论:
01任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵；
02 任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵；
03 任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等变换化为它标准形 $F = {(\begin{array}{ll} E_{r} & o \\ 0 & 0 \end{array})}_{m, n}$ ,
04 其中 $r$ 为行阶梯形矩阵中非零行的行数.

标准形的作用

前面说过，线性方程组可以写成矩阵，反过来也一样，使用矩阵也可以写出线性方程组。
在标准型里，如果写成方程的形式就是：

{\begin{matrix} x + 0 + \dots + 0 = b_{1}, \\ 0 + x_{2} + \dots + 0 = b_{2}, \\ \dots \dots \dots \\ 0 + 0 + \dots + x_{n} = b_{m}, \end{matrix}

也就是从标准型，可以立刻写出方阵组的解。

http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=461

## 对角线矩阵
若一个方阵除了主对角线上的元素外其余元素都等于零, 就称之为**对角阵**. 对角阵的形状为

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right)
$$

上述对角阵可简记为 $\operatorname{diag}\left\{a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{n n}\right\}$.

### 单位矩阵
若进一步有 $a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{n n}=1$, 则称这个矩阵为**单位阵**. $n$ 阶单位阵通常记为 $\boldsymbol{I}_n$ 或者$\boldsymbol{E}_n$ 表示。

### 行矩阵和列矩阵
按照分开矩阵的做法，如果把矩阵按行或者列进行划分，就可以得到行分块矩阵和列分块矩阵。

## 标准形矩阵
形如
$$
D=\left(\begin{array}{lllllll}
1 & & & & & & \\
& \ddots & & & & & \\
& & 1 & & & & \\
& & & 0 & & & \\
& & & & & \ddots & \\
& & & & & & 0
\end{array}\right)
$$
得$m \times n$矩阵称为标准形矩阵

如果一个矩阵满足：
①左上角是一个单位矩阵；
②其他元全为0；

在[阶梯形矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1860)里介绍了行最简简形矩阵。
对于行最简形矩阵再实施初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵. 例如， 将上面的行最简形矩阵再实施初等列变换
![图片](/uploads/2023-01/image_20230102181cc60.png)
最后一个矩阵称为**矩阵的标准形**，写成分块矩阵的形式，则有 $\boldsymbol{F}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{E}_3 & \boldsymbol{o} \\ \boldsymbol{o} & \boldsymbol{o}\end{array}\right)$
对于一般的矩阵，我们有下面的结论:
01任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵；
02 任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵；
03 任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等变换化为它标准形 $F=\left(\begin{array}{ll}E_r & o \\ 0 & 0\end{array}\right)_{m, n}$,
04 其中 $r$ 为**行阶梯形矩阵中非零行的行数**.

### 标准形的作用
前面说过，线性方程组可以写成矩阵，反过来也一样，使用矩阵也可以写出线性方程组。
在标准型里，如果写成方程的形式就是：

$$
\left\{\begin{array}{c}
 x+0+\cdots+0=b_1, \\
0+  x_2+\cdots+0=b_2, \\
\cdots \cdots \cdots \\
0+0+\cdots+x_n=b_m,
\end{array}\right.  
$$

也就是从标准型，可以立刻写出方阵组的解。

http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=461

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