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最后更新: 2025-01-02 08:11    查看: 465 次    高考专区    考研专区    公式专区    刷题专区    词条搜索       

对角线矩阵和标准形矩阵

对角线矩阵

若一个方阵除了主对角线上的元素外其余元素都等于零, 就称之为对角阵. 对角阵的形状为

A=(a11000a22000ann)

上述对角阵可简记为 diag{a11,a22,,ann}.

单位矩阵

若进一步有 a11=a22==ann=1, 则称这个矩阵为单位阵. n 阶单位阵通常记为 In 或者En 表示。

行矩阵和列矩阵

按照分开矩阵的做法,如果把矩阵按行或者列进行划分,就可以得到行分块矩阵和列分块矩阵。

标准形矩阵

形如

D=(1100)

m×n矩阵称为标准形矩阵

如果一个矩阵满足:
①左上角是一个单位矩阵;
②其他元全为0;

阶梯形矩阵里介绍了行最简简形矩阵。
对于行最简形矩阵再实施初等列变换,可变成一种形状更简单的矩阵. 例如, 将上面的行最简形矩阵再实施初等列变换
图片
最后一个矩阵称为矩阵的标准形,写成分块矩阵的形式,则有 F=(E3ooo)
对于一般的矩阵,我们有下面的结论:
01任意一个 m×n 矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵;
02 任意一个 m×n 矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵;
03 任意一个 m×n 矩阵总可以经过若干次初等变换化为它标准形 F=(Ero00)m,n,
04 其中 r行阶梯形矩阵中非零行的行数.

标准形的作用

前面说过,线性方程组可以写成矩阵,反过来也一样,使用矩阵也可以写出线性方程组。
在标准型里,如果写成方程的形式就是:

{x+0++0=b1,0+x2++0=b2,0+0++xn=bm,

也就是从标准型,可以立刻写出方阵组的解。

http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=461


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