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线性代数
第二篇 矩阵
对角线矩阵和标准形矩阵
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2025-01-02 08:11
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对角线矩阵和标准形矩阵
## 对角线矩阵 若一个方阵除了主对角线上的元素外其余元素都等于零, 就称之为**对角阵**. 对角阵的形状为 $$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right) $$ 上述对角阵可简记为 $\operatorname{diag}\left\{a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{n n}\right\}$. ### 单位矩阵 若进一步有 $a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{n n}=1$, 则称这个矩阵为**单位阵**. $n$ 阶单位阵通常记为 $\boldsymbol{I}_n$ 或者$\boldsymbol{E}_n$ 表示。 ### 行矩阵和列矩阵 按照分开矩阵的做法，如果把矩阵按行或者列进行划分，就可以得到行分块矩阵和列分块矩阵。 ## 标准形矩阵 形如 $$ D=\left(\begin{array}{lllllll} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & 0 & & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 0 \end{array}\right) $$ 得$m \times n$矩阵称为标准形矩阵 如果一个矩阵满足： ①左上角是一个单位矩阵； ②其他元全为0； 在[阶梯形矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1860)里介绍了行最简简形矩阵。 对于行最简形矩阵再实施初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵. 例如， 将上面的行最简形矩阵再实施初等列变换 
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