最后更新: 2025-03-02 15:40 查看: 461 次反馈刷题

伴随矩阵

### 引言
伴随矩阵是干啥用的？一句话：**伴随矩阵就是用来求逆矩阵的。**
矩阵 $A$ 与其伴随矩阵 $A^*$ 之间具有如下重要关系：
> $$ A A^*=|A| E $$

移项就得到

$$
A \cdot \dfrac{A^*}{|A|}= E ...①
$$

比较

$$
A \cdot  A^{-1}=E ...②
$$

所以①②
$$
A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}
$$

这样，我们就可以找到求一个矩阵的逆矩阵的统一方法。

## 伴随矩阵的定义

设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶方阵， $A_{i j}$ 是 $|A|$ 的 $(i, j)$ 元素 $a_{i j}$ 的代数余子式则矩阵

$$
\boldsymbol{A}^*=\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right)
$$

称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵.

`例` 求方阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4\end{array}\right]$ 的伴随矩阵．

解：
(1)划去第一行第一列，剩下的代数余子式为(代数余子式有正负号之分，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=471))
 ![图片](/uploads/2025-03/79a3f1.jpg)

$$
\begin{array}{ll}
A_{11}=\left|\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
1 & 4
\end{array}
\right|=1
\end{array}
$$

(2)划去第一行第二列，剩下的代数余子式为
 ![图片](/uploads/2025-03/e5404b.jpg)
$$
A_{12}=-\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
1 & 4
\end{array}\right|=-5
$$

(3)划去第一行第三列，剩下的代数余子式为
 ![图片](/uploads/2025-03/82b2e0.jpg)
$$
 \quad A_{13}=\left|\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right|=1
$$

(4)划去第二行第一列，剩下的代数余子式为
$$
A_{21}=-\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 4
\end{array}\right|=-3
$$

(5)划去第二行第二列，剩下的代数余子式为
$$
A_{22}=\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 4
\end{array}\right|=3
$$

(6)划去第二行第三列，剩下的代数余子式为

$$
A_{23}=-\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right|=0 
$$

(7)划去第三行第一列，剩下的代数余子式为
$$
A_{31}=\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right|=2
$$

(8)划去第三行第二列，剩下的代数余子式为
$$
A_{32}=-\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{array}\right|=-1
$$

(8)划去第三行第三列，剩下的代数余子式为
$$
A_{33}=\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right|=-1 .
$$

因此，$A$ 的伴随矩阵为

$$
A^*=\left[\begin{array}{rrr}
1 & -3 & 2 \\
-5 & 3 & -1 \\
1 & 0 & -1
\end{array}\right]
$$

## 伴随矩阵的性质
伴随矩阵具有如下重要的性质
$$
\boxed{
①  A A^*=A^* A=|A|E  \quad \quad
②  |A^*|=|A|^{n-1} 
}
$$
下面对①进行证明。
`例` 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵, $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随阵, 则

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{E}
$$

证明

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right)
$$

上式中两个矩阵乘积的第 $(i, j)$ 元素为

$$
a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}
$$

由行列式的代数余子式以及[异乘变零定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2564) 知道, 当 $i=j$ 时上式为 $|\boldsymbol{A}|$, 当 $i \neq j$ 时上式等于零. 因此

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*=\left(\begin{array}{cccc}
|\boldsymbol{A}| & 0 & \cdots & 0 \\
0 & |\boldsymbol{A}| & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & |\boldsymbol{A}|
\end{array}\right)=|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{E}
$$

同理可证

$$
\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{E}
$$

$\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{E}$

从性质① 可以得到，$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^*$ 这给我我们一个求逆矩阵的方法，先求出他的伴随矩阵，再求出他的行列式，然后做一个除法即可。

> 伴随矩阵的主要作用就是**求逆矩阵$A^{-1}$**

`例`设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随阵为 $\boldsymbol{A}^*$, 证明:
（1）若 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=0$ ；
（2）$\left|\boldsymbol{A}^*\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$.

证（1）因

$$
\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E} ...(2.5)
$$

当 $|\boldsymbol{A}|=0$ 时, 上式成为 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 。
要证 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=0$ ，用反证法：设 $\left|\boldsymbol{A}^*\right| \neq 0$ ，由矩阵可逆的充要条件知， $\boldsymbol{A}^*$ 是可逆矩阵，用 $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^{-1}$ 左乘上式等号两边，得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 。于是推得 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $n-1$ 阶子式，亦即 $\boldsymbol{A}^*$ 的所有元素均为零。这导致 $\boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{O}$ 。此与 $\boldsymbol{A}^*$ 为可逆矩阵矛盾。这一矛盾说明，当 $|\boldsymbol{A}|=0$ 时， $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=0$ 。
（2）分两种情形:
情形1: $|\boldsymbol{A}|=0$ 。由 (1), $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=0=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$ ，结论成立；
情形 $2:|\boldsymbol{A}| \neq 0$ 。在（2.5）式的两边取行列式，得

$$
\left|\boldsymbol{A}^*\right||\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}\right|=|| \boldsymbol{A}\left|\boldsymbol{E}_n\right|=|\boldsymbol{A}|^n
$$
于是

$$
\left|\boldsymbol{A}^*\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}
$$

## 使用伴随矩阵求逆矩阵
伴随矩阵主要作用就是求逆矩阵，第一步求出卖个元素的[代数余子式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=471)，第二部按位置排好各个元素,具体请看下面例子

`例`求 
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 2
\end{array}\right)
$$
的伴随矩阵

解：
$$
\begin{aligned}
&\text { 因为 }|\boldsymbol{A}|=-18 \neq 0 \text { ，所以 } \boldsymbol{A} \text { 可逆. }\\
&\begin{aligned}
& A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right|=5, \quad A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
3 & 2
\end{array}\right|=-1, \quad A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
3 & 1
\end{array}\right|=-7 \\
& A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
1 & 2
\end{array}\right|=-1, \quad A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
3 & 2
\end{array}\right|=-7, \quad A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 1
\end{array}\right|=5 \\
& A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
3 & 1
\end{array}\right|=-7, \quad A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
2 & 1
\end{array}\right|=5, \quad A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{array}\right|=-1
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

把上面求的代数余子式排列成矩阵形式，于是$A$的伴随矩阵为

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
5 & -1 & -7 \\
-1 & -7 & 5 \\
-7 & 5 & -1
\end{array}\right) 
$$

$A$得逆矩阵
$$
\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^*=\frac{1}{-18}\left(\begin{array}{ccc}
5 & -1 & -7 \\
-1 & -7 & 5 \\
-7 & 5 & -1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{5}{18} & \frac{1}{18} & \frac{7}{18} \\
\frac{1}{18} & \frac{7}{18} & -\frac{5}{18} \\
\frac{7}{18} & -\frac{5}{18} & \frac{1}{18}
\end{array}\right)
$$

> 从解题过程可以看到，伴随矩阵计算量非常大，但是计算机喜欢。

## 伴随矩阵的作用
从上面求解逆矩阵的过程看，伴随矩阵计算量太大，要求一个矩阵的逆矩阵，要分别对每个元素求他的代数余子式，然后还要排列放起来，因此，考试时，基本上不会考用伴随矩阵求逆矩阵。但是，伴随矩阵思路简单，适合计算机进行处理，而且，伴随矩阵性质多，因此，**考试时，他多作为小题考察学生。**

`例`讨论下面矩阵 $A$ 在何时可逆，并求出其逆矩阵。这里 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 。

解：因为 $|A|=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c$ ，所以当且仅当 $a d-b c \neq 0$时，原矩阵可逆，且其逆矩阵为：

$$
A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^*=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a
\end{array}\right)
$$

`例` 设矩阵 $A$ 的伴随矩阵

$$
A^*=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -3 & 0 & 8
\end{array}\right)
$$

且 $A B A^{-1}=B A^{-1}+3 I$ ．求矩阵 $B$ ．
解  因 $A A^*=|A| I$ ，两边取行列式得 $|A|\left|A^*\right|=|A|^n .(n=$ 4），因已知 $A$ 可逆，故 $|A| \neq 0$ ．于是 $\left|A^*\right|=|A|^3$ ．而 $\left|A^*\right|=8$ ．所以 $|A|=2$ ．

由已知 $A B A^{-1}=B A^{-1}+3 I$ 得 $A B A^{-1}-B A^{-1}=3 I$ ．故 $(A-I) B A^{-1}=3 I$ ，即 $(A-I) B=3 A$ 。两边左乘 $A^{-1}$有 $A^{-1}(A-I) B=3 I$ ．得 $\left(I-A^{-1}\right) B=3 I$ ．
即 $\left(I-\frac{A^*}{|A|}\right) B=3 I,|A|=2$ 代人，即得 $\left(2 I-A^*\right) B=6 I$ ．
又 $2 I-A^*$ 为可逆矩阵．于是

$$
B=6\left(2 I-A^*\right)^{-1}
$$

代入已知数据：由
$$
2 I-A^*=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 0 & -6
\end{array}\right)
$$

有

$$
\left(2 I-A^*\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{6}
\end{array}\right)
$$

因此得
$$
B=\left(\begin{array}{cccc}
6 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 0 \\
6 & 0 & 6 & 0 \\
0 & 3 & 0 & -1
\end{array}\right)
$$

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