最后更新: 2025-03-06 21:48 查看: 726 次反馈刷题

向量组的等价

在矩阵等价里介绍了矩阵等价的定义，如果一个矩阵$B=P A Q$，则称呼为$B \sim P$, 详见此处[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=464),相比矩阵相似或者矩阵合同，矩阵等价则要“宽松”的多。
矩阵等价反映了矩阵之间的映射，即矩阵$A$经过一些列初等变换，能变成矩阵$B$。**但是根据定义，如何快速判断两个矩阵等价是一个比较棘手的问题，** 我们需要进一步寻找新的方法来解决这个问题，为此先引入向量组的等价。

## 向量组的等价
**定义** 设 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 是 $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，而 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_1$ 是 $s$ 个 $n$ 维向量组成的向量组.
如果向量组 $B$ 中每一个 向量 $\beta_j(j=1,2, \cdots, s)$ 均可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，
则称向量组 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_3$ 可由向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示.
如果向量组 $A$ 与向量组 $B$ 可以**相互线性表示**，则称向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价.

证明：若向量组 $B: \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，
则对向量组 $B$ 中每一个向量 $\beta_j(j=1,2, \cdots, s)$ ，存在一组数 $k_{1 j}, k_{2 j}, \cdots, k_{m j}$ ，使得

$$
\boldsymbol{\beta}_j=k_{1 j} \boldsymbol{\alpha}_1+k_{2 j} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_{m j} \boldsymbol{\alpha}_m=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right)\left(\begin{array}{c}
k_{1 j} \\
k_{2 j} \\
\vdots \\
k_{m j}
\end{array}\right)(j=1,2, \cdots, s) .
$$

以向量 $\left(\begin{array}{c}k_{1 j} \\ k_{2 j} \\ \vdots \\ k_{m j}\end{array}\right)$ 为列，得到一个 $m \times s$ 矩阵

$$
\boldsymbol{K}_{m \times s}=\left(\begin{array}{cccc}
k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1 s} \\
k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2 s} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
k_{m 1} & k_{m 2} & \cdots & k_{m s}
\end{array}\right) .
$$

矩阵 $\boldsymbol{K}_{m \times s}$ 称为这一线性表示的系数矩阵.
令矩阵 $A=\left(\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) ， B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s\right)$ ，则有 $B=\boldsymbol{A} \boldsymbol{K}_{m \times s}$.

如果写成矩阵形式就是：
$$
\left(\alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n\right)\left(\begin{array}{l}
k_1 \\
k_2 \\
... \\
k_n
\end{array}\right)=\beta
$$

## 定理2
设 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，而 $B: \beta, \beta, \cdots, \beta$, 是 $s$ 个 $n$ 维向量组成的向量 组.
令矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) ， B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_3\right)$ ，则向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示的充分必要条件是矩阵方程 $A X=B$ 有解.

向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价的充分必要条件是矩阵方程 $A X=B$ 与 $B Y=A$ 同时有解.

证明：向量组 $B: \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示
1 存在这一表示的系数矩阵 $\boldsymbol{K}_{n \times s}$ ，使得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{K}_{n \times s}$.
2 若矩阵方程 $A X=B$ 有解 $X=K_{{m \times s}}$ ，
向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价
(1) 存在系数矩阵 $K_{m \times s}$ 与 $M_{s x m}$ ，使得 $B=A K_{m \times s}$ 且 $B M_{s \times m}=A$.
(2) 矩阵方程 $A X=B$ 与 $B Y=A$ 同时有解 $X=K_{m \times s} ， Y=M_{s \times m}$.
 
 
 
 
## 向量组等价的几何解释

两个向量组 $A$ 和 $B$ 的等价就是这两个向量组能够互相被线性表示。详细地说, 向量组 $A$中的每一个向量都可以被向量组 $\boldsymbol{B}$ 线性表示; 同样, 向量组 $\boldsymbol{B}$ 中的每一个向量也可以被向量组 $A$ 线性表示。或者说, 如果把一个向量组中的任意一个向量拿出来放到另外一个向量组中, 那么另外这个扩大的向量组就会线性相关，而且不论原向量组是否线性相关。
根据前面分析的向量组线性表示的几何意义，我们很容易理解向量组等价的几何意义:两个向量组等价就是两个向量组所扩张成的直线、平面或空间相互重合。下面讨论的是三维空间中向量组的等价关系。

### 直线上的等价向量组
 如图 4-11 所示的三维空间中, 共有三条分离的不共面直线, 每条直线上分别有两个、三个和四个向量。两向量 $\alpha_1 、 \alpha_2$ 在一条直线上; 三向量 $\beta_1 、 \beta_2 、 \beta_3$ 在另外一条直线上; 四向量 $\gamma_1 、 \gamma_2 、 \gamma_3 、 \gamma_4$ 在第三条直线上。
 
  ![图片](/uploads/2025-03/316418.jpg){width=500px}
   
   由此, 我们可以验证以下命题:

$\left\{\alpha_1\right\},\left\{\alpha_2\right\},\left\{\alpha_1, \alpha_2\right\}$ 是等价向量组;

$\left\{\boldsymbol{\beta}_1\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_2\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right\}$ 是等价向量组;

$\left\{\gamma_1\right\} ...\left\{\gamma_4\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_2\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_3\right\} ...\left\{\gamma_3, \gamma_4\right\}$, $\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_4\right\},...\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4\right\}$ 是等价向量组。

其实上述命题不用验证也可以知道, 因为我们罗列的等价向量组里的向量都包含在一条直线上, 每个向量组都扩张成同一根直线。 从这里我们可以得出第一个结论

> 假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为1，就表示这$n$个向量共线。

例如有3个向量

$$
\boldsymbol{a_1}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a_2}=\left(\begin{array}{l}
3 \\
3 \\
3
\end{array}\right) ;

\quad \boldsymbol{a_2}=\left(\begin{array}{l}
4 \\
4 \\
4
\end{array}\right) ;
$$

因为这些坐标成比例，所以这3个向量的秩为1，所以这3个向量在一条直线上。如果写出这三个向量的矩阵为
 
 $$
 \left(\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 4 \\
\end{array}\right)
$$
可以发现他们的秩正好也为1

### 平面等价向量组:

类似地, 三维空间中, 我们看看平面上的向量组之间的等价关系。如图 4-12 所示, 向量 $\boldsymbol{\alpha}_i 、 \boldsymbol{\beta}_i 、 \boldsymbol{\eta}_i$ 分别所在的三条直线共一平面 (阴影平行四边形), 因此向量 $\boldsymbol{\alpha}_i 、 \boldsymbol{\beta}_i 、 \boldsymbol{\eta}_i$ 中的任何一类可以被其他两类线性表示, 例如有关系 $\boldsymbol{\alpha}_i=x_1 \boldsymbol{\beta}_i+x_2 \boldsymbol{\eta}_i$ 。

![图片](/uploads/2025-03/afedd5.jpg){width=500px}
换句话说, 向量 $\boldsymbol{\alpha}_i 、 \boldsymbol{\beta}_i 、 \boldsymbol{\eta}_i$ 的任意 $\mathrm{C}_3^2$ 和 $\mathrm{C}_3^3$ 组合的向量组所张成的向量空间都是同一个平面。因此, 所有组合都是等价向量组。具体的等价关系如下:

$\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\eta}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i\right\}$ 是等价向量组, 比如 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_2\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\eta}_1\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\eta}_2\right\}$,
 
 从这里不难得出第二个结论：
 
 > 假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为2，就表示这$n$个向量在一个平面内。
 
比如有下面2个向量 
 
$$
\boldsymbol{a_1}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a_2}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
0
\end{array}\right) ;
$$
 因为他们的第三个分量都是0，所以，他们在$XOY$平面内，参考下图
  ![图片](/uploads/2025-03/c86f6b.jpg)
 
 如果写出这两个向量的矩阵为
 
 $$
 \left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 \\
1  & 2\\
0 & 0
\end{array}\right)
$$

可以发现矩阵的秩为2
 
 
 
 
### 三维空间上的向量组
 
如果一个平面再加一个平面外的一条直线 $\gamma$ 就是向量组所张成的三维空间, 则不难理解以下等价关系:

$\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i, \gamma_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\eta}_i, \gamma_i\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i, \boldsymbol{\gamma}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i, \gamma_i\right\}$ 是等价向量组, 比如 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \gamma_1\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\eta}_1, \gamma_2\right\}$, $\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\eta}_2, \gamma_1, \gamma_3\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \gamma_3, \gamma_4\right\}$ 是等价向量组。

因此，可以得到
 > 假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为3，就表示这$n$个向量组成一个立方体。
 
通过上面的例子，大致理解了向量组等价的意义。

## 秩相等不代表可以互相表示
 
 情况1：假设有2个向量共面，如下图 所以 秩 $r(a_1,a_2)=2$ 
 
  ![图片](/uploads/2025-03/a77952.jpg)
 
  情况2：假设有4个向量共面，如下图，可以得出  $r(a_1,a_2,b_1,b_2)=2$ 。
 ![图片](/uploads/2025-03/77d53c.jpg)
 
 如果记$A=(a_1,a_2)$ 向量组I, 记 $B=(b_1,b_2)$为向量组II ，那么我们可以看到  $r(A)=2$, $r(B)=2$, $r(A|B)=2$
 而且A,B可以互相表示，这样，我们就得到一个结论：
 
 **如果向量组I的秩 等于向量组II的秩，等于 向量组I和向量组II 合起来的秩，那么向量组I 等价向量组II**
 
 但是，他们的逆命题不一定成立，请看下面示意图
  ![图片](/uploads/2025-03/a1cd43.jpg)
 
 $A=(a_1,a_2)$，和 $B=(b_1,b_2)$ ，他们分别在两个平面上，所以肯定不能相互表示，此时，可以看到$r(A)=2$,$r(2)=3$, 而$r(AB)=3$

所以，两个向量组的秩相等，不代表他们可以互相表示。
 
> **通过上面的解释，我们可以得到两个向量组能否线性表示的解决方法:给你两个向量组，把这2个向量组组成一个矩阵，然后判断 $R(A)=R(B)=R(AB)$ 秩是否相等。**

上面结论通俗解释是：两个向量$a_i,a_j$组成了平面A， 两个向量$b_i,b_j$组成了平面B，如果这2个平面互相垂直，那么这$a_i,a_j$ 就无法表示$b_i,b_j$ 反之也是。

## 例题

`例` 设

$$
a _1=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right), a _2=\left(\begin{array}{l}
3 \\
1 \\
1 \\
3
\end{array}\right), b _1=\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right), b _2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0 \\
2
\end{array}\right), b _3=\left(\begin{array}{r}
3 \\
-1 \\
2 \\
0
\end{array}\right),
$$

证明向量组 $a _1, a _2$ 与向量组 $b _1, b _2, b _3$ 等价．

证明：向量组 $a _1, a _2$ 与向量组 $b _1, b _2, b _3$ 等价．就是判断 $R(A)=R(B)=R(AB)$ ，为此把AB化为行最简形

$$
( A , B )=\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 3 & 2 & 1 & 3 \\
-1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1 & 2 & 0
\end{array}\right)
$$

$$
\to \left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 3 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 4 & 2 & 2 & 2 \\
0 & -2 & -1 & -1 & -1 \\
0 & 6 & 3 & 3 & 3
\end{array}\right)
$$

$$
\to \left(\begin{array}{lllll}
1 & 3 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)

$$
\text { 可见, } R( A )=2, R( A , B )=2 \text {. }
$$

容易看出矩阵 $B$ 中有不等于 0 的 2 阶子式，故 $R( B ) \geqslant 2$ ．又

$$
R( B ) \leqslant R( A , B )=2,
$$

于是知 $R( B )=2$ ．因此，

$$
R( A )=R( B )=R( A , B )
$$

故向量组 $a_1, a_2$ 与向量组 $b _1, b _2, b _3$ 等价．

`例`设向量 
$$
\boldsymbol{a_1}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
2 \\
4
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a_2}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
3 \\
1 \\
2
\end{array}\right) ; \quad \boldsymbol{b_1}=\left(\begin{array}{r}
3 \\
0 \\
7 \\
14
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{b_2}=\left(\begin{array}{r}
2 \\
1 \\
5 \\
10
\end{array}\right),
$$

向量组 $A: \boldsymbol{a_1, a_2}$ ，向量组 $B: \boldsymbol{b _1, b _2}$  
 
 （1）证明向量组 $A$ 与 $B$ 等价；（2）求向量组 $A$ 与 $B$ 的相互线性表示的表示式．
解 先求解（2），若（2）已解出，（1）自然成立．为此，把向量组 $A$ 和 $B$ 合起来成矩阵，并求它的行最简形：

$$
\left(a_1, a_2, b_1, b_2\right)=\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 3 & 2 \\
-1 & 3 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 7 & 5 \\
4 & 2 & 14 & 10
\end{array}\right)
$$

$$
\sim \left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 3 & 2 \\
0 & 3 & 3 & 3 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 2 & 2
\end{array}\right)
$$

$$
\sim \left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 3 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) .
$$

于是，向量 $b_1$ 和 $b_2$ 满足

$$
\left\{\begin{array}{l}
b_1=3 a_1+a_2 \\
b_2=2 a_1+a_2
\end{array}\right.
$$

也即向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示为

$$
\left(b_1, b_2\right)=\left(a_1, a_2\right)\left(\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
1 & 1
\end{array}\right)=\left(a_1, a_2\right) K
$$

其中，矩阵 $K =\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ 是上述线性表示的系数矩阵．显然， $K$ 可逆，且 $K ^{-1}=\left(\begin{array}{rr}1 & -2 \\ -1 & 3\end{array}\right)$ ，于是

$$
\left(a_1, a_2\right)=\left(b_1, b_2\right)\left(\begin{array}{rr}
1 & -2 \\
-1 & 3
\end{array}\right),
$$

具体写出，有

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_1=b_1-b_2 \\
a_2=-2 b_1+3 b_2
\end{array}\right.
$$

从上知两向量组能相互线性表示，故它们等价．

## 理解一个方程的三种叫法 
对于方程，比如下面最简单的二元一次方程。
①方程的叫法是 $AX=B$ （方程有解，矩阵的秩和增广矩阵的秩相等）

$$
\left\{\begin{array} 
2x_1+3x_2=5 \\
2x_1-3x_2=1
\end{array}
\right.
$$

②矩阵的的叫法是矩阵$A$乘以矩阵$X$ 等于矩阵 $B$
$$
\left[\begin{array}{cc} 
1 & 3 \\
2 & -3
\end{array}
\right]

\left[\begin{array}{cc} 
x_1 \\
x_2
\end{array}
\right]=

\left[\begin{array}{cc} 
5 \\
1
\end{array}
\right]=
$$

③写成向量是$\alpha,x$可以线性表示向量$\beta$ (线性相关)。

$$
x_1  \left[\begin{array}{c} 
1 \\
2
\end{array}
\right] +

x_2  \left[\begin{array}{c} 
3 \\
-3
\end{array}
\right] 
=  \left[\begin{array}{c} 
5 \\
-1
\end{array}
\right] 
$$

`例`已知向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 和 $B: \beta_1=\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ -2\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{l}-3 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \cdot \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$,
证明：向量组 $B: \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性表示.

证明 令矩阵 $A=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\right) ， B=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)$ ，

现在把$AB$组成一个新矩阵，然后做**初等行变换**（注意：此处只能做行变化），然后化为[行最简形矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1860),判断矩阵的秩和增广矩阵是否相等。

$$
\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \mid \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)=\left(\begin{array}{cc|ccc}
1 & -2 & 3 & -3 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & -2 & 1 & 0
\end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cc|ccc}
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$

可见，三个方程组 $A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_j(j=1,2,3)$ 的解分别为

$$
x_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right),
$$

$$
x_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right),
$$

$$
x_3=\left( \begin{array}{l}1  \\ 1\end{array}\right)
$$

于是有 $\boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1\end{array}\right)$, 使得 $A \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$. 因此向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示.

`例`已知向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 5\end{array}\right)$ 和 $B: \boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$,
证明: 向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 和向量组 $B: \beta_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 等价.

证明 令矩阵 $A=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right) ， B=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)$ ，设 $B \boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}$ 。由

$$
\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3 \mid \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)=\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & -1 & 2 & 5
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right),
$$

矩阵方程 $B X=A$ 有解 $\boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，因此，向量组 $A$ 能由向量组 $B$ 线性表示.
另一方面，由于

$$
\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right|=2 \neq 0
$$

所以矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 可逆，于是有 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)^{-1}=\boldsymbol{B}$ ，

即向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示，所以这两个向量组等价.

## 常见问答

Q:两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联系?
A:答 矩阵 $A$ 与 $B$ 等价指的是 $A$ 可以通过有限次初等变换变成 $B$ ，因此，两个不同型的矩阵是不可能等价的；两向量组的等价指的是它们能够相互线性表示, 于是, 它们各自所含向量的个数可能是不一样的. 例如二维向量组 $A: \alpha =$ $\binom{1}{1}$ 与二维向量组 $B:\left\{\left. \beta =k\binom{1}{1} \right\rvert\, k \in R \right\}$ 是等价的。但前者只含一个向量；而后者含有无限多个向量。

两矩阵的等价与两向量组的等价两者的联系在于：
(1) 若矩阵 $A$ 经初等行变换变成 $B$, 即 $A$ 与 $B$ 行等价, 则 $A$ 与 $B$ 的行向量组等价; 若 $A$ 经初等列变换变成 $C$, 即 $A$ 与 $C$ 列等价, 则 $A$ 与 $C$ 的列向量组等价；若 $A$ 既经初等行变换又经初等列变换变成 $D$ ，那么矩阵 $A$ 与 $D$ 等价，但 $A$与 $D$ 的行向量组与列向量组末必等价。
(2) 反过来, 设两列向量组等价. 若它们所含向量个数不相同, 则它们对应的两个矩阵是不同型的，因而不等价；若它们所 $\oplus$ 含向量个数相同（例如都含有 $m$ 个), 那么它们对应的两个 $n \times m$ 矩阵（这里 $n$ 为向量的维数）列等价，从而一定等价，但不一定行等价。例如

向量组 $A:\binom{1}{2},\binom{2}{4}$ 与向量组 $B:\binom{1}{2},\binom{0}{0}$ 等价, 它们对应的矩阵 $A=$ $\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ 与 $B =\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 0\end{array}\right)$ 列等价, 从而 $A$ 与 $B$ 等价, 但非行等价.

类似地, 若两个含向量个数相同的行向量组等价, 则它们对应的两矩阵行等价, 从而一定等价, 但不一定列等价.

Q何谓两个向量组各个向量之间有相同的线性关系?
A 称 $n$ 维向量组 $A: a _1, a _2, \cdots, a _m$ 与 $l$ 维向量组 $B: b _1, b _2, \cdots, b _m$ (这里 $n$与 $l$ 可以相等, 也可以不相等)各向量之间有相同的线性关系是指：(i) $a_i$ 与 $b_i$一一对应; (ii) $A$ 的任一部分组 $a_{i_1}, a_{i_2}, \cdots, a_{i_3}$ 具有某种线性关系的充要条件是 $B$ 的对应的部分组 $b _{ i _1}, b _{ i _2}, \cdots, b _{i_s}$ 有相同的线性关系。

特别地,
$a _{p_1}, \cdots, a _{p_r}$ 是 $A$ 的最大无关组 $\Leftrightarrow b _{p_1}, \cdots, b _{p_r}$ 是 $B$ 的最大无关组;
$a _k=\lambda_{1 k} a _{p_1}+\cdots+\lambda_{r k} a _{p_r} \Leftrightarrow b _k=\lambda_{1 k} b _{p_1}+\cdots+\lambda_{r k} b _{p_r}(k=1,2, \cdots, m)$.
教材中指出，当齐次方程 $\left(a_1, \cdots, a_m\right) x=0$ 与 $\left(b_1, \cdots, b_m\right) x=0$ 同解时，向量组 $A$ 与向量组 $B$ 中各向量之间有相同的线性关系, 这是因为:
$$
\begin{aligned}
& \left(a_1, a_2, \cdots, a_m\right) x=0 \text { 与 }\left(b_1, b_2, \cdots, b_m\right) x=0 \text { 同解 } \\
& \Rightarrow\left(a_{i_1}, \cdots, a_{i_i}\right) y=0 \text { 与 }\left(b_{i_1}, \cdots, b_{i_s}\right) y=0 \text { 同解 } \\
& \Rightarrow a_{i_1}, \cdots, a_{i_3} \text { 与 } b_{i_1}, \cdots, b_{i_s} \text { 有相同的线性关系. }
\end{aligned}
$$

Q 矩阵的初等行变换对矩阵的列向量组和行向量组各有什么作用?
A 设矩阵 $A$ 经初等行变换成为 $B$, 那么
（1）矩阵 $A$ 与 $B$ 的行向量组等价，也即它们能相互线性表示。于是齐次方程 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解，这是用初等行变换求解线性方程组的理论基础。
(2) 矩阵 $A$ 和 $B$ 的列向量组有相同的线性关系（见问 4.3）。这是用初等行变换求出 $A$ 的列向量组的最大无关组，并将其余向量用该最大无关组（惟一地）线性表示问题的理论基础。进一步，从解方程角度看，它可用来求非齐次方程 $A x = b$ 的特解（见例10之析）。

以上这几个问题贯穿于本章的计算问题中.

Q 向量组的最大无关组有什么重要意义?
A 设 $A_0$ 是 $n$ 维向量组 $A$ 的一个最大无关组, 那么 $A_0$ 的良好性质是: （1） $A_0 \subseteq A$, 且所含向量个数 $r=R_{A_0} \leqslant n$ ；（2） $A_0$ 组与 $A$ 组等价，从而有 $R_A=$ $R_{A_0}=r$; (3) 在所有与 $A$ 组等价的向量组中, $A_0$ 组含的向量个数最少。事实上,设 $B$ 是任一与 $A$ 组等价的向量组, 由等价的传递性, $B$ 组与 $A_0$ 组等价, 从而有
$$
R_B=R_{A_0}=r,
$$

于是 $B$ 组向量个数 $\geqslant r$.
这样，用 $A_0$ 组来"代表" $A$ 组是最佳不过的了. 特别，当 $A$ 组为无限向量组时就能用有限向量组来"代表"，而后者可进一步转化为矩阵；凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去。这正是最大无关组的意义所在。

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