最后更新: 2025-07-20 09:08 查看: 866 次反馈同步训练

向量组的等价

在矩阵等价里介绍了矩阵等价的定义，如果一个矩阵$B=P A Q$，则称呼为$B \simeq A$, 详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=464), 矩阵等价从方程的角度理解，反映的是“**同解方程组**”。从映射角度理解，矩阵等价意思是矩阵$B$经过一些列初等变换，能变成矩阵$A$。**但是根据定义，如何快速判断两个矩阵等价是一个比较棘手的问题** 我们需要进一步寻找新的方法来解决这个问题，为此先引入向量组的等价。

## 向量组等价的定义
**定义** 设 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 是 $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，而 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 是 $s$ 个 $n$ 维向量组成的向量组.
如果向量组 $B$ 中每一个 向量 $\beta_j(j=1,2, \cdots, s)$ 均可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，
则称向量组 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_3$ 可由向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示.
如果向量组 $A$ 与向量组 $B$ 可以**相互线性表示**，则称向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价.

证明：若向量组 $B: \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，
则对向量组 $B$ 中每一个向量 $\beta_j(j=1,2, \cdots, s)$ ，存在一组数 $k_{1 j}, k_{2 j}, \cdots, k_{m j}$ ，使得

$$
\boldsymbol{\beta}_j=k_{1 j} \boldsymbol{\alpha}_1+k_{2 j} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_{m j} \boldsymbol{\alpha}_m=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right)\left(\begin{array}{c}
k_{1 j} \\
k_{2 j} \\
\vdots \\
k_{m j}
\end{array}\right)(j=1,2, \cdots, s) .
$$

以向量 $\left(\begin{array}{c}k_{1 j} \\ k_{2 j} \\ \vdots \\ k_{m j}\end{array}\right)$ 为列，得到一个 $m \times s$ 矩阵

$$
\boldsymbol{K}_{m \times s}=\left(\begin{array}{cccc}
k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1 s} \\
k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2 s} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
k_{m 1} & k_{m 2} & \cdots & k_{m s}
\end{array}\right) .
$$

矩阵 ${K}_{m \times s}$ 称为这一线性表示的系数矩阵.
令矩阵 $A=\left(\alpha_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_m\right) ， B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s\right)$ ，则有 $B={A} {K}_{m \times s}$.

如果写成矩阵形式就是：
$$
\left(\alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n\right)\left(\begin{array}{l}
k_1 \\
k_2 \\
... \\
k_n
\end{array}\right)=\beta
$$

两个向量组等价，记做 $(a_1,a_2,a_m) \simeq (b_1,b_2,b_s)$

等等，先暂停一下，看到上面的记法，你想到了什么？全等三角形

> 向量组等价使用 “$ \simeq $” 进行标记，此时你应该类比记忆初中学过的**全等三角形**，两个全等三角形本质是一样的，所以，两个向量组等价，意味着他们的性质也是一样的。

## 定理2
设 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，而 $B: \beta, \beta, \cdots, \beta$, 是 $s$ 个 $n$ 维向量组成的向量组.
令矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) ， B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s\right)$ ，则向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示的充分必要条件是矩阵方程 $A X=B$ 有解.

向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价的充分必要条件是矩阵方程 $A X=B$ 与 $B Y=A$ 同时有解.

证明：向量组 $B: \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示
1 存在这一表示的系数矩阵 $\boldsymbol{K}_{n \times s}$ ，使得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{K}_{n \times s}$.
2 若矩阵方程 $A X=B$ 有解 $X=K_{{m \times s}}$ ，
向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价
(1) 存在系数矩阵 $K_{m \times s}$ 与 $M_{s \times m}$ ，使得 $B=A K_{m \times s}$ 且 $B M_{s \times m}=A$.
(2) 矩阵方程 $A X=B$ 与 $B Y=A$ 同时有解 $X=K_{m \times s} ， Y=M_{s \times m}$.
 
 
 
 
## 向量组等价的几何解释

两个向量组 $A$ 和 $B$ 的等价就是这两个向量组能够互相被线性表示。详细地说, 向量组 $A$中的每一个向量都可以被向量组 $\boldsymbol{B}$ 线性表示; 同样, 向量组 $\boldsymbol{B}$ 中的每一个向量也可以被向量组 $A$ 线性表示。或者说, 如果把一个向量组中的任意一个向量拿出来放到另外一个向量组中, 那么另外这个扩大的向量组就会线性相关，而且不论原向量组是否线性相关。
根据前面分析的向量组线性表示的几何意义，我们很容易理解向量组等价的几何意义:

> **两个向量组等价就是两个向量组所扩张成的直线、平面或空间相互重合**

下面讨论的是三维空间中向量组的等价关系。

单位为了更好理解向量组的等价，我们先给出一个概念：向量组的秩，他的详细介绍会在 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=481)

> **假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为1，就表示这$n$个向量共线。** 例如含有3个向量的   $\left( \left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]  ， \left[\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right] ， \left[\begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right] \right)$    因为坐标成比例，所以共线，秩为1，代表的是1维。

> **假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为2，就表示这$n$个向量在一个平面内**。例如含有3个向量的   $\left( \left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]  ， \left[\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right] ， \left[\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}\right] \right)$   前面两个在一条直线上，另外一个是另一个直线，两个直线确定一个平面，所以，秩为2，代表的是2维。

> **假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为3，就表示这$n$个向量组成一个立方体** 例如含有3个向量的   $\left( \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\0 \end{array}\right]  ， \left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right] ， \left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\1 \end{array}\right] \right)$  这个是标准的笛卡尔坐标，所以这3个向量张成了立体空间，所以秩为3，代表三个向量共体。
 
以此类推。理解了上面的结论后，下面再进一步细细解释上面的结果。

### 直线上的等价向量组
 如图 4-11 所示的三维空间中, 共有三条分离的不共面直线, 每条直线上分别有两个、三个和四个向量。两向量 $\alpha_1 、 \alpha_2$ 在一条直线上; 三向量 $\beta_1 、 \beta_2 、 \beta_3$ 在另外一条直线上; 四向量 $\gamma_1 、 \gamma_2 、 \gamma_3 、 \gamma_4$ 在第三条直线上。
 
  ![图片](/uploads/2025-03/316418.jpg){width=500px}
   
   由此, 我们可以验证以下命题:

$\left\{\alpha_1\right\},\left\{\alpha_2\right\},\left\{\alpha_1, \alpha_2\right\}$ 是等价向量组;

$\left\{\boldsymbol{\beta}_1\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_2\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right\}$ 是等价向量组;

$\left\{\gamma_1\right\} ...\left\{\gamma_4\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_2\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_3\right\} ...\left\{\gamma_3, \gamma_4\right\}$, $\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_4\right\},...\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4\right\}$ 是等价向量组。

其实上述命题不用验证也可以知道, 因为我们罗列的等价向量组里的向量都包含在一条直线上, 每个向量组都扩张成同一根直线。

从这里不难得出第一个结论：
 
 > 假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为1，就表示这$n$个向量在一条直线内。
 
 
如果我们使用更具体的数字来验证，比如有3个向量

$$
\boldsymbol{a_1}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a_2}=\left(\begin{array}{l}
3 \\
3 \\
3
\end{array}\right) ;

\quad \boldsymbol{a_2}=\left(\begin{array}{l}
4 \\
4 \\
4
\end{array}\right) ;
$$

因为这些坐标成比例，所以这3个向量的秩为1，所以这3个向量在一条直线上。如果写出这三个向量的矩阵为
 
 $$
 \left(\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 4 \\
\end{array}\right)
$$
可以发现他们的秩正好也为1

### 平面等价向量组:

类似地, 三维空间中, 我们看看平面上的向量组之间的等价关系。如图 4-12 所示, 向量 $\boldsymbol{\alpha}_i 、 \boldsymbol{\beta}_i 、 \boldsymbol{\eta}_i$ 分别所在的三条直线共一平面 (阴影平行四边形), 因此向量 $\boldsymbol{\alpha}_i 、 \boldsymbol{\beta}_i 、 \boldsymbol{\eta}_i$ 中的任何一类可以被其他两类线性表示, 例如有关系 $\boldsymbol{\alpha}_i=x_1 \boldsymbol{\beta}_i+x_2 \boldsymbol{\eta}_i$ 。

![图片](/uploads/2025-03/afedd5.jpg){width=500px}
换句话说, 向量 $\boldsymbol{\alpha}_i 、 \boldsymbol{\beta}_i 、 \boldsymbol{\eta}_i$ 的任意 $\mathrm{C}_3^2$ 和 $\mathrm{C}_3^3$ 组合的向量组所张成的向量空间都是同一个平面。因此, 所有组合都是等价向量组。具体的等价关系如下:

$\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\eta}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i\right\}$ 是等价向量组, 比如 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_2\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\eta}_1\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\eta}_2\right\}$,
 
 从这里不难得出第二个结论：
 
 > 假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为2，就表示这$n$个向量在一个平面内。
 
把上面结论用具体向量来解释，比如有下面2个向量 
 
$$
\boldsymbol{a_1}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a_2}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
0
\end{array}\right) ;
$$
 因为他们的第三个分量都是0，所以，他们在$XOY$平面内，参考下图
  ![图片](/uploads/2025-03/c86f6b.jpg)
 
 如果写出这两个向量的矩阵为
 
 $$
 \left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 \\
1  & 2\\
0 & 0
\end{array}\right)
$$

可以发现矩阵的秩为2
 
 
 
 
### 三维空间上的向量组
 
参考图4-12，如果一个平面再加一个平面外的一条直线 $\gamma$ 就是向量组所张成的三维空间, 则不难理解以下等价关系:

![图片](/uploads/2025-03/afedd5.jpg){width=500px}

$\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i, \gamma_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\eta}_i, \gamma_i\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i, \boldsymbol{\gamma}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i, \gamma_i\right\}$ 是等价向量组, 比如 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \gamma_1\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\eta}_1, \gamma_2\right\}$, $\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\eta}_2, \gamma_1, \gamma_3\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \gamma_3, \gamma_4\right\}$ 是等价向量组。

因此，可以得到
 > 假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为3，就表示这$n$个向量组成一个立方体。
 
通过上面的例子，大致理解了向量组等价的意义。

## 秩相等不代表可以互相表示
 
 情况1：假设有2个向量共面，如下图， 小提示：此时秩 $r(a_1,a_2)=2$ 
 
  ![图片](/uploads/2025-03/a77952.jpg)
 
  情况2：假设有4个向量共面，如下图，小提示：此时秩  $r(a_1,a_2,b_1,b_2)=2$ 。
 ![图片](/uploads/2025-03/77d53c.jpg)
 
 如果记向量组 $A=(a_1,a_2)$, 记向量组 $B=(b_1,b_2)$  ，那么我们可以看到  $r(A)=2$, $r(B)=2$, $r(A|B)=2$
 而且A,B可以互相表示，这样，我们就得到一个结论：
 
> **如果向量组 $A$ 的秩 等于向量组 $B$ 的秩，等于 向量组 $A$ 和向量组 $B$ 合起来的秩，那么向量组 $A$ 等价向量组 $B$**
 
 但是，他们的逆命题不一定成立，请看下面示意图
  ![图片](/uploads/2025-03/a1cd43.jpg)
 
 $A=(a_1,a_2)$，和 $B=(b_1,b_2)$ ，他们分别在两个平面上，所以肯定**不能**相互表示，此时，可以看到$r(A)=2$,$r(B)=2$, 而$r(AB)=3$

所以，两个向量组的秩相等，不代表他们可以互相表示。

#### 如何判断2组向量是否等价

> **通过上面的解释，我们可以得到两个向量组能否线性表示的解决方法:给你两个向量组，把这2个向量组组成一个矩阵，然后判断 $R(A)=R(B)=R(AB)$ 秩是否相等。**

稍微提示一下，A,B秩相等不代表可以互相表示的另一个通俗解释是：两个向量$a_i,a_j$组成了平面$A$， 两个向量$b_i,b_j$组成了平面$B$，如果这2个平面互相垂直，那么这$a_i,a_j$ 就无法表示$b_i,b_j$， 反之也是。

## 例题

`例` 设

$$
a _1=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right), a _2=\left(\begin{array}{l}
3 \\
1 \\
1 \\
3
\end{array}\right), b _1=\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right), b _2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0 \\
2
\end{array}\right), b _3=\left(\begin{array}{r}
3 \\
-1 \\
2 \\
0
\end{array}\right),
$$

证明向量组 $a _1, a _2$ 与向量组 $b _1, b _2, b _3$ 等价．

证明：向量组 $a _1, a _2$ 与向量组 $b _1, b _2, b _3$ 等价．就是判断 $R(A)=R(B)=R(AB)$ ，为此把AB化为行最简形

$$
( A , B )=\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 3 & 2 & 1 & 3 \\
-1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1 & 2 & 0
\end{array}\right)
$$

$$
\to \left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 3 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 4 & 2 & 2 & 2 \\
0 & -2 & -1 & -1 & -1 \\
0 & 6 & 3 & 3 & 3
\end{array}\right)
$$

$$
\to \left(\begin{array}{lllll}
1 & 3 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)

$$
\text { 可见, } R( A )=2, R( A , B )=2 \text {. }
$$

容易看出矩阵 $B$ 中有不等于 0 的 2 阶子式，故 $R( B ) \geqslant 2$ ．又

$$
R( B ) \leqslant R( A , B )=2,
$$

于是知 $R( B )=2$ ．因此，

$$
R( A )=R( B )=R( A , B )
$$

故向量组 $a_1, a_2$ 与向量组 $b _1, b _2, b _3$ 等价．

`例`设向量 
$$
\boldsymbol{a_1}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
2 \\
4
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a_2}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
3 \\
1 \\
2
\end{array}\right) ; \quad \boldsymbol{b_1}=\left(\begin{array}{r}
3 \\
0 \\
7 \\
14
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{b_2}=\left(\begin{array}{r}
2 \\
1 \\
5 \\
10
\end{array}\right),
$$

向量组 $A: \boldsymbol{a_1, a_2}$ ，向量组 $B: \boldsymbol{b _1, b _2}$  
 
 （1）证明向量组 $A$ 与 $B$ 等价；（2）求向量组 $A$ 与 $B$ 的相互线性表示的表示式．
解 先求解（2），若（2）已解出，（1）自然成立．为此，把向量组 $A$ 和 $B$ 合起来成矩阵，并求它的行最简形：

$$
\left(a_1, a_2, b_1, b_2\right)=\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 3 & 2 \\
-1 & 3 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 7 & 5 \\
4 & 2 & 14 & 10
\end{array}\right)
$$

$$
\sim \left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 3 & 2 \\
0 & 3 & 3 & 3 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 2 & 2
\end{array}\right)
$$

$$
\sim \left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 3 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) .
$$

于是，向量 $b_1$ 和 $b_2$ 满足

$$
\left\{\begin{array}{l}
b_1=3 a_1+a_2 \\
b_2=2 a_1+a_2
\end{array}\right.
$$

也即向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示为

$$
\left(b_1, b_2\right)=\left(a_1, a_2\right)\left(\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
1 & 1
\end{array}\right)=\left(a_1, a_2\right) K
$$

其中，矩阵 $K =\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ 是上述线性表示的系数矩阵．显然， $K$ 可逆，且 $K ^{-1}=\left(\begin{array}{rr}1 & -2 \\ -1 & 3\end{array}\right)$ ，于是

$$
\left(a_1, a_2\right)=\left(b_1, b_2\right)\left(\begin{array}{rr}
1 & -2 \\
-1 & 3
\end{array}\right),
$$

具体写出，有

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_1=b_1-b_2 \\
a_2=-2 b_1+3 b_2
\end{array}\right.
$$

从上知两向量组能相互线性表示，故它们等价．

## 理解一个方程的三种叫法 
对于方程  $AX=B$，有三种叫法。
①方程的叫法是 $AX=B$ （方程有解，矩阵的秩和增广矩阵的秩相等）

$$
\left\{\begin{array} 
2x_1+3x_2=5 \\
2x_1-3x_2=1
\end{array}
\right.
$$

②矩阵的的叫法是矩阵$A$乘以矩阵$X$ 等于矩阵 $B$
$$
\left[\begin{array}{cc} 
1 & 3 \\
2 & -3
\end{array}
\right]

\left[\begin{arra

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：方程的向量表示及线性组合

下一篇：线性相关与线性无关

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)