最后更新: 2025-07-18 08:38 查看: 589 次反馈同步训练

极大无关组及其几何意义

## 向量组的秩和极大无关组的几何意义
### 引入
**向量组的线性相关或者线性无关可以看成组成坐标系的“基本单位”的条件。**
这里的基本单位类似“测度”，比如，我们要测量一座山的高度，需要有“米”作为单位。要测量物品的质量，需要有“千克”作为单位。衡量物价使用“元”为单位。 同样的给我一个向量，我要测量他的大小和方向，最基本的要求是有一个坐标系。

给我一个向量组，我希望用这些向量组成一个坐标系，如何选择向量是个问题，比如
$a_1=[1,0,0],a_2=[0,2,0],a_3=[0,0,1],a_4=[0,0,5]$

每个向量可以看成三维空间里的一个分量，如果我选择
$a_1,a_2,a_3$ 可以构建三维坐标系
$a_1,a_2,a_4$ 也可以构建三维坐标系

但是选择 $a_2,a_3,a_4$ 则不行，很明显 $a_3,a_4$ 在一条直线上，他和$a_2$ 构成了一个平面，无法张成三维空间。

因此，本节我们主要解决的问题是：给你一组向量，如何找到最大的一组向量组，他可以表示向量组里的每一个向量，这就是极大无关组的意思。

在上面例子里$a_1,a_2,a_3,a_4$ 这四个向量，要完整的表达组里的每个向量，只要3个向量就可以了，可以选择 $a_1,a_2,a_2$  也可以选择 $a_1,a_2,a_4$。 这表明，**极大向量组的表达方式不是唯一的**，但是不管怎么选，都的3个向量，所以，个数是唯一的，这个“个数”就是**向量组的秩**。

我们将从维度（也叫做坐标系或者叫做基）来理解线性相关与无关的意思，为此再次回顾一下坐标系的组成。

## 1. $R^1$坐标系
在一维坐标系里，只要$a$不为$0$，都可以当做“基本单位”。你可以把他想想为直角坐标系里的坐标轴，只要坐标单位不为0，都可以称为测度的单位。 比如$\vec a=(1), \vec a=(2)$ ，此时的向量$a$的秩为1.

但是，我们思维要发散一下，比如下图空间 如图 4-11 所示的三维空间中, 共有三条分离的不共面直线, 每条直线上分别有两个、三个和四个向量。两向量 $\alpha_1 、 \alpha_2$ 在一条直线上; 三向量 $\beta_1 、 \beta_2 、 \beta_3$ 在另外一条直线上; 四向量 $\gamma_1 、 \gamma_2 、 \gamma_3 、 \gamma_4$ 在第三条直线上。

这里假设有 $\vec beta_1=(1,1,1), \vec beta_2=(2,2,2),\vec beta_3=(-1,-1,-1)$ 三个向量，可以看到他们在一条直线上，如果这3个向量组成一个向量组则是

$$
B=\left(\begin{array}{c}
1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 2 \\
-1 & -1 & -1
\end{array}
\right)
$$

不难发现，这个向量组的秩为1，由此得到下面结论：
> 对于$n$个向量组成的向量组，如果向量组的秩为$1$,表示这$n$个向量共线。

![图片](/uploads/2025-03/316418.jpg){width=500px}
  
## 2. $R^2$坐标系
在二维坐标系里，任何不重合的向量都可以作为坐标系。但是我们常用的是笛卡尔坐标系，即$e_1=(1,0)$和$e_2=(0,1)$ 
请务必牢记：笛卡尔坐标仅是一个特殊的坐标系，如果使用$x=(2,4)$ 和 $y=(3,1)$ 也可以作为坐标系（紫红色向量）。也就是说，二维空间里的任何一个向量，都可以使用$x,y$ 表示。
 ![图片](/uploads/2024-10/b3c9c7.jpg)
 
 但是使用$x=(2,4)$ 和 $y=(4,8)$ 无法组成坐标系，因为他们共线，无法张量成一个平面。
 
  ![图片](/uploads/2024-10/92ebba.jpg)
 
上面结论，高中我们就知道了，我们要把思维进一步发散，要放的更开，我们在 [集合论与向量空间](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1861) 曾经说过，  $n$维向量就像是一个枝繁叶茂的大树所构成的一个庞大物理空间 (**枝繁叶茂**这个词用的很好，整个向量空间想一颗参天大树，但是共用**树根**)。为了方便理解，我们以3维空间为例。在3维向量空间这所大房子里又可以划分出好多居室，每个居室里的向量们也严格坚守着自己居室的同样的两项基本原则：**相加和缩放不能超出自己的居室**, 这些大大小小的居室就是子空间。
需要注意的是, 这些居室有个特点, 就是**共有一个原点**, 或者说都要包括零向量。参考下图

![图片](/uploads/2024-10/57e01b.jpg)

有了上面的理解， 我们看看平面上的向量组之间的等价关系。如图 4-12 所示, 向量 $\boldsymbol{\alpha}_i 、 \boldsymbol{\beta}_i 、 \boldsymbol{\eta}_i$ 分别所在的三条直线共一平面 (阴影平行四边形), 因此向量 $\boldsymbol{\alpha}_i 、 \boldsymbol{\beta}_i 、 \boldsymbol{\eta}_i$ 中的任何一类可以被其他两类线性表示, 例如有关系 $\boldsymbol{\alpha}_i=x_1 \boldsymbol{\beta}_i+x_2 \boldsymbol{\eta}_i$ 。

![图片](/uploads/2025-03/afedd5.jpg){width=500px}

从这里不难得出第二个结论：

比如有下面3个向量 
 
$$
\boldsymbol{\alpha_1}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta_1}=\left(\begin{array}{l}
4 \\
5 \\
6
\end{array}\right) ;

\quad \boldsymbol{\eta_1}=\left(\begin{array}{l}
6 \\
9 \\
12
\end{array}\right) ;
$$

这里 $\eta_1=2 \alpha_1+\beta_1$ , 从向量平行四边形法则上来说 $\alpha_1$ 得2倍与 $\beta_1$的1倍进行合成，形成了$\eta_1$ ，所以这3个向量共面。如果写成矩阵，然后进行换件，这3个向量组成的矩阵的值为2
 
$$
B=\left(\begin{array}{c}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
6 & 9 & 12
\end{array}
\right)
$$

由此，我们可以得到第二个结论

> 假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为2，就表示这$n$个向量在一个平面内。

## 3. $R^3$坐标
在三维坐标系里，任何不重合且不同时共面的3向量都可以作为坐标系。但是我们常用的的三维笛卡尔坐标是$e_1=(1,0,0)$,$e_2=(0,1，0)$和$e_3=(0,0,1)$

![图片](/uploads/2024-10/efdba3.jpg)
 
 
 ![图片](/uploads/2025-03/afedd5.jpg){width=500px}

参考上面图4-12， 我们可以发现，在$\alpha, \beta, \gamma$ ，三个向量组里，任取3个向量，都可以组成向量空间，换句话说。
可以取 $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1$,也可以取  $\alpha_2, \beta_1, \gamma_1$，但是取 $\alpha_1, \alpha_2, \gamma_1$ 不行。总之，可以有如下结论

> 假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为3，就表示这$n$个向量组成一个立方体。

## $R^n$空间
把上面推广到$n$维，就变成了$n$维空间。

从前面的罗列中, 还可以看出最短的等价向量组是只有一个向量元素的向量组; 长的等价向量组的元素可以无穷多。这里, 最短的向量组实际上就是极大无关组, 极大无关组的元素的个数就是等价向量组的秩。如果等价向量组最小只有一个向量, 则等价向量组的秩等于 1 。

### 如何求极大线性无关组
我们可以这样求极大无关组: 从原来的较长的向量组中挑出一部分向量组成了一个新的向量组, 这个新的向量组在某种意义下可以代表原来的向量组;同时这个新的向量组很纯净, 没有躲在别人后面滥笔充数的向量, 多余的向量被剔出了, 向量之间互相独立,  既不代表谁也不被代表 (任一个向量都不能被其他向量线性表示)。这些个顶个的向量个数就是这些互相等价的向量组的秩。

**从几何意义上讲, 在一个向量组里, 如果有多个向量在一条直线上, 那么直线上这些向量只要一个向量就可以了, 其他的同直线的向量可以被代表了。这个向量代表可以是直线上任意一个非零向量; 进而, 如果向量组里还有多个向量构成或存在于一个平面上, 那么只要有两个非零非共线的向量就可以代表其他的共面向量了; 继续, 如果向量组里还有多个向量构成或存在于一个立体空间里, 那么只要有三个非零非共线非共面的向量就可以代表其他的同立体向量了......**

所以, 一个 $n$ 维向量组可以通过几何意义上笕选得到一个极大无关向量组, 筛选的过程可以这样:

（1）把**共线**的向量全部找出来; 然后对每一个直线, 各留一个向量代表, 线上其余向量删除。

（2）把上述精简后的向量组里所有**共面**的向量全部找出来, 然后对一个平面, 各留两个向量, 面上其余的向量删除;

（3）把上述精简后的向量组里所有**共立方体**的向量全部找出来, 然后对每一个立方体, 各留三个向量, 立方体内其余的向量删除;

（4）把上述精简后的向量组里所有共超立方体 ( $n-1$ 维) 的向量全部找出来, 然后对每一个超立方体, 各留 $n-1$ 个向量, 超立方体内其余的向量删除;

（5）留下的向量数小于等于 $n$, 筛选结束, 剩下的向量则为极大无关向量组。

具体操作读者可以自己线下验证。

##  两个容易出错的概念
`例`若向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right\}$ 中的向量两两线性无关, 则 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right\}$ 线性无关，是否正确？
解：这个说法是错误的。可以用二维空间的向量即可证明。
如图 4-14 所示, 向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right\}$ 的向量定义如下: $\boldsymbol{\alpha}_1=(2,1), \boldsymbol{\alpha}_2=(3,3), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,2)$,显然 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2, \alpha_1$ 和 $\alpha_3, \alpha_2$ 和 $\alpha_3$ 线性无关 (不在一条直线上), 但 $\alpha_2=\alpha_1+\alpha_3$, 所以向量组 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 线性相关。

这个例题说明, 向量 $\alpha_1 、 \alpha_2 、 \alpha_3$ 属于二维的平面向量空间, 而向量组的元素个数是 3, 超过了向量空间的维数 2 , 因而线性相关。一般的结论是, **$n$ 维向量空间里 $n+1$ 个以上的向量必线性相关**。

![图片](/uploads/2024-10/df50fc.jpg)

`例`  若 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 线性相关, $\boldsymbol{\beta}_1$ 和 $\boldsymbol{\beta}_2$ 也线性相关, 那么, $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\beta}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\beta}_2$ 也线性相关，这个说法是否正确？
解:这个说法也是错误的，也用二维空间的向量证明。如图 4-15 所示, 向量定义如下: $\boldsymbol{\alpha}_1=(2,1), \boldsymbol{\alpha}_2=(-2,-1), \boldsymbol{\beta}_1=(-1,2), \boldsymbol{\beta}_2=(-2,4)$,则有 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\beta}_1=(1,3), \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\beta}_2=(-4,3) ; \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\beta}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\beta}_2$ 不在一条直线上, 因而 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\beta}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\beta}_2$线性无关。

![图片](/uploads/2024-10/2c9286.jpg)
 
这个例题说明, $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 在空间 $V_1$ (直线) 上, $\boldsymbol{\beta}_1$ 和 $\boldsymbol{\beta}_2$ 在空间 $V_2$ (直线) 上, 两个不同空间上的向量 (零向量除外) 相加, 必然会进入第三个空间（直线）、第四个空间（直线）……以致布满整个二维空间 (平面), 显然 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\beta}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\beta}_2$ 绝大部分线性无关。

### 秩和维度的关系
 理解向量组的秩和维数关系，例如 $a_1,a_2$ 在 $XOZ$ 平面上， $b_1,b_2$ 在$XOY$ 平面上，这2个平面组成了一个立方体，所以
 $a_1,a_2,b_1,b_2$ 组成的秩为3.
  
   ![图片](/uploads/202

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