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线性代数
第四篇 线性方程组的解
齐次线性方程组解的结构
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2025-03-05 09:18
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齐次线性方程组解的结构
### 引子 在初中,我们知道 $y=ax+b$ 表示平面上一条直线, 在高中,$z=a_1 x +a_2 y$ 表示空间里的一个平面,由此推广 ①1 个四元线性方程 $a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1$, 表示四维空间里的一个三维空间体; ②2 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2\end{array}\right.$, 表示四维空间里的一个二维平面; ③3 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2 \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3+a_{34} x_4=b_3\end{array}\right.$, 表示四维空间里的一个一维直线; ④4 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2 \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3+a_{34} x_4=b_3 \\ a_{41} x_1+a_{42} x_2+a_{43} x_3+a_{44} x_4=b_4\end{array}\right.$ 表示四维空间里的一个零维点。 可以看出, 方程组解的几何图形的维数和方程组里方程的个数有关系。解的维数加上方程数等于空间的维数 (事实上, 方程组的个数就是系数矩阵的秩)。 ## 齐次方程组的解 齐次方程组一定有零解,所以,他要么有唯一的零解,要么有无穷多解。 ① **唯一的零解** 从本质上来说,方程组有唯一零件是两个直线斜率不一样,且直线仅在原点相交,对于零件,我们通常不感兴趣,我们更感兴趣的是无穷解。 $$ \begin{aligned} &\left\{\begin{array} { r } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 0 } \\ { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 0 } \end{array} \longrightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1=0 \\ x_2=0 \end{array}\right.\right. \end{aligned} $$ ② **无穷多解** 从本质上来说,方程组有无穷多解是两个直线重合。 $$ \left\{ \begin{array} { r } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 0 } \\ { 2 x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } = 0 } \end{array} \longrightarrow \left\{\begin{array} { l } { x _ { 1 } = 0 } \\ { x _ { 2 } = 0 } \end{array}\right. ... \left\{\begin{array}{l} x_1=1 \\ x_2=-1 \end{array}\right. \right. $$ > 对于有无穷多解,我们更感兴趣的是如何写出他的基础解系。 比如对于上面的方程,可以写成 $$ \begin{aligned} \left\{\begin{array}{r} x_1+x_2=0 \\ 2 x_1+2 x_2=0 \end{array}\right. & \end{aligned} \longrightarrow \begin{aligned} & x_1=k \\ & x_2=-k \end{aligned} $$ 更进一步的,上面方程的解可以写成向量形式是: $$ x=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right]=k\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right] $$ 此时,我们可以说,虽然这个方程有无穷多解,但是使用上面这个表达式可以表示出这个方程所有的解,我们给这个解一个名称:**基础解系** ### 阶梯形矩阵 对于任意一个方程,他的系数组成了一个矩阵,这个矩阵一定可以化为行阶梯形矩阵。例如下面方程 $$ \left\{\left.\begin{array}{r} x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\ 4 x_2+5 x_3=0 \\ x_3=0 \end{array} \right\rvert\, \Rightarrow x=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]\right. $$ 化为阶梯形矩阵后为 $$ \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$ **这里我们得到第一个结论:阶梯形矩阵的行数和为知数个数相等时,齐次线性方程组只有零解。** 再入: $$ \left\{\begin{array}{l} x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\ x_1+6 x_2+8 x_3=0 \\ x_1+10 x_2+13 x_3=0 \end{array}\right. $$ 把他的系数化为阶梯形矩阵 $$ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 6 & 8 \\ 1 & 10 & 13 \end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$ 如果根据阶梯形矩阵还原为方程为 $$ \left\{\begin{array}{r} x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\ 4 x_2+5 x_3=0 \\ 0=0 \end{array}\right. ...(1) $$ 仔细观察最后一个等式,恒成立,所以方程有无数多解。 **这里得到第二个结论:将系数矩阵化为阶梯矩阵,如果非 0 行数小于未知数个数,则齐次线性方程组存在非零解** 在上面(1)方程里,把$x_3$当做常数,进行解方程,可得: $$ x=\left[\begin{array}{c} -\frac{1}{2} x_3 \\ -\frac{5}{4} x_3 \\ x_3 \end{array}\right]=x_3\left[\begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ -\frac{5}{4} \\ 1 \end{array}\right] $$ 此处任意的 $x_3$ 都可以满足方程组 不含参数的纯数字向量组成齐次线性方程组的基础解系 基础解系可以以任意比例缩放,如令 $x_3=-4 k$ ,可得缩放后的基础解分 $$ x =k\left[\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ -4 \end{array}\right] $$ 再看下面的方程组 $$ \left\{\begin{array}{r} x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\ 2 x_1+4 x_2+6 x_3=0 \\ 3 x_1+6 x_2+9 x_3=0 \end{array}\right. $$ 系数矩阵化为阶梯形矩阵为 $$ \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$ 他还原方程组为 $$ \left\{\begin{array}{r} x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\ 0=0 \\ 0=0 \end{array}\right. $$ 这里需要把$x_2,x_3$看成常量,即用$x_2,x_3$ 表达$x_1$,即 $$ x=\left[\begin{array}{c} -2 x_2-3 x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} -2 \times x_2-3 \times x_3 \\ 1 \times x_2 + 0 \times x_3 \\ 0 \times x_2 + 1 \times x_3 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} -2 x_2 \\ x_2 \\ 0 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} -3 x_3 \\ 0 \\ x_3 \end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] $$ 在上面$x$的解按照向量进行了分解。 从上面可以得到如下结论: $x_1$ 必须使用 $x_2$ 和 $x_3$ 共同表示 给 $x_2$ 和 $x_3$ 正交赋值 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ ,它们和求出的 2个 $x_1$ 值共同构成了基础解系里的 2 个解向量,最终的通解是基础解系里所有向量的线性组合 上面的解可以表示为 $$ x=k_1\left[\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] $$ 其中,$k_1,k_2$为任意常数。 ### 方程的解与秩的关系 观察方程组① $$ \left\{\begin{array}{r} x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\ 4 x_2+5 x_3=0 \\ 0=0 \end{array}\right. $$ 他的解 $$ x=k\left[\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ -4 \end{array}\right] $$ 和方程组② $$ \left\{\begin{array}{r} x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\ 0=0 \\ 0=0 \end{array}\right. $$ 他的解为 $$ x=k_1\left[\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] $$ 从上面可以看到 设系数矩阵是 $A$ ,主变量个数等于阶梯矩阵中非 0 行数,记为 $r( A )$若末知数个数是 $n$ ,则自由变量的个数 $t=n-r( A )$,一般的:如果 $r(A)<n$ ,方程组存在非零解,此时找出主变量和自由变量,明确基础解系中向量的个数 $t=n-r( A )$ ,然后对自由变量正交赋值,自底向上地求出主变量的值,最终求出基础解系 ## 齐次线性方程组解基础解系求解套路 > 下面通过一个具体的例题介绍齐次线性方程组解的求解套路。只要一道题目会了,整个解法就会了,不过仍需大量练习。 **例1** 求齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{cr}x_1+x_2+x_3 -2 x_5=0 \\ 2 x_1+2 x_2+x_3+2 x_4-3 x_5=0 \\ x_1+x_2+3 x_3-4 x_4-4 x_5=0\end{array}\right.$ 的基础解系. 解: **第一步:写出系数矩阵。** $$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 3 & -4 & -4 \end{array}\right) $$ **第二步: 对系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 实施初等行变换,化为行最简形矩阵 $R$ :** [行最简形矩阵教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1860) $$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 3 & -4 & -4 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & -2 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=\boldsymbol{R}, $$ **第三步:写出自由未知量。** 由于 $R(\boldsymbol{A})=2<5$ ,所以该齐次线性方程组有非零解. $\boldsymbol{R}$ 对应的方程组为: $\quad\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+2 x_4-x_5=0, \\ x_3-2 x_4-x_5=0 .\end{array}\right.$ 行最简形矩阵 $\boldsymbol{R}$ 的首元在第 1 列和第 3 列,所以自由未知量为 $x_2, x_4, x_5$. 将自由末知量移至等号右端,有 $\left\{\begin{array}{l}x_1=-x_2-2 x_4+x_5, \\ x_3=2 x_4+x_5 .\end{array}\right. ...(2)$ **第四步:分别取自由未知量为(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)** 即 分别取 $\left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \quad$ 代入(2)方程,具体的为: ① 取 $\eta_1= \left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right) =\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) $ 时, $ \left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}-1 \\ 0\end{array}\right) $ ② 取 $\eta_2=\left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}0\\ 1 \\ 0\end{array}\right) $ 时, $ \left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} -2 \\ 2\end{array}\right) $ ③ 取 $\eta_3=\left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right) $ 时 ,$ \left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1\end{array}\right) $ **第五步 把$\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 合并,从而基础解系为:** $$ \begin{aligned} &\xi_1=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \quad \xi_2=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad \xi_3=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \end{aligned} $$ **第六步 写出通解方程** 原方程组的通解为 $$ \boldsymbol{x}=k_1 \xi_1 +k_2 \xi_2+k_3 \xi_3 . $$ 带入即可最终结果为: $$ \boldsymbol{x}=k_1 \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) +k_2 \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) +k_3 \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) . $$ **以上就是求解基础解系固定的套路**。会这个套路,就能作对,记不住这个套路,就无法做。 `例` 求解齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{r} x_1+2 x_2+x_3+x_4+x_5=0 \\ 2 x_1+4 x_2+3 x_3+x_4+x_5=0 \\ -x_1-2 x_2+x_3+3 x_4-3 x_5=0 \\ 2 x_3+5 x_4-2 x_5=0 \end{array}\right. $$ 解 对系数矩阵 $A$ 进行初等行变换 $$ \begin{aligned} & A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & 5 & -2 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 5 & -2 \end{array}\right) \rightarrow \\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{llllc} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=U . \end{aligned} $$ 得到同解方程组的系数矩阵为 $U$ . $$ r(A)=r(U)=3, n=5, n-r(A)=2 $$ 故有两个自由未知量,选主元所在的列的未知量为独立未知量,即 $x_1, x_3, x_4$为独立未知量,则 $x_2, x_5$ 为自由未知量,得到同解方程组 $$ \left\{\begin{aligned} x_1+x_3+x_4 & =-2 x_2-x_5 \\ x_3-x_4 & =0 x_2+x_5 \\ x_4 & =0 \end{aligned}\right. $$ 取 $x_2=1, x_5=0$ 和 $x_2=0, x_5=1$ 得基础解系 $$ x_1=(-2,1,0,0,0)^{T}, x_2=(-2,0,1,0,1)^{T} $$ 于是 $A x =0$ 的一般解为 $$ x=k_1 x_1+k_2 x_2 $$ 即 $x =\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right)=k_1\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\left(k_1, k_2\right.$ 为任意常数 $)$.
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