最后更新: 2025-08-05 10:59 查看: 626 次反馈同步训练

齐次线性方程组解的结构(基础解系)

### 引子

我们知道 $y=ax+b$ 表示平面上一条直线， $z=a_1 x +a_2 y$  表示空间里的一个平面，由此推广

①1 个四元线性方程 $a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1$, 表示四维空间里的一个三维空间体;

------

②2 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2\end{array}\right.$, 表示四维空间里的一个二维平面;

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③3 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2 \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3+a_{34} x_4=b_3\end{array}\right.$, 表示四维空间里的一个一维直线;

------

④4 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2 \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3+a_{34} x_4=b_3 \\ a_{41} x_1+a_{42} x_2+a_{43} x_3+a_{44} x_4=b_4\end{array}\right.$ 表示四维空间里的一个零维点。

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可以看出, 方程组解的几何图形的维数和方程组里方程的个数有关系。解的维数加上方程数等于空间的维数 (事实上, 方程组的个数就是系数矩阵的秩)。

## 齐次方程组的解
齐次方程组一定有零解，所以，他要么有唯一的零解，要么有无穷多解。

① **唯一的零解**
从本质上来说，方程组有唯一零件是两个直线斜率不一样，且直线仅在原点相交,对于零解，我们通常不感兴趣，我们更感兴趣的是无穷解。
$$
\begin{aligned}
&\left\{\begin{array} { r } 
{ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 0 } \\
{ 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 0 }
\end{array} \longrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x_1=0 \\
x_2=0
\end{array}\right.\right. 
\end{aligned}
$$

② **无穷多解**
从本质上来说，方程组有无穷多解是两个直线重合。
$$
\left\{

\begin{array} { r } 
{ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 0 } \\
{ 2 x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } = 0 }
\end{array} \longrightarrow

\left\{\begin{array} { l } 
{ x _ { 1 } = 0 } \\
{ x _ { 2 } = 0 }
\end{array}\right. 
...
\left\{\begin{array}{l}
x_1=1 \\
x_2=-1
\end{array}\right.

\right.
$$

> 对于有无穷多解，重点是如何写出他的基础解系。

比如对于上面的方程，可以写成
$$
\begin{aligned}
\left\{\begin{array}{r}
x_1+x_2=0 \\
2 x_1+2 x_2=0
\end{array}\right. & 
\end{aligned}

\longrightarrow

\begin{aligned}
& x_1=k \\
& x_2=-k
\end{aligned} 
$$
更进一步的，上面方程的解可以写成向量形式是：
$$
x=\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2
\end{array}\right]=k\left[\begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array}\right]
$$
此时，虽然这个方程有无穷多解，但是使用上面这个表达式可以表示出这个方程所有的解，我们给这个解一个名称：**基础解系**

## 齐次线性方程组解基础解系求解套路

> 下面通过一个具体的例题介绍齐次线性方程组解的求解套路。只要一道题目会了，整个解法就会了，不过仍需大量练习，科数题库提供了海量试题供你训练，点击查看 [基础解系训练](https://kmath.cn/m/papername.aspx?paperid=1477)

`例` 求齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{cr}x_1+x_2+x_3  -2 x_5=0 \\ 2 x_1+2 x_2+x_3+2 x_4-3 x_5=0 \\ x_1+x_2+3 x_3-4 x_4-4 x_5=0\end{array}\right.$ 的基础解系.

解：
**第一步：写出系数矩阵。**
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\
2 & 2 & 1 & 2 & -3 \\
1 & 1 & 3 & -4 & -4
\end{array}\right)
$$

**第二步： 对系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 实施初等行变换，化为行最简形矩阵 $R$ :** [行最简形矩阵教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1860)

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\
2 & 2 & 1 & 2 & -3 \\
1 & 1 & 3 & -4 & -4
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 & -4 & -2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)=\boldsymbol{R},
$$

**第三步：写出自由未知量。**

由于 $R(\boldsymbol{A})=2<5$ ，所以该齐次线性方程组有非零解.
$\boldsymbol{R}$ 对应的方程组为: $\quad\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+2 x_4-x_5=0, \\ x_3-2 x_4-x_5=0 .\end{array}\right.$
行最简形矩阵 $\boldsymbol{R}$ 的首元在第 1 列和第 3 列，所以使用$x_1,x_3$作为未知量，而自由未知量为 $x_2, x_4, x_5$.
并将自由末知量移至等号右端，有

$\left\{\begin{array}{l}x_1=-x_2-2 x_4+x_5, \\ x_3=2 x_4+x_5 .\end{array}\right. ...(2)$

**第四步：分别取自由未知量$(x_2,x_4,x_5)$ 的值 (1,0,0) (0,1,0) （0,0,1)** 即

分别取 $\left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \quad$

代入(2)方程，具体的为：

① 取 $\eta_1= \left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right) =\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) $ 时, $ \left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}-1 \\ 0\end{array}\right) $

② 取 $\eta_2=\left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}0\\ 1 \\ 0\end{array}\right) $ 时, $ \left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} -2 \\ 2\end{array}\right) $

③ 取 $\eta_3=\left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_4 \\ x_5\end{array}\right)  = \left(\begin{array}{l}0\\ 0 \\ 1\end{array}\right) $ 时 ，$ \left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1\end{array}\right) $

**第五步 把$\eta_1，\eta_2，\eta_3$ 合并，从而基础解系为:**
$$
\begin{aligned}
&\xi_1=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \quad \xi_2=\left(\begin{array}{c}
-2 \\
0 \\
2 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \quad \xi_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

**第六步 写出通解方程**
原方程组的通解为

$$
\boldsymbol{x}=k_1 \xi_1 +k_2 \xi_2+k_3 \xi_3 .
$$
带入即可最终结果为：

$$
\boldsymbol{x}=k_1 \left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right) +k_2 \left(\begin{array}{c}
-2 \\
0 \\
2 \\
1 \\
0
\end{array}\right) +k_3 \left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right) .
$$

**以上就是求解基础解系固定的常用套路**，只要这个套路学会了，再碰到方程组的解的问题，应该就很容易解决了。

> 从上

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