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线性代数
第三篇 向量空间与线性方程组解
齐次线性方程组解的结构
日期:
2023-11-07 09:28
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齐次线性方程组解的结构
## 引子 在初中，我们知道 $y=ax+b$ 表示平面上一条直线， 在高中，$z=a_1 x +a_2 y$ 表示空间里的一个平面，由此推广 ①1 个四元线性方程 $a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1$, 表示四维空间里的一个三维空间体; ②2 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2\end{array}\right.$, 表示四维空间里的一个二维平面; ③3 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2 \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3+a_{34} x_4=b_3\end{array}\right.$, 表示四维空间里的一个一维直线; ④4 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2 \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3+a_{34} x_4=b_3 \\ a_{41} x_1+a_{42} x_2+a_{43} x_3+a_{44} x_4=b_4\end{array}\right.$ 表示四维空间里的一个零维点。 可以看出, 方程组解的几何图形的维数和方程组里方程的个数有关系。解的维数加上方程数等于空间的维数 (事实上, 方程组的个数就是系数矩阵的秩)。 ## 其次线性方程的解的空间 齐次线性方程组解的几何意义就是: $n$ 元线性齐次方程组的秩是 $r$ 时，它的一切解向量的集合是 $\mathbf{R}^n$ 上的一个 $n-r$ 维的子空间。 另外, 我们也常听说, 齐次线性方程组的这个 $n-r$ 维的解空间正交于系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行向量,还听说, 解空间和行空间是一对正交补。结合上节的分析, 这个已不难理解了。但如果要朴素地理解的话咱就再分析下。 以三元齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 作为例子, 把系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的元素改写成行向量后, 方程组的形式为 $$ \left(\begin{array}{l} a_1^{\prime} \\ a_2^{\prime} \\ a_2^{\prime} \end{array}\right) x=0 $$ 那么方程组的任意解向量 $\boldsymbol{x}$ 都与每个行向量 $\boldsymbol{a}_i{ }_i$ 正交。进一步说, 在三维欧氏空间里 $\mathbf{R}^3$, 只要与每个行向量都正交的向量都是解向量。 $V_3$ 和 $\mathbf{R}^3$ 同构一-一两空间重合了, 那么 $\mathbf{R}^3$ 里能与 $V_3$ 正交的向量只有 $\mathbf{0}$ 向量, 也就是解向量只有 0 向量。0 向量张成的解空间只能称为零维空间了。因此, 立体的行空间 $V_3$ 和零解空间 $O$ 是正交补。 补充下, 正交补的意思是: $n$ 维空间里的两个子空间正交, 且两个子空间原点重合起来刚好能张成 $n$ 维空间, 互为补充, 则这两个子空间互为正交补。好, 继续讨论。 如果三个行向量 $\boldsymbol{a}_i{ }_i$ 里只有两个线性无关, 则这些行向量会张成一个二维子空间 $V_2$, 这是一个平面 (见图 6-4 (b)), 那么 $\mathbf{R}^3$ 里面与平面 $V_2$ 正交的向量很多, 它们张成一个直线, 也就是解向量空间是一根过原点的直线, 解空间是一维空间了。因此, 平面的行空间 $V_2$ 和直线解空间是正交补  如果三个行向量 $\boldsymbol{a}_i{ }_i$ 里两两都线性相关, 则这些行向量会张成一个一维子空间 $V_1$, 这是一个直线 (见图 6-5 (a)), 那么 $\mathbf{R}^3$ 里面与一直线 $V_1$ 正交的向量是啥? 显然是一个平面, 也就是解向量空间是一个过原点的平面, 解空间是二维空间了。因此, 直线的行空间 $V_1$ 和平面的解空间是正交补。 如果, 呃, 如果三个行向量 $\boldsymbol{a}_i^{\prime}$ 等于 $\mathbf{0}$, 系数矩阵是 $\mathbf{0}$ (呢, 方程组不存在啊, 不用讨论了吧), 与原点正交的向量就是整个三维空间了 (见图 6-5 (b))。形式上也满足原点的行空间和立体的解空间是正交补。  ## 解的结构 如果 $x_1=k_1, x_2=k_2, \cdots, x_n=k_n$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解， 则向量 $$ \quad \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{array}\right) $$ 称为方程组 $A x=0$ 的解向量，也称为 $A x=0$ 的解. 记方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解向量的全体所成的集合为 $S$ ， 即 $$ S=\{\xi \mid \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}\}, $$ 我们来讨论方程组 $A x=0$ 的解向量的性质，以及向量组 $S$ 的秩和极大无关组.  若 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_t$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解，则对于任意一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_t$ ， 线性组合 $\quad k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_t \boldsymbol{\alpha}_t (*)$ 仍为 $A \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解. 因此，在 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解的情况下，如果向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_1$ 是解集 $S$ 的极大无关组， 则表达式 $(*)$ 称为方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解. 齐次线性方程组的解集 $S$ 的极大无关组称为齐次线性方程组的基础解系.  将矩阵 $R$ 的非零行的首元对应的末知量看成固定末知量，留在等号的左端，其余的末知量看 成自由末知量，放在等号右端，   则 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 一定会满足方程组 $\left({ }^{* *}\right)$ ， 即:  于是  即任一解向量 $\eta$ 均可由 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 线性表示 $\eta=k_{r+1} \xi_1+k_{r+2} \xi_2+\cdots+k_n \xi_{n-r}$. 所以向量组 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 就是 $n$ 元齐次线性方程组 $A \boldsymbol{x}=0$ 的基础解系.  
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线性方程组解结构的几何意义
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