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线性代数
第三篇 向量空间与线性方程组解
线性方程组解结构的几何意义
日期:
2024-01-12 15:56
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线性方程组解结构的几何意义
6.5 线性方程组解结构的几何意义 我们在前面看到, 方程组没有解、有唯一解和有无穷多解的几何解释中, 分别对应着多个超平面是否有唯一交点、交线或交面的情形。有解时的唯一交点当然是一个具体的向量; 交线、交平面就是有无穷多的向量集合。用已知向量表示出来的交线或交平面的代数式就是方程组的解, 代数式的构成形式就是方程组的解结构。 好, 下面我们抄录经典的线性方程组解系通常的描述出来, 便于讨论。 设有线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \vdots \quad \vdots \quad \vdots \quad \vdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m \end{array}\right. $$ 如果此方程组有解, 则系数矩阵的秩 $r<n$, 其通解或全部解为 $$ \boldsymbol{Z}=\boldsymbol{\eta}^*+c_1 \boldsymbol{\xi}_1+c_2 \boldsymbol{\xi}_2+\cdots+c_{n-r} \boldsymbol{\xi}_{n-r} \quad\left(c_1, c_2, \cdots, c_{n-r} \text { 为任意实数 }\right) $$ 其中: $\boldsymbol{\eta}^*$ 是方程组的特解向量; $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \ldots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 是方程组中令 $b_i(i=1,2,3, \cdots, m)$ 为零而得到的齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=0 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=0 \\ \vdots \vdots \vdots \quad \vdots \quad \vdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=0 \end{array}\right. $$ 的基础解系。 其实式(6-3)就给出了解系的代数及几何结构, 下面咱的任务是理解它。 6.5. 1 线性方程组解的代数形式 再强调一下, 一个方程或方程组表示的几何图形其实就是这个方程或方程组的解的几何图形。那么对于四元线性方程或方程组, 我们将会看到它们的解的图形有一个规律（假设每个方程组没有 “多余” 的方程): 1 个四元线性方程 $a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1$, 表示四维空间里的一个三维 “空间” 体; 2 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2\end{array}\right.$ ，表示四维空间里的一个二维平面; 3 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2 \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3+a_{34} x_4=b_3\end{array}\right.$, 表示四维空间里的一个一维直线; 4 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2 \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3+a_{34} x_4=b_3 \\ a_{41} x_1+a_{42} x_2+a_{43} x_3+a_4 x_4=b_4\end{array}\right.$ 表四维空间里的一个零维点。 可以看出, 方程组解的几何图形的维数和方程组里方程的个数有关系。解的维数加上方程个数等于空间的维数 (将会明白, 方程组的个数就是系数矩阵的秩)。 这个结论也可以从上面方程组解的函数式看出来: 1 个四元线性方程 $a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1$ 改写为函数式 $x_1=\frac{-a_{12}}{a_{11}} x_2+\frac{-a_{13}}{a_{11}} x_3+\frac{-a_{14}}{a_{11}} x_4+\frac{b_1}{a_{11}}$,那么这个四维空间里的三维“空间”体是以 $x_2 、 x_3 、 x_4$ 为自变量的坐标轴所张成的空间体， $x_2 、 x_3 、 x_4$可以取任意值, 但 $x_1$ 是因变量, 不能任意取值, 因而有 3 个自由度, 所以是三维空间体。 如果要用向量的形式表示解, 就要把 $x_1$ 的因变量扩充为四维向量 (四维空间里当然是四维向量), 把恒等式编入方程组: 方程组形式改写为向量形式: $$ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \frac{-a_{12}}{a_{11}} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) x_2+\left(\begin{array}{c} \frac{-a_{13}}{a_{11}} \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) x_3+\left(\begin{array}{c} \frac{-a_{14}}{a_{11}} \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) x_4+\left(\begin{array}{c} \frac{b_1}{a_{11}} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) $$ 从上式可以知道, 解的三维空间体是由四个向量的线性组合而成的。 $x_2 、 x_3 、 x_4$ 可以取任意值, 任意常数一般写做 $k_i$, 为了与坐标区别, 常把式 (6-6) 改写为 $$ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \frac{-a_{12}}{a_{11}} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) k_1+\left(\begin{array}{c} \frac{-a_{13}}{a_{11}} \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) k_2+\left(\begin{array}{c} \frac{-a_{14}}{a_{11}} \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) k_3+\left(\begin{array}{c} \frac{b_1}{a_{11}} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) $$ 因为加了一个常向量, 但这个空间体不过原点, 故不是线性空间。 2 个四元线性方程所组成的方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2\end{array}\right.$ 通过行变换消元法改写为函数式 $\left\{\begin{array}{l}x_1=a_{13}^{\prime} x_3+a_{14}^{\prime} x_4+b_1^{\prime} \\ x_2=a_{23}^{\prime} x_3+a_{24}^{\prime} x_4+b_2^{\prime}\end{array}\right.$, 那么这个四维空间里的二维平面是由 $x_3 、 x_4$ 为自变量的坐标轴所张成的平面。进一步写成向量的形式为 $\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}a_{13}^{\prime} \\ a_{23}^{\prime}\end{array}\right) x_3+\left(\begin{array}{l}a_{14}^{\prime} \\ a_{24}^{\prime}\end{array}\right) x_4+\left(\begin{array}{l}b_1^{\prime} \\ b_2^{\prime}\end{array}\right)$, 那么这个四维空间里的二维向量平面是由向量 $\left(\begin{array}{l}a_{13}^{\prime} \\ a_{23}^{\prime}\end{array}\right) 、\left(\begin{array}{l}a^{\prime}{ }_{14} \\ a_{24}^{\prime}\end{array}\right) 、\left(\begin{array}{l}b^{\prime}{ }_1^{\prime} \\ b_2^{\prime}\end{array}\right)$ 的线性组合而成的。 同样地, 在四维空间里讨论向量, 当然要把因变向量 $\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2\end{array}\right)$ 扩充为四维向量, 类似如式 (6-5)要把恒等式编入方程组, 并把 $x_3 、 x_4$ 改为 $k_1 、 k_2$, 得到 $$ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{13}^{\prime} \\ a_{23}^{\prime} \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) k_1+\left(\begin{array}{c} a_{14}^{\prime} \\ a_{24}^{\prime} \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) k_2+\left(\begin{array}{c} b_1^{\prime} \\ b_2^{\prime} \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) $$ 3 个四元线性方程所组成的方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{11} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2 \text { 通过行变换消元法改写 } \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3+a_{34} x_4=b_3\end{array}\right.$为函数式 $\left\{\begin{array}{l}x_1=a_{14}^{\prime} x_4+b_1^{\prime} \\ x_2=a^{\prime}{ }_1 x_4+b^{\prime}{ }_2, \\ x_3=a_{34}{ }_{34} x_4+b_3{ }_3\end{array}\right.$ 那么这个四维空间里的一维直线是由 $x_4$ 为自变量.所张成的图形。进一步写成向量的形式为 $\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}a_{14}^{\prime} \\ a^{\prime}{ }_{24} \\ a_{34}^{\prime}\end{array}\right) x_4+\left(\begin{array}{l}b_1^{\prime}{ }_1 \\ b^{\prime}{ }_2 \\ b_3^{\prime}\end{array}\right)$, 那么这个四维空间里的二维向量平面是由向量 $\left(\begin{array}{l}a^{\prime}{ }_{14} \\ a^{\prime}{ }_{24} \\ a_{34}^{\prime}\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}b^{\prime}{ }_1{ }^{\prime} \\ b^{\prime}{ }_2 \\ b^{\prime}{ }_3\end{array}\right)$ 的线性组合而成的, 表示四维空间里的一个一维直线。把因变向量 $\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)$ 扩充为四维向量, 得到 $$ \left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{14}^{\prime} \\ a_{24}^{\prime} \\ a_{34}^{\prime 2} \\ 1^{\prime} \end{array}\right) k+\left(\begin{array}{c} b_1^{\prime} \\ b_2^{\prime} \\ b_3^{\prime} \\ 0 \end{array}\right) $$ 4 个四元线性方程所组成的方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2 \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3+a_{34} x_4=b_3 \\ a_{41} x_1+a_{42} x_2+a_{43} x_3+a_{44} x_4=b_4\end{array}\right.$ $$ \left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} b_1^{\prime} \\ b_1^{\prime} \\ b_3^{\prime} \\ b_4^{\prime} \end{array}\right) $$ 到了这里, 方程组的解的代数形式就清楚了。 总结下, 如果 $n$ 阶方程组的秩为 $r$, 那么其解的一般结构或解系就是 $n-r+1$ 个向量的线性组合, 即 $$ k_1\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right)+\cdots+k_{n-r}\left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_n \end{array}\right) \quad\left(k_i \text { 为实变量 }\right) $$ 把线性方程组解的代数形式一一向量的线性组合用图形绘制出来就是解结构的几何意义。其实式 (6-7) 由两部分组成, 第一部分是 $n-r$ 个变向量的线性组合部分, 第二部分是特解常向量 $\boldsymbol{d}$, 即 $\left(d_1, d_2, \ldots, d_n\right)^{\mathrm{T}}$ 。 第一部分是齐次线性方程组的解, 其解显然构成了一个线性空间 (见 4.2 .1 节), 因此称为齐次线性方程组的解空间。非齐次方程组的解是齐次线性方程组解空间的平移一一加上一个常向量, 因为平移后不再过原点了, 所以不能称之为解空间, 只好称之为解结构或解系了。 6.5.2 齐次线性方程组的解空间 齐次线性方程组解的几何意义就是: $n$ 元线性齐次方程组的秩是 $r$ 时，它的一切解向量的集合是 $\mathbf{R}^n$ 上的一个 $n-r$ 维的子空间。 另外, 我们也常听说, 齐次线性方程组的这个 $n-r$ 维的解空间正交于系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行向量,还听说, 解空间和行空间是一对正交补。结合上节的分析, 这个已不难理解了。但如果要朴素地理解的话咱就再分析下。 以三元齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 作为例子, 把系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的元素改写成行向量后, 方程组的形式为 $$ \left(\begin{array}{l} a_1^{\prime} \\ a_2^{\prime} \\ a^{\prime}{ }_3 \end{array}\right) x=0 $$ 那么方程组的任意解向量 $\boldsymbol{x}$ 都与每个行向量 $\boldsymbol{a}_i{ }_i$ 正交。进一步说, 在三维欧氏空间里 $\mathbf{R}^3$, 只要与每个行向量都正交的向量都是解向量。 如果三个行向量 $\boldsymbol{a}_i{ }^{\prime}$ 都线性无关, 那么这些行向量会张成一个三维子空间 $V_3$ (见图 6-4(a)), $V_3$ 和 $\mathbf{R}^3$ 同构一一一两空间重合了, 那么 $\mathbf{R}^3$ 里能与 $V_3$ 正交的向量只有 $\mathbf{0}$ 向量, 也就是解向量只有 0 向量。0 向量张成的解空间只能称为零维空间了。因此, 立体的行空间 $V_3$ 和零解空间 $O$ 是正交补。 补充下, 正交补的意思是: $n$ 维空间里的两个子空间正交, 且两个子空间原点重合起来刚好能张成 $n$ 维空间, 互为补充, 则这两个子空间互为正交补。好, 继续讨论。 如果三个行向量 $\boldsymbol{a}^{\prime}$ 里只有两个线性无关, 则这些行向量会张成一个二维子空间 $V_2$, 这是 一个平面 (见图 6-4 (b)), 那么 $\mathbf{R}^3$ 里面与平面 $V_2$ 正交的向量很多, 它们张成一个直线, 也就是解向量空间是一根过原点的直线, 解空间是一维空间了。因此, 平面的行空间 $V_2$ 和直线解空间是正交补。  如果三个行向量 $\boldsymbol{a}_i{ }_i$ 里两两都线性相关, 则这些行向量会张成一个一维子空间 $V_1$, 这是一个直线（见图 6-5 (a)), 那么 $\mathbf{R}^3$ 里面与一直线 $V_1$ 正交的向量是啥? 显然是一个平面, 也就是解向量空间是一个过原点的平面, 解空间是二维空间了。因此, 直线的行空间 $V_1$ 和平面的解空间是正交补。 如果, 呃, 如果三个行向量 $\boldsymbol{a}_i^{\prime}$ 等于 $\mathbf{0}$, 系数矩阵是 $\mathbf{0}$ (洈, 方程组不存在啊, 不用讨论了吧), 与原点正交的向量就是整个三维空间了 (见图 6-5 (b))。形式上也满足原点的行空间和例题的解空间是正交补  6.5.3 非齐次线性方程组的解结构 根据式 (6-7), 非齐次方程组解的几何图形是齐次方程组解空间与一个特定常向量 $\boldsymbol{d}$ 的和,这实际上就是把齐次方程组解空间的几何图形沿着特定向量方向平移了一个距离, 这个距离等于常向量 $\boldsymbol{d}$ 的长度。 其实在变向量一节 (见 2.8 节) 中, 我们已经用向量的形式表示出来了空间中一个过原点的线、面和不过原点的线和面的图形, 如图 6-6 所示。  图中图形是不过原点的直线 $x_2=a x_1+b$ 和过原点的直线 $x_2=a x_1$, 用变向量来表示这对平行线分别就是 $\left(x_1, a x_1+b\right)$ 和 $\left(x_1, a x_1\right)$ 。不过原点的直线可以用过原点的直线和一个常向量的和表示: $$ \left(x_1, a x_1+b\right)=\left(x_1, a x_1\right)+(0, b) $$ 上述的变向量表述为行向量的合并形式, 大家可能看得有点陌生。OK, 用大家常见的列向量形式改写这对平行线, 分别就是 $x_1\left(\begin{array}{l}1 \\ a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}0 \\ b\end{array}\right)$ 和 $x_1\left(\begin{array}{l}1 \\ a\end{array}\right)$ 。这里, 不过原点的直线是过原点的直线和一个常向量的和的关系一目了然 (见图 6-7)。  好。这样咱就可以用图形表示非齐次线性方程组解的几何图形了。 比如上节中三元齐次线性方程组的例子里, 如果解空间是一个直线或者平面, 那么同一个系数矩阵的非齐次线性方程组的解系就是把这根直线或平面平移一个特解向量的距离 (见图 $6-8)$ 。  所以, 齐次方程组和对应的非齐次方程组的解析几何图形是平行的, 或者说齐次方程组的解的几何图形和对应的非齐次方程组的解的几何图形是平行的。具体来说, 齐次方程组的所谓基础解系 $c_1 \xi_1+c_2 \xi_2+\cdots+c_{n-r} \xi_{n-r}$ 的几何图形和非齐次方程组的通解 $\boldsymbol{\eta}+c_1 \xi_1+c_2 \xi_2+\cdots+c_{n-r} \boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 的几何图形是平行的, 基础解系是过原点的超平面, 通解是不过原点 (移开原点) 的平行平面。 值得注意的是, 齐次解的向量图形只要加上任意一个顶点在非齐次图形上的常向量, 就可以得到所有的非齐次解向量, 非齐次解向量的顶点构成了非齐次解的几何图形。 还有一个值得注意的是, 虽然非齐次解向量图形与行向量空间不再正交, 但是非齐次解的几何图形仍然与行空间的几何图形保持垂直的解析性质 (见图 6-8)。 6.5.4 非齐次线性方程组的例解 例 6.1 解下列线性方程组, 并说明其通解的几何意义: $$ \left\{\begin{array}{l} x_1-x_2-x_3=-1 \\ x_1+x_2+3 x_3=3 \\ 3 x_1-x_2+x_3=1 \end{array}\right. $$ 解 对方程组的增广矩阵 $\boldsymbol{B}$ 作初等变换: $$ \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & 3 \\ 3 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$ 因为 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})=2$, 所以方程组有解。由此得同解方程组 $$ \left\{\begin{aligned} x_1+x_3 & =1 \\ x_2+2 x_3 & =2 \end{aligned}\right. $$ 把上式变量 $x_3$ 列右移, 并补齐恒等式 $x_3=x_3$, 得到 $$ \left\{\begin{aligned} x_1 & =-x_3+1 \\ x_2 & =-2 x_3+2 \\ x_3 & =x_3 \end{aligned}\right. $$ 将其改写为向量的形式: $$ \left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=x_3\left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) $$ 令式 (6-8) 中的自由未知量 $x_3=0$, 得到方程组的一个特解: $$ \boldsymbol{\eta}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) $$ 令式 (6-8) 中的常向量项为 $\mathbf{0}$, 并取 $x_3=1$, 便可解得与原方程组对应的齐次线性方程组的基础解系: $\xi=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right)$ 。因此所给的方程组的通解或全部解为 $$ \boldsymbol{Z}=C \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}=C\left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) $$ ( $C$ 为任意实数) 如图 6-9 (a) 所示, 过向量 $\boldsymbol{\xi}$ 作直线 $L$, 则以原点为起点、以 $L$ 上任意一点为终点的向量 $C \xi$ 都是基础解，它们全体构成的直线 $L$ 就是所给方程组的基础解空间。  如图 6-9 (b) 所示, 过特解向量 $\boldsymbol{\eta}$ 的终点作平行于直线 $C \xi$ 的直线 $C \xi+\eta$, 则以原点为起点, 以直线上任意点为终点的向量 $C \xi+\eta$, 都是方程组的解, 它们全体构成了方程组的解系。当通解中的 $C$ 取遍所有实数时, 可以得到解系中的任意解向量。 例 6.2 解下列方程组, 并说明其通解的几何意义: $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x_1+x_2-4 x_3=4 \\ -x_1-0.5 x_2+2 x_3=-2 \end{array}\right. $$ 解 对方程组的增广矩阵 $\boldsymbol{B}$ 作初等变换: $$ \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc} 2 & 1 & -4 & 4 \\ -1 & -0.5 & 2 & -2 \end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{cccc} 2 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0.5 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$ 因为 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})=1$, 所以方程有解。由此得同解方程组 $$ x_1+0.5 x_2-2 x_3=2 $$ 把上式 $x_2 、 x_3$ 变量右移, 并补齐缺省的恒等式 $x_2=x_2, x_3=x_3$, 有同解方程组: $$ \left\{\begin{array}{l} x_1=-0.5 x_2+2 x_3+2 \\ x_2=x_2 \\ x_3=\quad x_3 \end{array}\right. $$ 将其写成向量的形式: $$ \left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=x_2\left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) $$ 把上式中的 $x_2 、 x_3$ 改写成 $C_1 、 C_2$ 的形式, 得到方程组的通解或全部解为 $$ \boldsymbol{Z}=C_1 \xi_1+C_2 \xi_2+\boldsymbol{\eta}=C_1\left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+C_2\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \quad\left(c_1, c_2 \text { 为任意实数 }\right) $$ 如图 6-10 (a) 所示, 过向量 $\xi_1 、 \xi_2$ 作平面 $\Pi_1$, 则以原点为起点、以 $\Pi_1$ 上任意点为终点的向量 $C_1 \xi_1+C_2 \xi_2$ 均为基础解, 它们全体构成的平面 $\Pi_1$ 即为所给方程组的基础解空间。  如图 6-10 (b) 所示, 过特解向量 $\boldsymbol{\eta}$ 的终点作与 $\Pi_1$ 平行的平面 $\Pi_2$, 则以原点为起点, 以平面 $\Pi_2$ 上任意点为终点的向量 $C_1 \xi_1+C_2 \xi_2+\boldsymbol{\eta}$ 都是原方程组的解向量, 它们全体构成了方程组的通解解系。当通解中的 $C_1 、 C_2$ 取遍所有实数时, 可以得到所有解向量。
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