最后更新: 2025-01-31 17:53 查看: 237 次反馈刷题

带电粒子在匀强磁场中的运动

## 带电粒子在匀强磁场中的运动

要分析上述问题中带电粒子的运动, 就需要分析粒子的受力情况。我们知道, 带电粒子在磁场中运动要受到洛伦兹力的作用。由于带电粒子初速度的方向和洛伦兹力的方向都在与磁场方向垂直的平面内, 所以粒子在这个平面内运动。

洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直, 只改变粒子速度的方向, 不改变粒子速度的大小。由于粒子速度的大小不变, 粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力的大小也不改变,洛伦兹力对粒子起到了向心力的作用。所以, 沿着与磁场垂直的方向射人磁场的带电粒子, 在匀强磁场中做匀速圆周运动 (图 1.3-1)。
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## 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期

求出向心力, 列出方程来就不难得到几个物理量之间的关系式。然后就可以分别判断粒子的速度和磁场的强弱对圆半径的影响。

假设一个电荷量为 $q$ 的粒子, 在磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场中以速度 $v$ 运动, 那么带电粒子所受的洛伦兹力为

$$
F=q v B
$$

洛伦兹力提供向心力

$$
q v B=m \frac{v^2}{r}
$$

由此可解得圆周运动的半径

$$
r=\frac{m v}{q B}
$$

从这个结果可以看出, 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成正比, 与电荷量、磁感应强度成反比。
我们还可以根据圆周运动的知识分析带电粒子做匀速圆周运动的周期。匀速圆周运动的周期 $T=\frac{2 \pi r}{v}$, 将 $r=\frac{m v}{q B}$ 代人, 可得

$$
T=\frac{2 \pi m}{q B}
$$

由此可见，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速度无关。这是一个很重要的结论,

## 本章梳理
1.在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动。
2.带电粒子以速度 $v$ 垂直磁场方向射入磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动。
(1) 洛伦兹力提供向心力: $q v B=\frac{m v^2}{r}$.
(2)轨迹半径: $r=mv/qB$.

(3)周期: $T=\frac{2 \pi r}{v}=\frac{2 \pi m}{q B}$ ，可知 $T$ 与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度 有关.
(4)运动时间: 当带电粒子转过的圆心角为 $\theta$ (弧度)时，所用时间 $t= {\frac{\theta}{2 \pi} T}$.
(5)动能: $E_{ k }=\frac{1}{2} m v^2=\frac{p^2}{2 m}=\frac{(B q r)^2}{2 m}$.
3. 当带电粒子的速度 $v$ 与 $B$ 的夹角为锐角时，带电粒子的运动轨迹为螺旋线.

`例`质量为m的带电微粒a仅在洛伦兹力作用下做半径为r的匀速圆周运动.现在a经过的轨迹上放置不带电的微粒b，则a与b发生完全非弹性碰撞融为一个整体.不计重力和电荷量的损失，则该整体在磁场中做圆周运动的半径将
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A.变大  			
B.变小
C.不变  			
D.条件不足，无法判断

解：碰撞后, 由洛伦兹力提供向心力, 有 $q v_0 B=m \frac{v_0^2}{r}$, 可得 $r=\frac{m v_0}{q B}$, 又 $p$ $=m v_0$, 碰撞过程中动量守恒, $p$ 不变, 电荷量不变, 则半径不变, 故 C 正确, A、B、D 错误.

`例`在探究射线性质的过程中，让质量为m1、带电荷量为2e的α粒子和质量为m2、带电荷量为e的β粒子，分别垂直于磁场方向射入同一匀强磁场中，发现两种粒子沿半径相同的圆轨道运动.则α粒子与β粒子的动能之比为
A.$ \frac{m_1}{m_2}$
B. $\frac{m_2}{m_1}$
C. $\frac{m_1}{4 m_2}$
D. $\frac{4 m_2}{m_1}$
解：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动, 洛伦兹力提供向心力, 有 $q v B$ $=m \frac{v^2}{r}$, 动能为 $E_{ k }=\frac{1}{2} m v^2$, 联立可得 $E_{ k }=\frac{q^2 B^2 r^2}{2 m}$, 由题意知 $\alpha$ 粒子和 $\beta$粒子所带电荷量之比为 $2: 1$, 故 $\alpha$ 粒子和 $\beta$ 粒子的动能之比为 $\frac{E_{ k \alpha}}{E_{ k \beta}}=$ $\frac{4 m_2}{m_1}$ ，故 D 正确。

`例`如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为 B/2和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限.粒子在磁场中运动的时间为
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 A. $\frac{5 \pi m}{6 q B}$
B. $\frac{7 \pi m}{6 q B}$
C. $\frac{11 \pi m}{6 q B}$
D. $\frac{13 \pi m}{6 q B}$

解：设带电粒子进入第二象限的速度为 $v$ ，在第二象限
和第一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半
径分别为 $R_1$ 和 $R_2$ ，
由洛伦兹力提供向心力, 有 $q v B=m \frac{v^2}{R} 、 T=\frac{2 \pi R}{v}$,
可得 $R_1=\frac{m v}{q B} 、 R_2=\frac{2 m v}{q B} 、 T_1=\frac{2 \pi m}{q B} 、 T_2=\frac{4 \pi m}{q B}$,
带电粒子在第二象限中运动的时间为 $t_1=\frac{T_1}{4}$, 在第一象限中运动的时
间为 $t_2=\frac{\theta}{2 \pi} T_2$,
又由几何关系有 $\cos \theta=\frac{R_2-R_1}{R_2}=\frac{1}{2}$,可得 $t_2=\frac{T_2}{6}$,
则粒子在磁场中运动的时间为 $t=t_1+t_2$ ，
联立以上各式解得 $t=\frac{7 \pi m}{6 q B}$, 选项 B 正确, $A 、 C 、 D$ 错误。

`例`一根通电直导线水平放置，通过直导线的恒定电流方向如图所示，现有一电子从直导线下方以水平向右的初速度v开始运动，不考虑电子重力，关于接下来电子的运动轨迹，下列说法正确的是
A.电子将向下偏转，运动的半径逐渐变大
B.电子将向上偏转，运动的半径逐渐变小
C.电子将向上偏转，运动的半径逐渐变大
D.电子将向下偏转，运动的半径逐渐变小
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 解：水平导线中通有恒定电流I，根据安培定则判断可知，导线上方的磁场方向垂直纸面向里，导线下方的磁场方向垂直纸面向外，由左手定则判断可知，导线下方的电子所受的洛伦兹力方向向上，则电子将向上偏转，其速率v不变，而离导线越近，磁场越强，磁感应强度B越大，由公式r＝mv/qB　 可知，电子的轨迹半径逐渐变小，故选B.

`例`如图，长直导线水平固定放置，通有向右的恒定电流，绝缘细线一端系于导线上的O点，另一端系一个带电小球，细线拉直，第一次让小球在A点由静止释放，让小球绕O点沿圆1在竖直面内做圆周运动；第二次让小球在B点由静止释放，让小球绕O点沿圆2在竖直面内做圆周运动.圆1与直导线在同一竖直面内，圆2与直导线垂直，A、B两点高度相同，不计空气阻力，则两次小球运动到最低点C时
A.速度大小相等，线的拉力相等
B.速度大小不等，线的拉力相等
C.速度大小相等，线的拉力不等
D.速度大小不等，线的拉力不等
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 解：由于洛伦兹力不做功，只有重力做功，所以两次小球运动到最低点 $C$ 时，根据动能定理可知，合外力做功相同，所以两次在最低点小球的速度大小相等；
在圆 1 中小球在最低点时速度方向与磁场方向相互垂直，
根据左手定则，如果小球带正电，则在圆 1 中小球在最低点线的拉力大小满足 $F_{ T 1}+B q v-m g=m \frac{v^2}{R}$ ，在圆 2 中小球在最低点速度方向与磁场方向相互平行，所受洛伦兹力为 0 ，则在圆 2 中小球在最低点线的拉力大小满足 $F_{ T 2}-m g=m \frac{v^2}{R}$ ，则两次小球运动到最低点 $C$ 时，线的拉力不等，同理可知，若小球带负电，在 $C$ 点线的拉力也不相等，所以 C 正确， $A , ~ B, ~ D$ 错误．

`例`正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷.在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从P点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示.下列说法正确的是
A.磁场方向垂直于纸面向里
B.轨迹1对应的粒子运动速度越来越大
C.轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大
D.轨迹3对应的粒子是正电子
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 解：根据题图可知，轨迹1和3对应的粒子绕转动方向一致，则轨迹1和3对应的粒子为电子，轨迹2对应的粒子为正电子，电子带负电荷且顺时针转动，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，A正确，D错误；
粒子在云室中运行，洛伦兹力不做功，而粒子受到云室内填充物质的阻力作用，粒子速度越来越小，B错误；

带电粒子若仅在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知 $q v B=m \frac{v^2}{r}$ ，解得粒子运动的半径为 $r=\frac{m v}{q B}$ ，根据题图可知轨迹 3 对应的粒子运动的半径更大，速度更大，粒子运动过程中受到云室内物质的阻力的情况下，此结论也成立， C 错误．

`例`(多选)一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然分裂成a、b和c三个微粒，a和b在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示，c未在图中标出.仅考虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是
A.a带负电荷
B.b带正电荷
C.c带负电荷
D.a和b的动量大小一定相等
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 解：由左手定则可知，微粒 $a$ ，微粒 $b$ 均带正电，电中性的微粒分裂的过程中，总的电荷量应保持不变，则微粒 $c$ 应带负电，A错误，B，C正确；微粒在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，即 $q v B=m \frac{v^2}{R}$ ，解得 $R=\frac{m v}{q B}$ ，由于微粒 $a$ 与微粒 $b$ 的质量，电荷量大小关系未知，则微粒 $a$ 与微粒 $b$ 的动量大小关系不确定， D 错误．
 
 
 
 `例`如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场.一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域.下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是
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  解：
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   由题意知当质子垂直 $O y z$ 平面进入磁场后先在 $M N$ 左侧运动，刚进入时根据左手定则可知受到 $y$ 轴正方向的洛伦兹力，做匀速圆周运动，即质子会向 $y$ 轴正方向偏移，$y$ 轴坐标增大，在 $M N$ 右侧磁场方向反向，由对称性可知，A可能正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于 $x O y$ 平面的洛伦兹力作用，在 $z$ 轴方向上没有运动，$z$ 轴坐标不变，故 $C , ~ D$ 错误．

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