平方根

日期: 2023-10-23 07:52 查看: 33 次更新导出Word

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1. 算术平方根

一般地, 形如 $\sqrt{a} (a \geq 0)$ 的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解:

①带有二次根号;
②被开方数是非负数, 即 $a \geq 0$.

二次根式中, 被开方数一定是非负数, 否 则就没有意义.

## 二次根式的性质

$$
\begin{aligned}
& (\sqrt{a})^2=a(a \geq 0), \\
& \sqrt{a^2}=|\boldsymbol{a}|=\left\{\begin{array}{c}
\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a}>0), \\
0(\boldsymbol{a}=0), \\
-\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a}<0) .
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

1. 最简二次根式
   满足下列两个条件的二次根式, 叫做最简二次 根式.
   (1)被开方数不含分母；
   (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
2. 二次根式的乘除法则:
   乘法: $\sqrt{a} \sqrt{b}=\sqrt{a b}(a \geq 0, b \geq 0)$;
   除法: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a \geq 0, b>0)$.
3. 二次根式的加减: 类似合并同类项
   可以先将二次根式化成最简二次根式, 再将 被开方数相同 的二次根式进行合并.

## 例题

例1
求下列二次根式中字母的取值范围
(1) $\sqrt{x-4}-\sqrt{4-x}$;
(2) $\sqrt{x+5}+\frac{1}{\sqrt{3-x}}$.

解:

(1) 由题意得 $\left\{\begin{array}{c}x-4 \geqslant 0, \\ 4-x \geqslant 0,\end{array}\right.$ $\therefore x=4$.

(2) 由题意得 $\left\{\begin{array}{l}x+5 \geq 0, \\ 3-x>0\end{array}\right.$
解得 $-5 \leq x<3$.

例2 若 $\sqrt{x-1}+(3 x+y-1)^2=0$, 求 $\sqrt{5 x+y^2}$ 的值.

解：根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 $\sqrt{x-1}$ 和 $(3 x+y-1)^2$ 均为 0 .
 $\because \sqrt{x-1}+(3 x+y-1)^2=0$,
$\therefore x-1=0,3 x+y-1=0$, 解得 $x=1, y=-2$.
则 $\sqrt{5 x+y^2}=\sqrt{5 \times 1+(-2)^2}=3$.

例3 下列运算正确的是 $(\mathrm{C})$

$$
\begin{array}{ll}
\text { A. } \sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5} & \text { B. } 2 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2}=6 \sqrt{2} \\
\text { C. } \sqrt{12} \div \sqrt{3}=2 & \text { D. } 3 \sqrt{2}-\sqrt{2}=3
\end{array}
$$

例4 先化简, 再求值: $\frac{x^2}{x-y}-\frac{y^2}{x-y}$, 其中 $x=1+2 \sqrt{3}, y=1-2 \sqrt{3}$.
解析: 先利用分式的加减运算化简式子, 然后代 入数值计算即可.
解: $\frac{x^2}{x-y}-\frac{y^2}{x-y}=\frac{x^2-y^2}{x-y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x-y}=x+y$.
当 $x=1+2 \sqrt{3}, y=1-2 \sqrt{3}$ 时,
原式 $=1+2 \sqrt{3}+1-2 \sqrt{3}=2$.

例5. 先化简, 再求值: $\left(1-\frac{a-2}{a^2-4}\right) \div \frac{a^2+a}{a^2+4 a+4}$, 其中 $a=\sqrt{2}$.
解: 原式 $=\frac{a^2-4-a+2}{(a+2)(a-2)} \div \frac{a(a+1)}{(a+2)^2}$

$$
\begin{aligned}
& =\frac{(a-2)(a+1)}{(a+2)(a-2)} \cdot \frac{(a+2)^2}{a(a+1)} \\
& =\frac{a+2}{a}
\end{aligned}
$$

当 $a=\sqrt{2}$ 时,
原式 $=\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$.

例6 已知 $a$ 是实数, 求 $\sqrt{(a+2)^2}-\sqrt{(a-1)^2}$ 的值.
解: $\sqrt{(a+2)^2}-\sqrt{(a-1)^2}=|a+2|-|a-1|$, 分三种情况讨论:
(1)当 $a \leq-2$ 时, 原式 $=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3$;
(2) 当 $-2<a \leq 1$ 时, 原式 $=(a+2)+(a-1)=2 a+1$;
(3) 当 $a>1$ 时, 原式 $=(a+2)-(a-1)=3$.

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