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数与等式
二次根式
日期:
2024-04-21 19:49
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二次根式
一般地, 形如 $\sqrt{a} (a \geq 0)$ 的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解: ①带有二次根号; ②被开方数是非负数, 即 $a \geq 0$. 二次根式中, 被开方数一定是非负数, 否 则就没有意义. ## 二次根式的性质 $$ \begin{aligned} & (\sqrt{a})^2=a(a \geq 0), \\ & \sqrt{a^2}=|\boldsymbol{a}|=\left\{\begin{array}{c} \boldsymbol{a}(\boldsymbol{a}>0), \\ 0(\boldsymbol{a}=0), \\ -\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a}<0) . \end{array}\right. \end{aligned} $$ 1. 最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式, 叫做最简二次 根式. (1)被开方数不含分母; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2. 二次根式的乘除法则: 乘法: $\sqrt{a} \sqrt{b}=\sqrt{a b}(a \geq 0, b \geq 0)$; 除法: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a \geq 0, b>0)$. 3. 二次根式的加减: 类似合并同类项 可以先将二次根式化成最简二次根式, 再将 被开方数相同 的二次根式进行合并. ## 例题 例1 求下列二次根式中字母的取值范围 (1) $\sqrt{x-4}-\sqrt{4-x}$; (2) $\sqrt{x+5}+\frac{1}{\sqrt{3-x}}$. 解: (1) 由题意得 $\left\{\begin{array}{c}x-4 \geqslant 0, \\ 4-x \geqslant 0,\end{array}\right.$ $\therefore x=4$. (2) 由题意得 $\left\{\begin{array}{l}x+5 \geq 0, \\ 3-x>0\end{array}\right.$ 解得 $-5 \leq x<3$. 例2 若 $\sqrt{x-1}+(3 x+y-1)^2=0$, 求 $\sqrt{5 x+y^2}$ 的值. 解:根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 $\sqrt{x-1}$ 和 $(3 x+y-1)^2$ 均为 0 . $\because \sqrt{x-1}+(3 x+y-1)^2=0$, $\therefore x-1=0,3 x+y-1=0$, 解得 $x=1, y=-2$. 则 $\sqrt{5 x+y^2}=\sqrt{5 \times 1+(-2)^2}=3$. 例3 下列运算正确的是 $(\mathrm{C})$ $$ \begin{array}{ll} \text { A. } \sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5} & \text { B. } 2 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2}=6 \sqrt{2} \\ \text { C. } \sqrt{12} \div \sqrt{3}=2 & \text { D. } 3 \sqrt{2}-\sqrt{2}=3 \end{array} $$ 例4 先化简, 再求值: $\frac{x^2}{x-y}-\frac{y^2}{x-y}$, 其中 $x=1+2 \sqrt{3}, y=1-2 \sqrt{3}$. 解析: 先利用分式的加减运算化简式子, 然后代 入数值计算即可. 解: $\frac{x^2}{x-y}-\frac{y^2}{x-y}=\frac{x^2-y^2}{x-y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x-y}=x+y$. 当 $x=1+2 \sqrt{3}, y=1-2 \sqrt{3}$ 时, 原式 $=1+2 \sqrt{3}+1-2 \sqrt{3}=2$. 例5. 先化简, 再求值: $\left(1-\frac{a-2}{a^2-4}\right) \div \frac{a^2+a}{a^2+4 a+4}$, 其中 $a=\sqrt{2}$. 解: 原式 $=\frac{a^2-4-a+2}{(a+2)(a-2)} \div \frac{a(a+1)}{(a+2)^2}$ $$ \begin{aligned} & =\frac{(a-2)(a+1)}{(a+2)(a-2)} \cdot \frac{(a+2)^2}{a(a+1)} \\ & =\frac{a+2}{a} \end{aligned} $$ 当 $a=\sqrt{2}$ 时, 原式 $=\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$. 例6 已知 $a$ 是实数, 求 $\sqrt{(a+2)^2}-\sqrt{(a-1)^2}$ 的值. 解: $\sqrt{(a+2)^2}-\sqrt{(a-1)^2}=|a+2|-|a-1|$, 分三种情况讨论: (1)当 $a \leq-2$ 时, 原式 $=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3$; (2) 当 $-2<a \leq 1$ 时, 原式 $=(a+2)+(a-1)=2 a+1$; (3) 当 $a>1$ 时, 原式 $=(a+2)-(a-1)=3$. 正数的平方根有两个,它们为相反数,其中非负的平方根,就是这个数的算术平方根。 例如 $3^2=9$ 和 $(-3)^2=9$ 我们称呼 $3$ 为 $9$ 的 算术平方根,而称呼 $ \pm 3$ 为 $9$ 的平方根。 ## 分母有理化 把分母中的根号化去,叫做分母有理化.分母有理化的方法是:根据分式 的基本性质,只要将分子、分母同乘以分母的有理化因式,就可以达到目的. 在根式的除法中,先进行有理化分母,往往是较简便的. #### 例题 化简 $\frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}} $ 解: $$ \begin{aligned} \text { 原式 } & =\frac{(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})^2}{(\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b})(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})} \\ & =\frac{a+b+2 \sqrt{a+b} \cdot \sqrt{a-b}+a-b}{(\sqrt{a+b})^2-(\sqrt{a-b})^2} \\ & =\frac{2 a+2 \sqrt{a+b} \cdot \sqrt{a-b}}{2 b} \\ & =\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b} \end{aligned} $$ #### 例题 计算 (精确到 0.01 ): $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ $$ \begin{aligned} \text { 原式 } & =\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{[(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}][(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}]} \\ & =\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2} \\ & =\frac{\sqrt{6}+3-\sqrt{15}}{2 \sqrt{6}} \\ & =\frac{(3+\sqrt{6}-\sqrt{15}) \cdot \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \\ & =\frac{3 \sqrt{6}+6-\sqrt{90}}{12}=\frac{1}{4}(2+\sqrt{6}-\sqrt{10}) \\ & \approx \frac{1}{4}(2+2.449-3.162) \approx 0.32 \end{aligned} $$ #### 例题 计算 $2 \div(1-\sqrt{2}+\sqrt{3}) $ 解: $$ \begin{aligned} \text { 原式 } & =\frac{2[(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}]}{[(1-\sqrt{2})+\sqrt{3}] \cdot[(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}]} \\ & =\frac{2-2 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{(1-\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} \\ & =\frac{2-2 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{-2 \sqrt{2}} \\ & =\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-\sqrt{2}}=\frac{(1-\sqrt{2}-\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}}{-\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\ & =\frac{\sqrt{2}-2-\sqrt{6}}{-2} \\ & \approx-\frac{1}{2}(1.414-2-2.449) \approx 1.52 \end{aligned} $$ ## 根式方程 #### 例题 解方程 $\sqrt{x+10}+\sqrt{x-11}=7$ 分析:解根式方程时, 利用 “移项规则” 可以把所含根式比较均匀地分列于等号两边, 然后再逐步平方. 这样比较简便. 解: $$ \begin{aligned} \sqrt{x+10} & =7-\sqrt{x-11} \\ x+10 & =49-14 \sqrt{x-11}+x-11 \\ \sqrt{x-11} & =2 \\ x-11 & =4 \\ x & =15 \end{aligned} $$ 验根:把 $x=15$ 代人原方程: $$ \begin{aligned} & \text { 左式 }=15+10+15-11=5+2=7 \\ & \text { 右式 }=7 \end{aligned} $$ $\therefore$ 原方程的解集是 $\{15\}$. #### 例题 解方程 $x^2-2 x+6 \sqrt{x^2-2 x+6}=21$ 解: 设 $\sqrt{x^2-2 x+6}=y$, 则 $x^2-2 x+6=y^2$. 原方程可变形为 $y^2+6 y-27=0$ $\because y_1=3, \quad y_2=-9$ 这就是 $\sqrt{x^2-2 x+6}=3$ 或 $\sqrt{x^2-2 x+6}=-9$, 其中 $\sqrt{x^2-2 x+6}$ 是算术根, 所以不能等于 -9 . $\therefore \sqrt{x^2-2 x+6}=-9$ 无解. 解方程 $$ \sqrt{x^2-2 x+6}=3 $$ 两边平方: $$ x^2-2 x+6=9 \quad \Rightarrow \quad x^2-2 x-3=0 $$ $$ \therefore \quad x_1=3, \quad x_2=-1 $$ 验根: 把 $x_1=3, x_2=-1$, 分别代人方程检验, 可知这两个根都是原方程的根. $\therefore$ 原方程的解集是: $\{3,-1\}$. 经过检验,符合题意 #### 例题 解方程: $\sqrt{3 x-1}+\frac{2}{\sqrt{3 x-1}}=\sqrt{5 x+3}$ 解: 方程两边乘以 $\sqrt{3 x-1}$ 得: $$ 3 x-1+2=\sqrt{5 x+3} \cdot \sqrt{3 x-1} $$ 即: $$ 3 x+1=\sqrt{(5 x+3) \cdot(3 x-1)} $$ 两边平方: $(3 x+1)^2=(5 x+3)(3 x-1)$, 整理得: $$ 3 x^2-x-2=0 $$ $$ \therefore \quad x_1=2, \quad x_2=-\frac{2}{3} $$ 经检验, 当 $x=-\frac{2}{3}$ 时, 原方程所含的根号内都是负数, 因而 $x=-\frac{2}{3}$ 是增根, 应舍去. $x=1$ 是原方程的根. $\therefore$ 原方程的解集是: $\{1\}$. #### 例题 解方程 $\frac{1}{1-\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{3}}{x^2}$ 解:分母有理化得: $$ \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{1-\left(1-x^2\right)}-\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{1-\left(1-x^2\right)}=\frac{\sqrt{3}}{x^2} $$ 就是 $$ \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x^2}-\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2}=\frac{\sqrt{3}}{x^2} $$ 去分母: $$ \begin{aligned} 2 \sqrt{1-x^2} & =\sqrt{3} \\ 4\left(1-x^2\right) & =3 \\ 4 x^2 & =1 \end{aligned} $$ $$ \therefore \quad x_1=\frac{1}{2}, \quad x_2=-\frac{1}{2} $$ 经检验知, $x_1=\frac{1}{2}$ 和 $x_2=-\frac{1}{2}$ 都是原方程的根. 原方程的解集是 $\left\{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\}$
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