首页
高中数学
高中物理
微积分
线性代数
概率论
人工智能
赞助本站
在线教程
初中数学
数与等式
分式代数式
日期:
2024-04-21 19:41
查看:
201
次
编辑
导出
分式代数式
## 分式代数式加减 #### 例题 约简 $\frac{x^4-2 x^3+x-2}{x^4+x^2+1}$ 解:用辗转相除法求得: $$ \left(x^4-2 x^3+x-2, x^4+x^2+1\right)=x^2-x+1 $$ 用除法求得 $$ \begin{aligned} & x^4-2 x^3+x-2=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2-x-2\right) \\ & x^4+x^2+1=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right) \\ & \therefore \quad \frac{x^4-2 x^3+x-2}{x^4+x^2+1}=\frac{x^2-x-2}{x^2+x+1} \end{aligned} $$ #### 例题 先把下面的分式化简,再求它的值. $F(x)=\frac{-1-x^3}{2x^2-2x+2},\qquad \text{其中 } x=5 $ 解: $$ \begin{aligned} F(x) & =\frac{-\left(x^3+1\right)}{2\left(x^2-x+1\right)} \\ & =-\frac{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}{2\left(x^2-x+1\right)}=-\frac{x+1}{2} \\ F(5) & =-\frac{5+1}{2}=-3 \end{aligned} $$ #### 例题 化简: $\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$ 分析: $\because a-c=-(c-a), \quad b-a=-(a-b), \quad c-b=-(b-c)$, $$ \therefore \quad(a-c, b-a, c-b)=(a-b)(b-c)(c-a) . $$ 解: $$ \begin{aligned} \text { 原式 } & =-\frac{1}{(a-b)(c-a)}-\frac{1}{(b-c)(a-b)}-\frac{1}{(c-a)(b-c)} \\ & =\frac{-(b-c)-(c-a)-(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \\ & =\frac{-b+c-c+a-a+b}{(a-b)(b-c)(c-a)} \\ & =0 \end{aligned} $$ #### 例题 计算 $\frac{a^3}{a-1}-a^2-a-1$ 分析: $-a^2-a-1=-\left(a^2+a+1\right)$. 一个分式和一个整式的代数和,可以把整式 $a^2+a+1$ 当作 $\frac{a^2+a+1}{1}$. 解: $$ \begin{aligned} \text { 原式 } & =\frac{a^3}{a-1}-\frac{a^2+a+1}{1} \\ & =\frac{a^2}{a-1}-\frac{\left(a^2+a+1\right)(a-1)}{a-1} \\ & =\frac{a^3-\left(a^3-1\right)}{a-1} \\ & =\frac{1}{a-1} \end{aligned} $$ #### 例题 计算: $\frac{x^2-1}{x^4+x^2-2 x}+\frac{2 x^2+3 x-2}{2 x^3+x^2+3 x-2}$ 分析:由余式定理得 $x-1$ 是第一个分式的分子、分母的公因式,将此分式约简: $$ \frac{x^2-1}{x^4+x^2-2 x}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)\left(x^3+x^2+2 x\right)}=\frac{x+1}{x^3+x^2+2 x} $$ 由余式定理得 $2 x-1$ 是第二个分式的分子、分母的公因式,将此分式约简: $$ \frac{2 x^2+3 x-2}{2 x^3+x^2+3 x-2}=\frac{(x+2)(2 x-1)}{(2 x-1)\left(x^2+x+2\right)}=\frac{x+2}{x^2+x+2} $$ 解: $$ \begin{aligned} \text { 原式 } & =\frac{x+1}{x^3+x^2+2 x}+\frac{x+2}{x^2+x+2} \\ & =\frac{x+1}{x\left(x^2+x+2\right)}+\frac{x(x+2)}{x\left(x^2+x+2\right)} \\ & =\frac{x^2+3 x+1}{x\left(x^2+x+2\right)} \end{aligned} $$ #### 例题 已知 $a+b+c=0$, 求证: $\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=0$ 分析:利用已知条件 $a+b+c=0$, 使各个分母化简. 证明:由于: $$ \begin{aligned} & \frac{1}{b^2+c^2-a^2}=\frac{1}{b^2+c^2-(b+c)^2}=-\frac{1}{2 b c} \\ & \frac{1}{c^2+a^2-b^2}=\frac{1}{c^2+a^2-(c+a)^2}=-\frac{1}{2 a c} \\ & \frac{1}{a^2+b^2-c^2}=\frac{1}{a^2+b^2-(a+b)^2}=-\frac{1}{2 a b} \end{aligned} $$ 因此: $$ \begin{aligned} & \frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2} \\ = & -\frac{1}{2 b c}-\frac{1}{2 a c}-\frac{1}{2 a b} \\ = & -\frac{a+b+c}{2 a b c}=0 \end{aligned} $$ ## 分式的乘除法 #### 例题 计算: $\left(\frac{x^2+x+1}{x^2-2 x+1}-\frac{x^3+1}{(x-1)^3}\right) \cdot\left(x^2-2 x+1\right)$ 解: $$ \begin{aligned} \text { 原式 } & =\left(\frac{x^2+x+1}{(x-1)^2}-\frac{x^3+1}{(x-1)^3}\right) \cdot(x-1)^2 \\ & =\frac{\left(x^2+x+1\right)(x-1)-\left(x^3+1\right)}{(x-1)^3} \cdot(x-1)^2 \\ & =\frac{\left(x^3-1\right)-\left(x^3+1\right)}{x-1}=-\frac{2}{x-1} \end{aligned} $$ #### 例题 计算 $\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \div\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$ 解: $$ \begin{aligned} \text { 原式 } & =\frac{b+a}{a b} \div \frac{b-a}{a b} \\ & =\frac{b+a}{a b} \times \frac{a b}{b-a} \\ & =\frac{b+a}{b-a} \end{aligned} $$ ## 分式方程 #### 例题 解方程: $\frac{1}{x+2}+\frac{4 x}{x^2-4}=1+\frac{2}{x-2}$ 解: 原方程就是: $\frac{1}{x+2}+\frac{4 x}{(x+2)(x-2)}=1+\frac{2}{x-2}$ 两边乘以分母的最低公倍式 $(x+2)(x-2)$, 并约简得: $$ (x-2)+4 x=(x+2)(x-2)+2(x+2) $$ 解整式方程 $x^2-3 x+2=0, \quad \therefore \quad x_1=1, x_2=2$ 验根:把 $x=1$ 代人原方程两边: $$ \begin{aligned} & \text { 右式 }=\frac{1}{1+2}+\frac{4}{1-4}=\frac{1}{3}-\frac{4}{3}=-1 \\ & \text { 左式 }=1+\frac{2}{1-2}=1-2=-1 \end{aligned} $$ $\therefore \quad x=1$ 是原方程的根. 把 $x=2$ 代人原方程时, 由于分母 $x-2=0, x^2-4=0$, 就是说: 当 $x=2$ 时原方程没有意义, 所以 $x=2$ 不是原方程的根, 应舍去它. 因此:原方程的解集是 $\{1\}$. 从以上两例可以看出:分式方程的两边乘以同一个含有未知数的整式, 并进行约简, 就得到一个新的整式方程. 这个整式方程的根, 可能是原分式方程的根, 也可能不是原分式方程的根. 而这里不适合原方程的根, 就叫做原方程的增根, 验根后应该舍去 (例如, 在例 6.22 中的 $x=2$ 就是增根). 我们不禁要问:解分式方程的过程中, 为什么可能增根呢? 先观察上 , 原分式方程未知数 $x$ 的可取值范围是 $x \neq \pm 2$ 的一切实数,得到的根 $x_1=1$, 恰好在原方程 $x$ 的可取值范围内, 所以适合原方程, 是原方程的根. 而另一根 $x_2=2$, 恰好在原方程 $x$ 可取值范围外, 所以不适合原方程,是原方程的增根. 再观察上例 , 原分式方程未知数 $x$ 的可取值范围是 $x \neq 1$ 且 $x \neq-3$ 的一切实数, 整式方程 $5(x+3)=x-1$ 的 $x$ 可取值范围扩大为一切实数, 但这个整式方程的根 $x=-4$, 恰好在原分式方程的可取值范围内, 所以是原方程的根. 解分式方程过程中, 由于原方程两边乘以含有未知数的整式, 约简而得到一个整式方程. 这样就扩大了未知数的可取值范围, 自然就有产生增根的可能.但是, 增根并不可怕, 只要通过检验, 就可以鉴别出来把它舍去. 所以,解分式方程是必须进行验根的. 仔细观察、分析, 不难发现: 分式方程的增根, 都正好是 “使原方程中的一些分母的值为零” 的未知数值. 因此, 解分式方程时, 比较简捷的验根的方法是: 把整式方程的根, 逐个代人分母的最低公倍式中, 如果其值不等于零, 则是原方程的根; 如果其值等于零, 则它是原方程的增根, 要舍去. #### 例题 解方程 $\frac{3}{x-2}-\frac{4}{x-1}=\frac{1}{x-4}-\frac{2}{x-3}$ 分析: 如果开始就乘以分母的最低公倍式, 这样很复杂, 所以先采取方程两边分别通分, 这样比较简便. 解:方程两边分别通分得: $$ \begin{aligned} \frac{3 x-3-4 x+8}{(x-1)(x-2)} & =\frac{x-3-2 x+8}{(x-3)(x-4)} \\ \frac{-x+5}{(x-1)(x-2)} & =\frac{-x+5}{(x-3)(x-4)} \end{aligned} $$ 方程两边乘以 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$, 得: $$ (-x+5)(x-3)(x-4)=(-x+5)(x-1)(x-2) $$ 即: $$ (-x+5)\left[\left(x^2-7 x+12\right)-\left(x^2-3 x+2\right)\right]=0 $$ 解整式方程 $(-x+5)(-4 x+10)=0$ $\therefore \quad x_1=5, \quad x_2=\frac{5}{2}$ 验根: 把 $x_1=5, \quad x_2=\frac{5}{2}$ 分别代人分母的最低公倍式中, 很明显其值都不等于零. $\therefore$ 原方程的解集是 $\left\{5, \frac{5}{2}\right\}$. #### 例题 解方程 $\frac{(x-1)^2}{x}+\frac{x}{(x-1)^2}=2$ 设$\frac{(x-1)^2}{x}=y$,则$\frac{x}{(x-1)^2}=\frac{1}{y}$ 代入原方程就是 $y+\frac{1}{y}=2$,两边乘以$y$,并约简得 $y^2+1=2y\quad \Rightarrow\quad y^2-2y+1=0 $ 解这个方程,得:$y=1$. 把$y=1$代入 $\frac{(x-1)^2}{x}=y$,得: $\frac{(x-1)^2}{x}=1 $ 两边乘以$x$,并约简得: $ (x-1)^2=x$ 即:$x^2-3x+1=0$ $\therefore\quad x_1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2},\qquad x_2=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$. 把$x_1,x_2$分别代入方程(6.2)的分母中,其值不等于零. $\therefore\quad $原方程的解集是$\left\{\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2},\; \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right\}$ ## 例题 解方程 $\frac{1}{a}+\frac{a}{x}=\frac{1}{b}+\frac{b}{x}\quad (a\ne b)$ 方程两边乘以$abx$得: $bx+a^2b=ax+ab^2 $ 解整式方程 $(b-a)x=ab(b-a)$ $\because\quad a\ne b,\qquad \therefore\quad b-a\ne 0$ $\therefore\quad x=ab$. 验根:把$x=ab$代入$abx$得$a^2b^2$. $\because\quad a\ne 0,\; b\ne 0$ (如果$a=0$, $b=0$, 那么原方程 无意义). $\therefore\quad a^2b^2\ne 0$ $\therefore\quad $原方程的解集是$\{ab\}$. ## 待定系数法 在分式的运算和变形中, 有时需要把一个真分式化为另外几个真分式的代数和的形式, 例如: $$ \frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}=\frac{1}{x-1}+\frac{3}{2 x-1} $$ 其中, 两个比较简单的真分式 $\frac{1}{x-1}, \frac{3}{2 x-1}$ 就叫做原真分式 $\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}$的部分分式. 把一个分化成部分分式的代数和, 对今后学习高等数学很有用途. 以下将举例说明如何用待定系数法, 化分式为部分分式的和. #### 例题 例 7.18 化分式 $\frac{23 x-11 x^2}{(2 x-1)\left(9- ht)}$ 为部分分式. 分析:因为原分式分母中的因式 $2 x-1$ 与 $(3+x)(3-x)$ 是互质的因式. 所以,原分式可以化成下面两个真分式的和, 即 $$ \frac{a}{2 x-1}+\frac{e x+f}{(3+x)(3-x)} $$ 这里 $a, e, f$ 都是待定系数. 这两个分式都是真分式, 也就是分子的次数小于分母的次数. 第一个分式的分母是一次, 所以分子可以用常数 $a$ 表示, 第二个分式的分母是二次, 所以分子应用一次式 $e x+f$ 表示. 但由前面分析知道等式 $\frac{e x+f}{(3+x)(3-x)}=\frac{b}{3+x}+\frac{c}{3-x}$ 可以成立. 因此 $\frac{23 x-11 x^2}{(2 x-1)(3+x)(3-x)}$ 可以化成 $\frac{a}{2 x-1}+\frac{b}{3+x}+\frac{c}{3-x}$ 的形式. 解:设: $$ \frac{23 x-11 x^2}{(2 x-1)(3+x)(3-x)}=\frac{a}{2 x-1}+\frac{b}{3+x}+\frac{c}{3-x} $$ $\therefore$ 有恒等式 $$ 23 x-11 x^2=a(3+x)(3-x)+b(2 x-1)(3-x)+c(2 x-1)(3+x) $$ 令 $x=\frac{1}{2}$, 代人恒等式 得: $\frac{35}{4}=a \cdot \frac{35}{4}$ $$ \therefore a=1 $$ 令 $x=-3$, 代人恒等式 得: $-168=(-42) b$ $$ \therefore b=4 $$ 令 $x=3$, 代人恒等式 得: $-30=45 c$ $\therefore \quad c=-\frac{2}{3}$ $$ \therefore \quad \frac{23 x-11 x^2}{(2 x-1)(3+x)(3-x)}=\frac{1}{2 x-1}+\frac{4}{3+x}-\frac{2}{3(3-x)} $$ #### 例题 化 $\frac{42-19 x}{(x-4)\left(x^2+1\right)}$ 为部分分式. 说明: $x^2+1$ 在实数范围内已不能分解因式, 它与 $x-4$ 是互质因式. 解:设 $\frac{42-19 x}{(x-4)\left(x^2+1\right)}=\frac{a}{x-4}+\frac{b x+c}{x^2+1}$ $\therefore \quad 42-19 x=a\left(x^2+1\right)+(b x+c)(x-4)$ 是一个恒等式. 令 $x=4$, 得 $a=-2$. 再把 $a=-2$ 代人上式,整理得到: $$ 42-19 x=(b-2) x^2+(c-4 b) x-(4 c+2) $$ 比较等式两边同类项的系数, 得 $$ \left\{\begin{array}{l} b-2=0 \\ c-4 b=-19 \\ -(4 c+2)=42 \end{array}\right. $$ 由 $(7.13),(7.14)$ 解出 $b=2, c=-11$. 代人 (7.15) 都能够适合. 因此 $$ \frac{42-19 x}{(x-4)\left(x^2+1\right)}=-\frac{2}{x-4}+\frac{2 x-11}{x^2+1} $$ >上述介绍的方法在有理数积分里经常使用
上一篇:
余式定理
下一篇:
二次根式
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
赞助我们
0
篇笔记
写笔记
更多笔记
提交笔记