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复习5:三大性质与正定

## 矩阵的三大性质

**矩阵等价**——设 $A, B$ 为同型矩阵，若存在可逆矩阵 $P, Q$ ，使得 $P A Q=B$ ，称矩阵 $A, B$ 等价，记为 $A \cong B$ 。 
**矩阵相似**——设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=B$ ，称矩阵 $A, B$ 相似，记为 $A \sim B$ 。 
**矩阵合同**一设 $A, B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^T A P=B$ ，称矩阵 $A, B$ 合同，记为 $A \simeq B$ 。

### 相似与合同判定

【判断相似】
**（1）** 若 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似.  
**（2）** 若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似， $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似. 
**（3）** 设 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 均可相似对角化, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似 $\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 与 $B$ 有完全相同的特征值.  <br /> 
【判断合同】  
**（1）** 若 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同.  
**（2）** 若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同, $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 合同, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 合同.   
**（3）**  实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同 $\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的正、负惯性指数  <br />

【相似与合同的关系】 
**（1）**  普通矩阵相似不一定合同, 合同也不一定相似.
**（2）** 实对称矩阵相似一定合同.

## 正定
前提条件$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ，点击查看 [正定教程](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=504)

$f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 为正定二次型 (或对称阵 $\boldsymbol{A}$ 为正定矩阵) 的充分必要条件有:   
**(1)** 对任何 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$, 都有 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}>0$;   
**(2)** $f$ 的正惯性指数为 $n$;   
**(3)** 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}$, 即 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 合同;  
**(4)** $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值全为正数;  
**(5)** $A$ 的各阶顺序主子式都大于 0 . 即  
$$
a_{11}>0,\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|>0, \cdots,\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|>0 .
$$

### 正定的结论

(1)若 $\boldsymbol{A}$ 正定, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}, \boldsymbol{A}^{\boldsymbol{*}}, \boldsymbol{A}^m(m$ 为正整数 $), k \boldsymbol{A}(k>0)$, $\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ ( $\boldsymbol{C}$ 可逆) 均正定
(2)若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 正定, 则 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 正定, $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]$ 正定
(3)若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 正定, 则 $\boldsymbol{A B}$ 正定的充要条件是 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$
(4)若 $\boldsymbol{A}$ 正定且是正交矩阵, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$

## 旋转曲面

1.定义
以一条曲线绕一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴.
2. 常见二次曲面及其图形
(1) 椭圆锥面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$ ，如图 (a)。
(2) 椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$, 如图 (b).
(3) 单叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$, 如图 (c).
(4) 双叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$, 如图 (d).
(5) 椭圆抛物面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$, 如图 (e).
(6) 双曲抛物面 (马鞍面) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$, 如图 $(f)$.
(7) 椭圆柱面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 如图 (g).
(8) 双曲柱面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, 如图(h).
(9) 抛物柱面 $y^2=a x$, 如图 (i).
 ![图片](/uploads/2024-10/4036bd.jpg){width=500px}

$$
\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline \text { 二次曲面 } & \text { 标准方程 } & \text { 二次型 } f & \begin{array}{c}
\text { 正惯性 } \\
\text { 指数 }
\end{array} & \begin{array}{c}
\text { 负惯性 } \\
\text { 指数 }
\end{array} \\
\hline \text { 粗圆锥面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-z^2 & 2 & 1 \\
\hline \text { 椭球面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} & 3 & 0 \\
\hline

\hline \text { 单叶双曲面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} & 2 & 1 \\
\hline \text { 双叶双曲面 } & \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} & 1 & 2 \\
\hline \text { 椭圆柱面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} & 2 & 0 \\
\hline \text { 双曲柱面 } & \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} & 1 & 1 \\
\end{array}
$$

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