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线性代数
复习5:正定
日期:
2024-04-01 07:06
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复习5:正定
## 矩阵的三大性质 矩阵等价——设 $A, B$ 为同型矩阵,若存在可逆矩阵 $P, Q$ ,使得 $P A Q=B$ ,称矩阵 $A, B$ 等价,记为 $A \cong B$ 。 <br /> 矩阵相似——设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵,若存在可逆矩阵 $P$ ,使得 $P^{-1} A P=B$ ,称矩阵 $A, B$ 相似,记为 $A \sim B$ 。 <br /> 矩阵合同一设 $A, B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵 $P$ ,使得 $P^T A P=B$ ,称矩阵 $A, B$ 合同,记为 $A \simeq B$ 。 <br /> 从定义来看,在考研范围内,合同的要求最高,为 $n$ 阶实对称矩阵,相似要求为方阵,而等价则只要求同型。 <br /> 三者关系的定义形式也很类似,都是存在可逆矩阵,使得一个矩阵左乘右乘,变为另一个矩阵。容易看出,相似和合同关系一定是等价关系,因为相似和合同中的矩阵 $P, P^T, P^{-1}$ 都是可逆的。 <br /> ![图片](/uploads/2024-03/70f027.jpg) ## 相似与合同判定 【判断相似】 (1)若 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似. <br /> (2)若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似, $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似,则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似. <br /> (3)设 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 均可相似对角化, 则 <br /> $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似 $\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 与 $B$ 有完全相同的特征值. <br /> <br /> 【判断合同】 <br /> (1) 若 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同. <br /> (2) 若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同, $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 合同, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 合同. <br /> (3) 实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同 $\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的正、负惯性指数 <br /> <br /> 【相似与合同的关系】 <br /> (1) 普通矩阵相似不一定合同, 合同也不一定相似. <br /> (2) 实对称矩阵相似一定合同. <br /> ## 正定 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 为正定二次型 (或对称阵 $\boldsymbol{A}$ 为正定矩阵) 的充分必要条件有: <br /> (1) 对任何 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$, 都有 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}>0$; <br /> <br /> (2) $f$ 的正惯性指数为 $n$; <br /> (3) 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}$, 即 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 合同; <br /> (4) $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值全为正数; <br /> (5) $A$ 的各阶顺序主子式都大于 0 . 即 <br /> $$ a_{11}>0,\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|>0, \cdots,\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|>0 . $$
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