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复习4：相似与对角化

## 01相似矩阵的性质
$\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似 $\Rightarrow \boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的特征多项式, 即 $|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|=|\boldsymbol{B}-\lambda \boldsymbol{E}|$ 
$\Rightarrow \boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有完全相同的特征值 (但是特征向量不一定相同) 
$\Rightarrow|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n, \quad \sum a_{i i}=\sum b_{i i}$ 
$\Rightarrow \boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价, $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$. 
$\Rightarrow \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 相似, $\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 相似 
$\Rightarrow f(A)$ 与 $f(B)$ 相似 ( $f$ 为多项式)

## 矩阵可相似对角化的条件
(1) $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以对角化的充分必要条件是: $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 (即 $\boldsymbol{A}$ 的 $k$ 重特征值 $\lambda$ 有 $k$ 个线性无关的特征向量）. 
(2) $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以对角化的充分条件: 
① $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值, 则 $\boldsymbol{A}$ 一定能对角化. 
② $\boldsymbol{A}$ 为实对称矩阵, 则 $\boldsymbol{A}$ 一定能对角化.

## 对角化的步骤
(1) 求出 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$; 
(2) 求出 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$; 
(3) 令 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right), \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1 & & & 0 \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_n\end{array}\right)$ (注意次序要一致), 则 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{A}$.

## 标准正交化
将一线性无关的向量组 (以 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为例) 化为标准正交向量组的方法: 
步骤 1. 施密特正交化:
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1, \\
& \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{\left(\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1\right)}{\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1\right)} \boldsymbol{\beta}_1, \\
& \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_3-\frac{\left(\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_1\right)}{\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1\right)} \boldsymbol{\beta}_1-\frac{\left(\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_2\right)}{\left(\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_2\right)} \boldsymbol{\beta}_2 .
\end{aligned}
$$
步骤 2. 规范化（单位化): 
$$
\gamma_1=\frac{\boldsymbol{\beta}_1}{\left\|\boldsymbol{\beta}_1\right\|}, \gamma_2=\frac{\boldsymbol{\beta}_2}{\left\|\boldsymbol{\beta}_2\right\|}, \boldsymbol{\gamma}_3=\frac{\boldsymbol{\beta}_3}{\left\|\boldsymbol{\beta}_3\right\|} .
$$

## 用正交阵将对称阵对角化的步骤
 
(1) 求出对称阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$; 
(2) 求出 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$; 
(3) 将 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 正交化和单位化, 得到 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$; 
(4) 令 $\boldsymbol{Q}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n\right), \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}\lambda_1 & & & 0 \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_n\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{A}$.

## 化二次型为标准型
#### 正交变换法 
①写出二次型 $f$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$; 
②求出 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$; 
③求出 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$; 
④ 将 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 正交化和单位化, 得正交规范向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$; 
(与)构造正交阵 $\boldsymbol{Q}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n\right)$, 令 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$, 得二次型的标准形 
$ f=\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y^2+\cdots+\lambda_n y_n^2 .$

#### 配方法  
(1) 设二次型中含有平方项, 不妨设包含 $x_1^2$ 项, 即系数 $a_{11} \neq 0$, 则对所有含 $x_1$ 的项 配方, 配方后余下各项不再含 $x_1$, 再对所有含 $x_2$ 的项配方, $\cdots$, 直至所有项都在各自 完全平方项中, 引入新变量 $y_1, y_2, \cdots, y_n$, 由 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{x}$, 得 $f=k_1 y_1^2+k_2 y_2^2+\cdots+k_n y_n^2$;  
(2)若二次型中不含平方项, 但有混合项, 不妨设有 $x_1 x_2$ 项, 即系数 $a_{12} \neq 0$, 则可令 $x_1=y_1+y_2, x_2=y_1-y_2, x_3=y_3, \cdots, x_n=y_n$, 经此变换, 二次型中出现平方项 $a_{12} y_1^2-a_{12} y_2^2$, 再按步骤 (1) 进行配方.

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