日期: 2024-04-01 07:03 查看: 9 次编辑导出

复习3：线性表示

## 线性表示
(1) 向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示 定义 $\Leftrightarrow$ 存在数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$, 使 $\boldsymbol{\beta}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m$
$\Leftrightarrow$ 线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_m \boldsymbol{\alpha}_m=\boldsymbol{\beta}$ 有解
$$
\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{\beta}) \text {, 其中 } \boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) \text {. }
$$

(2) 向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示
$\stackrel{\text { 定义 }}{\Leftrightarrow} \boldsymbol{\beta}_j$ 能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示, $j=1,2, \cdots, t$
$$
\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) \text {, 其中 } \boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right) \text {. }
$$

(3) 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 等价
$\stackrel{\text { 定义 }}{\Leftrightarrow} \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 能互相线性表示
$\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$, 其中 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\right), \boldsymbol{B}=\left(\beta_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right)$
$\Leftrightarrow \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性表示, 且 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$.

## 线性相关
 #### 线性相关 
$n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关
定义 $\Leftrightarrow$ 存在一组不全为 0 的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$, 使 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$
$\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$ 有非零解
$\Leftrightarrow$ 至少有一个向量可由其余向量线性表示
$\Leftrightarrow \mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) < m $
$\stackrel{m=n}{\Leftrightarrow}\left|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right|=0$.
 
#### 线性无关 
$n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关
$\stackrel{\text { 定义 }}{\Leftrightarrow}$ 若 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$, 则必有 $k_1=k_2=\cdots=k_m=0$
$\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$ 只有零解
$\Leftrightarrow$ 任一向量都不能由其余向量线性表示
$\Leftrightarrow \mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right)=m$
$\stackrel{m=n}{\Leftrightarrow}\left|\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\right| \neq 0$.

## 线性相关的一些结论

(1) 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 中有一部分向量线性相关, 则整个向量组也线性相关; 若 整个向量组也线性无关, 则部分向量组也线性无关. (简记为: 部分相关, 整体相关; 整体无关, 部分无关).

(2) 如果 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则 $\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1 \\ \boldsymbol{\beta}_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_2 \\ \boldsymbol{\beta}_2\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_m \\ \boldsymbol{\beta}_m\end{array}\right)$ 线性无关; 反之, 若 $\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1 \\ \boldsymbol{\beta}_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_2 \\ \boldsymbol{\beta}_2\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_m \\ \boldsymbol{\beta}_m\end{array}\right)$ 线性相关, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关. (简记为: 低维无关, 高维无 关; 高维相关，低维相关. )

(3) 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性无关, 而 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性相关, 则 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性表示, 且表示法唯一.

(4) 若向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示, 且 $t>s$, 则 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性相 关. （多的能由少的线性表示, 则多的必线性相关.）

若向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示, 且 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性无关, 则 $t \leq s$. (无 关向量组不能由比它个数少的向量组表出. )  
(5) $n+1$ 个 $n$ 维向量必相关.

## 线性方程组解的个数
#### $n$ 元线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 
①无解 $\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})<\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$. 
②有唯一解 $\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})=n$. 
③有无穷多解 $\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})< n $.

#### $n$ 元齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 
①只有零解 $\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n$ 
②有非零解 $\Leftrightarrow \mathrm{r}(A) < n $

## 线性方程组解的性质

(1)若 $\xi_1, \boldsymbol{\xi}_2$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, 则 $\xi_1+\xi_2$ 也是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解. 
(2)若 $\xi$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解, $k \in R$, 则 $k \xi$ 也是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解. 
(3)若 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解, 则 $\boldsymbol{\eta}_1-\boldsymbol{\eta}_2$ 是对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解. 
(4)若 $\boldsymbol{\eta}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的解, $\boldsymbol{\xi}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, 则 $\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的解. 
(5)若 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_t$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解，则 
当 $k_1+k_2+\cdots+k_t=0$ 时, $k_1 \boldsymbol{\eta}_1+k_2 \boldsymbol{\eta}_2+\cdots+k_t \boldsymbol{\eta}_t$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解. 
当 $k_1+k_2+\cdots+k_t=1$ 时, $k_1 \boldsymbol{\eta}_1+k_2 \boldsymbol{\eta}_2+\cdots+k_t \boldsymbol{\eta}_t$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解.

## 线性方程组解的结构

(1) 设 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=r, \boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n-\mathrm{r}}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为 
$$
\boldsymbol{x}=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \boldsymbol{\xi}_{n-r}\left(k_1, k_2, \cdots, k_{n-r} \text { 是任意常数 }\right) . 
$$
(2) 设 $\boldsymbol{\eta}^*$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一个特解， $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n-\mathrm{r}}$ 是对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一 个基础解系, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解为 
$$
\boldsymbol{x}=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-\mathrm{r}}+\boldsymbol{\eta}^*\left(k_1, k_2, \cdots k_{n-r} \text { 是任意常数 }\right) .
$$

## 特征值与特征向量的性质

(1) 设 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值, 则 
①$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$. 
② $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n=|\boldsymbol{A}|$. 
(2) 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应于不同特征值的特征向量线性无关. 
(3) 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $k$ 重特征值 $\lambda$ 至多有 $k$ 个线性无关的特征向量. 特别地, 当 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个 不同的特征值时 (没有重根), $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量. 
(4) 设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda, \boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}$, 则

$$
        \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \boldsymbol{A} & \boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E} & k \boldsymbol{A} & \boldsymbol{A}^k & f(\boldsymbol{A}) & \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{A}^* & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} \\
\hline \lambda & \lambda+k & k \lambda & \lambda^k & f(\lambda) & \frac{1}{\lambda} & \frac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda} & \lambda & \lambda \\
\hline \boldsymbol{\alpha} & \boldsymbol{\alpha} & \boldsymbol{\alpha} & \boldsymbol{\alpha} & \boldsymbol{\alpha} & \boldsymbol{\alpha} & \boldsymbol{\alpha} & \begin{array}{c}
\text { 不确 } \\
\text { 定 }
\end{array} & \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{\alpha} \\
\hline
\end{array}
        $$

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