最后更新: 2025-08-18 16:34 查看: 428 次纠错评论(0) 课件开VIP

复习3：线性表示

## 线性表示
(1) 向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示 定义 $\Leftrightarrow$ 存在数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$, 使 $\boldsymbol{\beta}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m$
$\Leftrightarrow$ 线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_m \boldsymbol{\alpha}_m=\boldsymbol{\beta}$ 有解
$$
\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{\beta}) \text {, 其中 } \boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) \text {. }
$$

(2) 向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示
$\stackrel{\text { 定义 }}{\Leftrightarrow} \boldsymbol{\beta}_j$ 能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示, $j=1,2, \cdots, t$
$$
\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) \text {, 其中 } \boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right) \text {. }
$$

(3) 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 等价
$\stackrel{\text { 定义 }}{\Leftrightarrow} \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 能互相线性表示
$\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$, 其中 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\right), \boldsymbol{B}=\left(\beta_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right)$
$\Leftrightarrow \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性表示, 且 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$.

## 线性相关
 #### 线性相关 
$n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关
定义 $\Leftrightarrow$ 存在一组不全为 0 的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$, 使 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$
$\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$ 有非零解
$\Leftrightarrow$ 至少有一个向量可由其余向量线性表示
$\Leftrightarrow \mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) < m $
$\stackrel{m=n}{\Leftrightarrow}\left|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right|=0$.
 
#### 线性无关 
$n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关
$\stackrel{\text { 定义 }}{\Leftrightarrow}$ 若 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$, 则必有 $k_1=k_2=\cdots=k_m=0$
$\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$ 只有零解
$\Leftrightarrow$ 任一向量都不能由其余向量线性表示
$\Leftrightarrow \mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right)=m$
$\stackrel{m=n}{\Leftrightarrow}\left|\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\right| \neq 0$.

## 线性相关的一些结论

(1) 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 中有一部分向量线性相关, 则整个向量组也线性相关; 若 整个向量组也线性无关, 则部分向量组也线性无关. (简记为: 部分相关, 整体相关; 整体无关, 部分无关).

(2) 如果 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则 $\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1 \\ \boldsymbol{\beta}_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_2 \\ \boldsymbol{\beta}_2\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_m \\ \boldsymbol{\beta}_m\end{array}\right)$ 线性无关; 反之, 若 $\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1 \\ \boldsymbol{\beta}_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_2 \\ \boldsymbol{\beta}_2\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_m \\ \boldsymbol{\beta}_m\end{array}\right)$ 线性相关, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关. (简记为: 低维无关, 高维无 关; 高维相关，低维相关. )

(3) 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性无关, 而 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性相关, 则 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性表示, 且表示法唯一.

(4) 若向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示, 且 $t>s$, 则 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性相 关. （多的能由少的线性表示, 则多的必线性相关.）

若向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示, 且 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性无关, 则 $t \leq s$. (无 关向量组不能由比它个数少的向量组表出. )  
(5) $n+1$ 个 $n$ 维向量必相关.

## 线性方程组解的个数
#### $n$ 元线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 
①无解 $\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})<\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$. 
②有唯一解 $\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})=n$. 
③有无穷多解 $\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})< n $.

#### $n$ 元齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 
①只有零解 $\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n$ 
②有非零解 $\Leftrightarrow \mathrm{r}(A) < n $

## 线性方程组解的性质

(1)若 $\xi_1, \boldsymbol{\xi}_2$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, 则 $\xi_1+\xi_2$ 也是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解. 
(2)若 $\xi$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解, $k \in R$, 则 $k \xi$ 也是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解. 
(3)若 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解, 则 $\boldsymbol{\eta}_1-\boldsymbol{\eta}_2$ 是对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解. 
(4)若 $\boldsymbol{\eta}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的解, $\boldsymbol{\xi}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, 则 $\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的解. 
(5)若 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_t$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解，则 
当 $k_1+k_2+\cdots+k_t=0$ 时, $k_1 \boldsymbol{\eta}_1+k_2 \boldsymbol{\eta}_2+\cdots+k_t \boldsymbol{\eta}_t$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解. 
当 $k_1+k_2+\cdots+k_t=1$ 时, $k_1 \boldsymbol{\eta}_1+k_2 \boldsymbol{\eta}_2+\cdots+k_t \boldsymbol{\eta}_t$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解.

## 线性方程组解的结构

(1) 设 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=r, \boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n-\mathrm{r}}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为 
$$
\boldsymbol{x}=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \boldsymbol{\xi}_{n-r}\left(k_1, k_2, \cdots, k_{n-r} \text { 是任意常数 }\right) . 
$$
(2) 设 $\boldsymbol{\eta}^*$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一个特解， $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n-\mathrm{r}}$ 是对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一 个基础解系, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解为 
$$
\boldsymbol{x}=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-\mathrm{r}}+\boldsymbol{\eta}^*\left(k_1, k_2, \cdots k_{n-r} \text { 是任意常数 }\right) .
$$

## 特征值与特征向量的性质

(1) 设 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值, 则 
①$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$. 
② $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n=|\boldsymbol{A}|$. 
(2) 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应于不同特征值的特征向量线性无关. 
(3) 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $k$ 重特征值 $\lambda$ 至多有 $k$ 个线性无关的特征向量. 特别地, 当 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个 不同的特征值时 (没有重根), $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量. 
(4) 设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda, \boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}$, 则

$$
        \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \boldsymbol{A} & \boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E} & k \boldsymbol{A} & \boldsymbol{A}^k & f(\boldsymbol{A}) & \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{A}^* & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} \\
\hline \lambda & \lambda+k & k \lambda & \lambda^k & f(\lambda) & \frac{1}{\lambda} & \frac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda} & \lambda & \lambda \\
\hline \boldsymbol{\alpha} & \boldsymbol{\alpha} & \boldsymbol{\alpha} & \boldsymbol{\alpha} & \boldsymbol{\alpha} & \boldsymbol{\alpha} & \boldsymbol{\alpha} & \begin{array}{c}
\text { 不确 } \\
\text { 定 }
\end{array} & \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{\alpha} \\
\hline
\end{array}
 $$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：复习2:矩阵的性质

下一篇：复习4：相似与对角化

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)