日期: 2024-04-01 06:57 查看: 14 次编辑导出

复习2:矩阵的性质

## 矩阵转置性质
$\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$.
           $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$.
          
$(\lambda \boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}=\lambda \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$.

$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$.

## 伴随矩阵性质

> 伴随矩阵一般不满足 $ (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^* \neq \boldsymbol{A}^*+\boldsymbol{B}^* $

$\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$..
          
          
  $(k \boldsymbol{A})^*=k^{n-1} \boldsymbol{A}^*(n \geq 2)$.

$(\boldsymbol{A B})^*=\boldsymbol{B}^* \boldsymbol{A}^*$.

$\left|\boldsymbol{A}^*\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}(n \geq 2)$.
 
$\left(A^*\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^*=\frac{1}{|A|} A$.
 
 
$\left(\boldsymbol{A}^*\right)^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^*$.
 
$\left(\boldsymbol{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}(n \geq 3)$.
 
 
## 矩阵可逆与不可逆的充分必要条件
①$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\Leftrightarrow|\boldsymbol{A}| \neq 0$ 
$\Leftrightarrow A B=E($ 或 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ） 
$\Leftrightarrow \mathrm{r}(A)=n$ 
$\Leftrightarrow A^*$ 可逆 
$\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 可以表示为若干初等矩阵的乘积 
$\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 等价 
$\Leftrightarrow \boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 只有零解 
$\Leftrightarrow \forall b, \quad \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解 
$\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 的列（行）向量组线性无关 
$\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 的特征值都不为 0 . 
 
② $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\Leftrightarrow|\boldsymbol{A}|=0$ 
$\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})< n $ 
$\Leftrightarrow A x=0$ 有非零解 
$\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 的列 (行) 向量组线性相关 
$\Leftrightarrow 0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值. 
 
 
 
 ## 可逆矩阵的性质 
 
(1) 若 $\boldsymbol{A}$ 可逆, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 亦可逆, 且 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=\boldsymbol{A}$. 
(2) 若 $\boldsymbol{A}$ 可逆, 则 $k \boldsymbol{A}(k \neq 0)$ 亦可逆, 且 $(k \boldsymbol{A})^{-1}=\frac{1}{k} \boldsymbol{A}^{-1}$. 
(3) 若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 可逆, 则 $A B$ 亦可逆, 且 $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$. 
(4) 若 $\boldsymbol{A}$ 可逆, 则 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 亦可逆, 且 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}$. 
(5) $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=\dfrac{1}{|\boldsymbol{A}|}$. 
 
## 求逆的方法
 (1) 定义法: 若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B}$. 
 
(2) 伴随矩阵法: $\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^*$. 
(3) 初等变换法: $(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{E}) \stackrel{\stackrel{ }{\longrightarrow}}{\longrightarrow}\left(\boldsymbol{E}: \boldsymbol{A}^{-1}\right)$. 
(4) 分块矩阵求逆法: 
①$\left(\begin{array}{cc}A & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1}\end{array}\right)$.
② $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & B^{-1} \\ A^{-1} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$.

## 矩阵秩的性质

(1) $0 \leq \mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}_{m \times n}\right) \leq \min \{m, n\}$. 
(2) $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)=\mathrm{r}(k \boldsymbol{A})=\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)=\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)(k \neq 0)$. 
(3) $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \leq \mathrm{r}(\boldsymbol{A})+\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$. 
(4) $\max \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\} \leq \mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) \leq \mathrm{r}(\boldsymbol{A})+\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$. 
(5) $\mathrm{r}(A B) \leq \min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$. 
(6) 若 $\boldsymbol{A}$ 可逆, 则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B} \boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$. 
(7) 若 $\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{B}_{n \times s}=\boldsymbol{O}$, 则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})+\mathrm{r}(\boldsymbol{B}) \leq n$ ( $\boldsymbol{A}$ 的列数). 
(8) 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵 $(n \geq 2)$, 则 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}^*\right)=\left\{\begin{array}{lc}n, & \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n, \\ 1, & \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n-1, \\ 0, & \mathrm{r}(\boldsymbol{A}) < n-1 .\end{array}\right.$ 
(9) 左乘列满秩矩阵 (右乘行满秩矩阵) 不改变矩阵的秩.

## 矩阵等价

如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经有限次初等变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价.  
$\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价 $\Leftrightarrow$ 存在可逆阵 $\boldsymbol{P}$ 及 $\boldsymbol{Q}$, 使 $\boldsymbol{P A} Q=\boldsymbol{B}$  
$\Leftrightarrow \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 同型, 且 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$.

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