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复习1:行列式的性质

## $n$ 阶行列式的定义
$n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$ 是由 $n$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{a}_1=\left[a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n}\right], \boldsymbol{a}_2=\left[a_{21}, a_{22}, \cdots\right.$, $\left.a_{2 n}\right], \cdots, \alpha_n=\left[a_{n 1}, a_{n 2}, \cdots, a_{n n}\right]$ 组成的, 其 (运算规则的) 结果是以这 $n$ 个向量为邻边的 $n$ 维图形的 (有向) 体积.

## 行列式化简基本性质

**性质1** 行列互换, 其值不变, 即 $|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$.
**性质2** 行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零。
**性质3** 行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零。
**性质4** 行列式中某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和，即

$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i 1}+b_{i 1} & a_{i 2}+b_{i 2} & \cdots & a_{i n}+b_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{i 1} & b_{i 2} & \cdots & b_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right| .
$$

**性质5** 行列式中两行 (列) 互换, 行列式的值反号.

**性质6** 行列式中某行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列）, 行列式的值不变。

**性质7** 行列式中某行（列）元素有公因子 $k(k \neq 0)$, 则 $k$ 可提到行列式外面, 即

$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
k a_{i 1} & k a_{i 2} & \ldots & k a_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i 1} & a_{i 2} & \ldots & a_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right| .
$$

> 注意行列式的性质和矩阵的区别，行列式是一行有公因数提取到外面，而矩阵是每个元素有公因数提取到外面。行列式的值是一个数，而矩阵的变换仍是一个矩阵。

点击查看 [行列式教程](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=812)

## 行列式的基本性质

$\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=|\boldsymbol{A}|$.
        
$|\lambda A|=\lambda^n|\boldsymbol{A}|$.
       
$|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|, \quad\left|\boldsymbol{A}^k\right|=|\boldsymbol{A}|^k$.
       
$\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$ (若 $\boldsymbol{A}$ 可逆).
       
$\left|\boldsymbol{A}^*\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}(n \geq 2)$.
        
$|\boldsymbol{A}|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$, 其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值.
       
若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似, 则 $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|$.

> 伴随矩阵$A^*$计算复杂，基本上没啥用。但是因为变换灵活，公式多，成为考试最爱的考点

## 上三角与下三角行列式
$$\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n} .
$$

## 副对角行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
0 & & & \lambda_1 \\
& & \lambda_2 & \\
& \therefore & & \\
\lambda_n & & & 0
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
0 & & & \lambda_1 \\
& & \lambda_2 & * \\
& \therefore & \vdots & \vdots \\
\lambda_n & \cdots & * & *
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
 * & \cdots & * & \lambda_1 \\
 * & \cdots & \lambda_2 & \\
\vdots & . & & \\
\lambda_n & & & 0
\end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n .
            $$
        
## 范德蒙行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
\end{array}\right|=\prod_{1 \leqslant j < i \leqslant n}\left(x_i-x_j\right)
    $$

&nbsp;&nbsp;
点击查看 [范德蒙行列式教程](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=473)
      
      
## 拉普拉斯展开式
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m$ 阶方阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶方阵, 则

①  $\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$.
          
            
②$\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{C} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=(-1)^{m n}|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$.
            
 &nbsp;&nbsp;
点击查看 [拉普拉斯展开式](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1238)           
       
       
## 克拉默法则
如果线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \vdots \\ a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n\end{array}\right.$
的系数行列式 $D=\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right| \neq 0$, 则方程组有唯一解:
$$
x_1=\frac{D_1}{D}, x_2=\frac{D_2}{D}, \cdots, x_n=\frac{D_n}{D},
$$
其中 $D_j(j=1,2, \cdots, n)$ 是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列用常数项代替后所得的 $n$ 阶行列式.

## 行列式的展开定理
**（1）余子式.**
在 $n$ 阶行列式中，去掉元素 $a_{i j}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的 $n-1$ 阶行列式称为元素 $a_{i j}$ 的余子式, 记作 $M_{i j}$, 即

$$
M_{i j}=\left|\begin{array}{cccccc}
a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} \\
a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right| .
$$

**(2) 代数余子式.**

余子式 $M_{i j}$ 乘 $(-1)^{i+j}$ 后称为 $a_{i j}$ 的代数余子式, 记作 $A_{i j}$, 即

$$
A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j} \text {, }
$$

显然也有 $M_{i j}=(-1)^{i+j} A_{i j}$.
**(3) 行列式按某一行（列）展开的展开公式.**

行列式的值等于行列式的某行（列）元素分别乘其相应的代数余子式后再求和, 即

$$
|\boldsymbol{A}|=\left\{\begin{array}{l}
a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}=\sum_{j=1}^n a_{i j} A_{i j}(i=1,2, \cdots, n), \\
a_{1 j} A_{1 j}+a_{2 j} A_{2 j}+\cdots+a_{n j} A_{n j}=\sum_{i=1}^n a_{i j} A_{i j}(j=1,2, \cdots, n) .
\end{array}\right.
$$

&nbsp;&nbsp;
点击查看 [代数余子式教程](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=471)

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