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复习1:行列式的性质
日期:
2024-04-01 06:52
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复习1:行列式的性质
## 行列式的基本性质 $\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=|\boldsymbol{A}|$. $|\lambda A|=\lambda^n|\boldsymbol{A}|$. $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|, \quad\left|\boldsymbol{A}^k\right|=|\boldsymbol{A}|^k$. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$ (若 $\boldsymbol{A}$ 可逆). $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}(n \geq 2)$. $|\boldsymbol{A}|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$, 其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值. 若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似, 则 $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|$. ## 上三角与下三角行列式 $$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n} . $$ ## 副对角行列式 $$ \left|\begin{array}{cccc} 0 & & & \lambda_1 \\ & & \lambda_2 & \\ & \therefore & & \\ \lambda_n & & & 0 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} 0 & & & \lambda_1 \\ & & \lambda_2 & * \\ & \therefore & \vdots & \vdots \\ \lambda_n & \cdots & * & * \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} * & \cdots & * & \lambda_1 \\ * & \cdots & \lambda_2 & \\ \vdots & . & & \\ \lambda_n & & & 0 \end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n . $$ ## 范德蒙行列式 $$ D_n=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{array}\right|=\prod_{1 \leqslant j < i \leqslant n}\left(x_i-x_j\right) $$ ## 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m$ 阶方阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶方阵, 则 ① $\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$. ②$\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{C} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=(-1)^{m n}|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$. ## 矩阵的转置性质 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$. $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$. $(\lambda \boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}=\lambda \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$. $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$. $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$.. $(k \boldsymbol{A})^*=k^{n-1} \boldsymbol{A}^*(n \geq 2)$. $(\boldsymbol{A B})^*=\boldsymbol{B}^* \boldsymbol{A}^*$. $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}(n \geq 2)$. $\left(A^*\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^*=\frac{1}{|A|} A$. $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^*$. $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}(n \geq 3)$. ## 克拉默法则 如果线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \vdots \\ a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n\end{array}\right.$ 的系数行列式 $D=\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right| \neq 0$, 则方程组有唯一解: $$ x_1=\frac{D_1}{D}, x_2=\frac{D_2}{D}, \cdots, x_n=\frac{D_n}{D}, $$ 其中 $D_j(j=1,2, \cdots, n)$ 是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列用常数项代替后所得的 $n$ 阶行列式.
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