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概率论与数理统计
第二篇 随机变量及其分布
伽马分布
日期:
2023-12-27 07:57
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伽马分布
**伽马函数** 称以下函数 $$ \Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty} x^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x $$ 为伽马函数, 其中参数 $\alpha>0$. 伽马函数具有如下性质: 1. $\Gamma(1)=1, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$. 2. $\Gamma(\alpha+1)=\alpha \Gamma(\alpha)$ (可用分部积分法证得). 当 $\alpha$ 为自然数 $n$ 时,有 $\Gamma(n+1)=n \Gamma(n)=n !$. 二、伽马分布 若随机变量 $X$ 的密度函数为 $$ p(x)= \begin{cases}\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x<0,\end{cases} $$ 则称 $X$ 服从伽马分布, 记作 $X \sim G a(\alpha, \lambda)$, 其中 $\alpha>0$ 为形状参数, $\lambda>0$ 为尺度参数. 图2.5.6 给出若干条 $\lambda$ 固定、 $\alpha$ 不同的伽马分布密度函数曲线, 从图中可以看出: ![图片](/uploads/2023-12/image_202312275a3f944.png) - 当 $0<\alpha<1$ 时, $p(x)$ 是严格下降函数, 且在 $x=0$ 处有奇异点. - 当 $\alpha=1$ 时, $p(x)$ 是严格下降函数,且在 $x=0$ 处 $p(0)=\lambda$. - 当 $1<\alpha \leqslant 2$ 时, $p(x)$ 是单峰函数, 先上凸、后下凸. - 当 $2<\alpha$ 时, $p(x)$ 是单峰函数, 先下凸、中间上凸、后下凸. 且 $\alpha$ 越大, $p(x)$ 越近似于正态密度函数, 但伽马分布总是偏态分布, $\alpha$ 越小其偏斜程度越严重. 三、伽马分布 $G a(\alpha, \lambda)$ 的数学期望和方差 利用伽马函数的性质, 不难算得伽马分布 $G a(\alpha, \lambda)$ 的数学期望为 $$ E(X)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{\infty} x^\alpha \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)} \frac{1}{\lambda}=\frac{\alpha}{\lambda}, $$ 又因为 $$ E\left(X^2\right)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{\infty} x^{\alpha+1} \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x=\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\lambda^2 \Gamma(\alpha)}=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^2}, $$ 由此得 $X$ 的方差为 $$ \operatorname{Var}(X)=E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^2}-\left(\frac{\alpha}{\lambda}\right)^2=\frac{\alpha}{\lambda^2} . $$ ## 伽马分布的两个特列 (1) $\alpha=1$ 时的伽马分布就是指数分布, 即 $$ G a(1, \lambda)=\operatorname{Exp}(\lambda) . $$ (2) 称 $\alpha=n / 2, \lambda=1 / 2$ 时的伽马分布是自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ (卡方) 分布, 记为 $\chi^2(n)$, 即 $$ G a\left(\frac{n}{2}, \frac{1}{2}\right)=\chi^2(n), $$ 其密度函数为 $$ p(x)= \begin{cases}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \mathrm{e}^{-\frac{x}{2} x^{\frac{n}{2}-1}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x<0 .\end{cases} $$ 这里 $n$ 是 $\chi^2$ 分布的唯一参数, 称为自由度, 它可以是正实数, 但更多的是取正整数, $\chi^2$分布是统计应用中的一个重要分布. 因为 $\chi^2$ 分布是特殊的伽马分布, 故由伽马分布的期望和方差, 很容易得到 $\chi^2$ 分布的期望和方差为 $$ E(X)=n, \quad \operatorname{Var}(X)=2 n . $$
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