标准正态分布

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 18 次更新导出Word

$\mu=0, \sigma^2=1$ 时的正态分布称为标准正态分布. 其概率密度函数和分布函数分别为

$$
\begin{aligned}
& \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}} \\
& \Phi(x)=\int_{-\infty}^x \varphi(t) \mathrm{dt}=P(X \leq x) \\
& -\infty<x<+\infty
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_202301038631ac3.png)
关于标准正态分布有以下结果:
![图片](/uploads/2023-01/image_202301034043292.png)
例 11 设随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，查表求下列概率值:
(1) $P(-1<X \leq 1.22)$;
(2) $P(|X| \leq 1.22)$
解 (1) 查表并计算可得

$$
\begin{aligned}
P(-1<X \leq 1.22) & =\Phi(1.22)-\Phi(-1)=\Phi(1.22)-(1-\Phi(1)) \\
& =0.8888-1+0.8413=0.7301
\end{aligned}
$$

(2) 同样地

$$
\begin{aligned}
P(|X| \leq 1.22) & =P(-1.22 \leq X \leq 1.22)=\Phi(1.22)+\Phi(-1.22) \\
& =2 \Phi(1.22)-1=0.7776
\end{aligned}
$$

一般地，有下列结论:
设随机变量 $X \sim  N(0,1), c>0  $ 则

$$
\begin{aligned}
& P(|X|<c)=\Phi(c)-\Phi(-c)=2 \Phi(c)-1 \\
& P(|X|>c)=1-P(|X| \leq c)=2-2 \Phi(c)
\end{aligned}
$$

若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则

$$
P(a<X \leq c)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)
$$

特别地 $\quad P(X \leq b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) ; P(X>a)=1-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$
例 12
设 $X \sim N(0,4)$ ，试求概率 $P(X \leq 3), P(X \leq-3)$
解 查表并计算可得

$$
P(X \leq 3)=\Phi\left(\frac{3-1}{2}\right)=\Phi(1)=0.8413
$$

$$
P(X \leq-3)=\Phi\left(\frac{-3-1}{2}\right)=1-\Phi(2)=0.0228
$$

例 $13$
设随机变量 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1) ， c$ 为何值时才能满足

$$
P(X \leq c)=0.95
$$

解 由 $P(X \leq c)=\Phi(c)=0.95$ ，查附录 4 知

$$
\Phi(1.645)=0.95 \Rightarrow c=1.645
$$

标准正态分布的分位数概念:
设 $X \sim  N(0,1)$, 对给定的 $\alpha$, 若 数 $u_\alpha$ 满足

$$
\Phi\left(u_\alpha\right)=\int_{-\infty}^{u_\alpha} \varphi(x) \mathrm{d} x=P\left(X \leq u_\alpha\right)=\alpha
$$

称 $u_\alpha$ 为随机变量X的 $\alpha-$ 分位数

分位数的几何意义

![图片](/uploads/2023-01/image_202301033fc0995.png)
例 14 某学校规定划分考生成绩的等级方法如下：考试成绩的实际考分在前10\%的为 $A$ 等，考分在前 $10 \%$ 以后但在前 $50 \%$ 的为 $B$ 等，考分在前 $50 \%$ 以后但在前 $85 \%$ 的为 C等，考分在后 $10 \%$ 的为D等.某次期末考试中，设考生的成绩X服从正态分 布 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，经计算可知 $\mu=73 ， \sigma^2=144$ ，求这次期末考试等级划 分的具体分数线。
解 由题意可知 $X \sim N(73,144)$ ，则

$$
\begin{aligned}
& P(X \geq a)=1-\Phi\left(\frac{a-73}{12}\right)=0.1 \\
& \Rightarrow\left(\frac{a-73}{12}\right)=u_{0.9}=1.282 \Rightarrow a=88.384 \approx 88
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { 又 } P(X \geq b)=1-\Phi\left(\frac{a-73}{12}\right)=0.5 \\
& \Rightarrow\left(\frac{b-73}{12}\right)=u_{0.5}=0 \Rightarrow b=73 \\
& \text { 又 } P(X \leq c)=\Phi\left(\frac{a-73}{12}\right)=0.5 \\
& \Rightarrow\left(\frac{c-73}{12}\right)=u_{0.1}=-u_{0.9}=-1.282 \Rightarrow c \approx 58 \\
&
\end{aligned}
$$

综述所求，可知，在此次考试中，分数在88.384以上的，为等级A，分数在73至88.384之间的，为等级B，分数在57.616至73之间的，为等级C，分数在57.616以下的，为等级D。

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