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概率论与数理统计
第二篇 随机变量及其分布
贝塔分布
日期:
2023-12-27 07:59
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贝塔分布
一、**贝塔函数** 称以下函数 $$ \mathrm{B}(a, b)=\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1} \mathrm{~d} x $$ 为贝塔函数, 其中参数 $a>0, b>0$. 贝塔函数具有如下性质: (1) $\mathrm{B}(a, b)=\mathrm{B}(b, a)$. 证明 在 (2.5.17) 的积分中令 $y=1-x$, 即得 $$ \mathrm{B}(a, b)=\int_1^0(1-y)^{a-1} y^{b-1}(-\mathrm{d} y)=\int_0^1(1-y)^{a-1} y^{b-1} \mathrm{~d} y=\mathrm{B}(b, a) . $$ (2)贝塔函数与伽马函数间有关系 $$ \mathrm{B}(a, b)=\frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} . $$ 二、贝塔分布 若随机变量 $X$ 的密度函数为 $$ p(x)= \begin{cases}\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}, & 0<x<1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases} $$ 则称 $X$ 服从贝塔分布, 记作 $X \sim B e(a, b)$, 其中 $a>0, b>0$ 都是形状参数. 图2.5.7 给出几种典型的贝塔分布密度函数曲线. ![图片](/uploads/2023-12/image_20231227a2aa051.png) 从上图可以看出: - 当 $a<1, b<1$ 时, $p(x)$ 是下凸的 $\mathrm{U}$ 形函数. - 当 $a>1, b>1$ 时, $p(x)$ 是上凸的单峰函数. - 当 $a<1, b \geqslant 1$ 时, $p(x)$ 是下凸的单调减函数. - 当 $a \geqslant 1, b<1$ 时, $p(x)$ 是下凸的单调增函数. - 当 $a=1, b=1$ 时, $\operatorname{Be}(1,1)=U(0,1)$. 因为服从贝塔分布 $B e(a, b)$ 的随机变量是仅在区间 $(0,1)$ 取值的, 所以不合格品率、机器的维修率、市场的占有率、射击的命中率等各种比率选用贝塔分布作为它们的概率分布是恰当的, 只要选择合适的参数 $a$ 与 $b$ 即可. 三、贝塔分布 $B e(a, b)$ 的数学期望和方差 利用贝塔函数的性质, 不难算得贝塔分布 $B e(a, b)$ 的数学期望为 $$ E(X)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \int_0^1 x^a(1-x)^{b-1} \mathrm{~d} x=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \cdot \frac{\Gamma(a+1) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b+1)}=\frac{a}{a+b} . $$
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