线性代数的几何意义

日期: 2023-11-11 19:41 查看: 34 次更新导出Word

## 代数的意义

“代数” 的英文是 Algebra, 源于阿拉伯语, 其本意是“结合在一起”。就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物 “结合在一起”, 也就是进行抽象。抽象的目的不是故弄玄虚, 而是为了解决问题的方便, 为了提高效率, 把许多看似不相关的问题化归为一类问题。
抽象实际上并不神秘和高深, 我们从小就学会了抽象:
蹒跚学步的时候, 爸妈是这样通过举例子教会孩子数的概念是如何抽象出来的:
这是 1 个苹果, 那是 1 个糖块, 还有 1 个皮球……慢慢地我们忽略了物质上的差别, 明白了 “ 1 ” 这个数量的含义, 并及时地应用上了: “妈妈我要 1 个冰激淋!”
幼儿园及小学时老师也是这样教会我们数的加法运算法则是如何抽象出来的:
2 个苹果加上 3 个苹果是 5 个苹果;
2 个糖块加上 3 个糖块是 5 个糖块;
......
2 加上 3 就等于 5 , 用符号表示就是 $2+3=5$ 。
这样我们进一步地忽略了相加物体的大小、长短及原料的差别, 只关心数量叠加的运算法则。
初中的时候, 老师又进一步地教会了我们数及运算法则的进一步抽象:

$$
\begin{aligned}
& (1+2)^2=1^2+2(1 \times 2)+2^2 ; \\
& (3+4)^2=3^2+2(3 \times 4)+4^2 ;
\end{aligned}
$$

......
用字母代替数值, 得到完全平方公式: $(a+b)^2=a^2+2 a b+b^2$ 。
好了, 抽象又进了一步: 不关心具体数值的运算, 只关心它们的运算规律。到了这时候,我们开始学习一门叫代数的数学课, 代数代数就是用字母代替数进行运算。从某种意义上来说, 代数就是把算术推广到比具体的数更抽象的对象 (运算规则) 上面去。

抽象还可以进一步: 高中时开始知道, 公式 $(a+b)^2=a^2+2 a b+b^2$ 中的字母不仅可以代表数, 还可以同时代表方向一一也就是可以代表向量; 并将其中的乘积 $a^2 、 a b$ 解释为向量
内积, 公式仍然成立。
画出有向线段来表示公式中的向量 (见图 1-1): $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A B}=\boldsymbol{b}$, 则 $\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 。
![图片](/uploads/2023-11/image_20231106fa07e62.png)
所以, 向量的完全平方公式 $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^2=\boldsymbol{a}^2+2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^2$ 的几何解释就是

$$
|O B|^2=|O A|^2+|A B|^2+2|O A||A B| \cos A^{\prime}
$$

这就是余弦定理, 当 $A$ 是直角时就是勾股定理。将数与向量混为一谈, 立刻从简单的完全平方公式得到勾股定理和余弦定理, 数学的抽象威力由此可见一斑啊!

另外, 抽象还可以沿着另一个途径进行下去。恒等式 $(a+b)^2=a^2+2 a b+b^2$ 中的字母是可变的数, 因此是变量。固定一些变量为常量, 多项式和方程式便出现了。其中一元方程式就有线性方程、二次方程、三次方程......

$$
a x+b=0, a x^2+b x+c=0, a x^3+b x^2+c x+d=0, \cdots
$$

有了各种方程, 如何求解啊? 于是在数学天才们的努力下, 这些方程的根的表示渐渐地知道了:
$a x+b=0$ 的根是 $x=-\frac{b}{a}$;
$a x^2+b x+c=0$ 的根是 $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} ;$
呵, 这些解好完美, 数学真是无懈可击啊。那 $x^2+1=0$ 的根是什么?呃……
$n$ 百年后, 这个问题最终抽象出来虚数的概念 (呵, 把数都抽虚了)。
数学在持续完美中:
三元方程式的根被解出来了。
四元方程式的根也被解出来了。
那五元方程式的根如何表示啊? 如何像二次方程的根一样可以用系数表示出来的形式?这个问题厉害, 解决这个问题伽罗瓦更犀利, 他竟然把运算规律也进行了更抽象的分类, 一下子竟抽出了群的伟大概念!

由此现代代数学的核心概念群、环、域、映射、线性空间等纷纷现世, 标志着代数从局部性研究转向系统结构的整体性分析研究阶段。

本内容主要截取自《线性代数的几何意义》任广千主编，西电出版，下同

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