最后更新: 2025-03-12 09:16 查看: 620 次反馈刷题

线性函数与线性空间

## 线性函数的概念
在中学的初等数学里, 我们知道, 函数 $f(x)=k x+b$ ( $k, b$ 是不变量), 称为一元线性函数, 因为在平面直角坐标系中这个函数的图形是一条直线, 就是变量 (包括自变量和因变量) 之间的关系描述为一条直线, 所以把这种函数形象地称为 “线性” 函数 (见图 1-2); 如果 $b=0$, 这个函数的外观就变成 $f(x)=k x$ 的形式了, 这是一条过原点的直线, 即图中直线 $m$ 。显然, 过原点的直线是最简单的线性函数。

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严格说来, 只有过原点的最简单的直线 $f(x)=k x$ 才被称为一元线性函数。什么? 难道 $f(x)=k x+b$ 不是线性函数吗? **是线性的, 但不是线性代数里所指的线性含义**。

所谓 “线性” 的代数意义是什么呢? 实际上, 最基本的意义只有两条: 可加性和比例性。

(1) **可加性**: 即如果函数 $f(x)$ 是线性的, 那么有

$$
f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)
$$

一句话: 和的函数等于函数的和。物理意义是说因变量叠加后的作用结果等于各个因变量独自作用结果的叠加。
(2) **比例性**: 也叫做齐次性、数乘性或均匀性或缩放性, 即如果函数 $f(x)$ 是线性的, 那么有

$$
f(k x)=k f(x) 
$$

一句话: 比例的函数等于函数的比例。物理意义是说因变量缩放, 因变量的作用结果也同等比例地缩放。
可加性与比例性组合在一块就是 “线性” 的全部意义了, 即有

$$
f\left(k_1 x_1+k_2 x_2\right)=k_1 f\left(x_1\right)+k_2 f\left(x_2\right) 
$$

一句话: 线性组合的函数, 等于函数的线性组合。这里面既有缩放又有叠加的物理含义。

回过头来在说一下为什么说$f(x)=kx+b$不是线性的，比如取$f(x)=2x+4$, 可以算出$f(1)=6$,$f(2)=8$,$f(3)=10$，发现$f(1)+f(2) \ne f(3)$，所以$f(x)=2x+4$不算是线性代数里的线性，但是$g(x)=2x$是线性的，他满足$g(1)+g(2)=g(3)，3g(x)=g(3x)$，
进一步比较发现，$f(x)$和$g(x)$的区别**后者通过的原点**。

> 到这里我们得到第一个结论：线性空间需要通过原点。

## 线性空间
上面说了，如果一个函数满足可加性和比例性，我们就称呼他为“线性”的。

因为向量满足可加性和缩放性，所以，向量运算是线性的。由向量组成的空间为“线性空间”。
比如不难证明
$$
\vec(a)+\vec{b}=\vec{b} + \vec{a} \\
$$

$$
\vec(ka)=k \vec{a} \\
$$

所以，向量是线性的。

### 八大纪律
对于线性空间的定义，通常认为需要满足八大运算性质，对于空间域$V$，
（1）加法交换律： $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ ；
（2）加法结合律：$(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$ ；
（3）存在零元素0：
（3）存在单位元1： 即$k_1 \alpha = \alpha$ ；
（5）存在负元素存在： 即 $\alpha + \beta = 0$ ，称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的负元素 
（6）数乘结合律：$k(l \alpha )=(k l) \alpha$ ； 
（7）分配律：$(k+l) \alpha =k \alpha +l \alpha$ ；
（8）分配律：$k( \alpha + \beta )=k \alpha +k \beta$ ；

> 说到空间，除了线性空间，数学上还有很多空间，比如巴拿赫空间、希尔伯特空间等，详见 https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1454

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