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线性代数
线性代数的意义
线性的几何推广
日期:
2023-11-11 19:56
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线性的几何推广
首先我们看看从一元线性函数 $f(x)=k x$ 拓展到二元线性函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1+k_2 x_2$ 的几何解释。这个几何解释并不是唯一的, 目的是让读者认识和理解线性的概念。 **拓展的第一步 坐标系由二维扩展到三维** $f(x)=k x$ 的直线图形是在二维笛卡尔坐标系下给出的几何图形, 把它放到三维笛卡尔坐标系下, 其函数表达式应写为 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 或者 $f\left(x_1, x_2\right)=k_2 x_2$ 。不失一般性, 我们这里取 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 为 $f(x)=k x$ 的扩维表达式。 我们知道, $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 的图形是一个过原点的平面, 是由 $f\left(x_1\right)=k x$ 的图形扩维后由一根直线变成了一个平面。这是因为函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 与新生长出来的坐标轴 $x_2$ 没有关系, $x_2$ 可以取任意值; 换句话说, $x_2$ 的任意值都在函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 的图像上, 这是一个过 $x_2$ 坐标轴的平面。  形象的扩展过程可以这样想象: 二维平面坐标系里有一根直线图形 (见图 1-4 (a)), 这时有 $x_2$ 轴过原点以垂直于坐标系 $x_1 \sim f\left(x_1\right.$ ) 的平面向右方向 (右手系) 生长出来 (见图 1-4 (b)), 然后原来的那条直线 $f\left(x_1\right)=k_1 x_1$ 沿着坐标轴 $x_2$ 方向向右滑动, 无数个平行的直线被 $x_2$轴像竹窝子一样串起来, 平铺得到了 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 的平面 (见图 1-4 (c))。这个平面是由无数的直线铺成的, 因此平面也是 “线性” 的。 **拓展的第二步 两个平面加起来** 显然, 要得到函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1+k_2 x_2$ 的图形, 只要把三维坐标系下的两个函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 和 $f\left(x_1, x_2\right)=k_2 x_2$ 所对应的图形加起来即可。一般情形下, 两个平面相加仍然是一个平面, 如图 1-5 所示。  因此, 线性函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1+k_2 x_2$ 的几何图形是一个过原点的平面。这个平面是在三维坐标系下的二维几何图形。 由二元线性 函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1+k_2 x_2$ 继 续 扩展到三元 线 性函数 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=k_1 x_1+k_2 x_2+k_3 x_3$ 时, 所在的坐标系由三维扩展到四维。可以想象, 这个三元变量函数构成了一个三维空间, 是由三个空间 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=k_1 x_1, f\left(x_1, x_2, x_3\right)=k_2 x_2$ 和 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=k_3 x_3$ 叠加得到的, 因此它是一个四维空间中 (四维坐标系) 的一个三维子空间。 继续扩展到四元及 $n$ 元的线性函数 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n$, 坐标系空间扩展到五维乃至 $n+1$ 维, 其几何图形仍将是一个低于坐标系维度一个维数的 “子空间”。 这个 $n$ 元几何图形总是低于坐标系一个维数。我们常常把一个高维的坐标系称为一个空间。 (比如 $n+1$ 维实数域线性空间 $\mathbf{R}^{n+1}$ ), 那么, 只能把这个线性函数低一维的几何图形称为一个 “平面”, 这是一个扩展意义上的平面, 常被称为超平面 (对于三维现实 “空间里” 的我们而言, 低一维度的子空间就是平面)。超平面等同于包含在 $n$ 维空间 $\mathbf{R}^n$ 中的 $n-1$ 维欧式空间, 它们对应于通常三维空间中的二维平面、平面内的直线、直线上的点等。 把线性函数 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n$ 的形式改写为 $$ k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n-f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=0 $$ 或者更一般的形式为 $$ k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n+k_{n+1} x_{n+1}=c $$ 这是一个 $n+1$ 维空间 $\mathbf{R}^{n+1}$ 中的一个 $n$ 维超平面, 只是这个平面不一定过原点了 (注意,不过原点的超平面可称之为空间，但不能称之为线性空间）。 到此我们明白了多元线性函数的 “线性” 不能单纯地理解为空间中的一条直线了, 根据上面的讨论, 把线性函数几何图形想象成一个平面更有代表性。实际上, 把 $n$ 个 $n$ 元线性函数组成一个满秩方程组才能表示一条直线。 相比较而言, 线性函数中含有的参数少, 涉及的运算简单, 仅为加法和乘法, 便于运算,是变量数学中最简单的函数; 但另一方面, 许多复杂的函数都可以在一定范围和精确度下近似地用线性函数来表示, 所以线性函数又是变量数学中最重要的函数。
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