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概率论与数理统计
第二篇 随机变量及其分布
泊松分布
日期:
2023-12-27 07:37
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泊松分布
设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $$ P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}, \quad k=0,1,2, \ldots ; \quad \lambda>0 $$ 则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 记为 $X \sim P(\lambda)$. 由无穷级数知识知: $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}=1$ 泊松分布也是一种常用的离散型分布,它常常与计数过程相联系,例如 01 某一时段内某网站的点击量; 02 早高峰时间段内驶入高架道路的车辆数; 03 一本书上的印刷错误数。 例 5 设随机变量 $X$ 有分布律 $P(X=k)=\frac{c \times 3^k}{k !}(k=0,1,2, \cdots)$ ,求 $c$ 的值,并求解 $P(X \leq 2)$. 解 根据分布律的定义有 $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{c \times 3^k}{k !}=1 \Rightarrow c=\mathrm{e}^{-3}$. 事实上,不难看出 $x \sim P(3)$ ,所以 $c=\mathrm{e}^{-3}$ 。 $$ \begin{aligned} P(X \leq 2) & =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\ & =\frac{e^{-3} \times 3^0}{0 !}+\frac{e^{-3} \times 3^1}{1 !}+\frac{e^{-3} \times 3^2}{2 !}=\frac{17}{2} e^{-3} 。 \end{aligned} $$ 例 6 已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为 6 的泊松分布.问周初 至少预备多少货源才能保证该周不脱销的概率不小于0.9.假定上周没有库存, 且本周不再进货. 解 设该款手表每周的需求量为 $X$ 则有 $X \sim P(6)$ ;设至少需要进 $n$ 块该款手 表,才能满足不脱销的概率不小于 $0.9$ ,即要满足 $$ \begin{aligned} & P(X \leq n) \geq 0.9 \\ & P(X \leq n-1)<0.9 \end{aligned} $$ 解得 $P(X \leq 8)=0.847237, P(X \leq 9)=0.916076$ 所以周初预备 9 块时,能满足 $90 \%$ 的顾客需求而不脱销。 **定理(泊松定理)** 在 $n$ 重贝努利试验中,记 $A$ 事件在一次试验中发生的概率为 $p_{n^{\prime}}$ 当 $n \rightarrow+\infty$ 时, 有 $n p_n \rightarrow \lambda$ 对于任意一个非负整数 $k$ ,有 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_n^k\left(1-p_n\right)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda} . $$ 泊松定理告诉我们: 满足一定条件时,二项概率可以用泊松分布的概率值来近似. 例6 已知某种疾病的发病率为 0.001 , 某单位共有 5000 人. 问该单位患有这种疾病的人数不超过 5 人的概率为多少? 解 设该单位患有这种疾病的人数为 $X$, 则有 $X \sim b(5000,0.001)$, 而我们所求的为 $$ P(X \leqslant 5)=\sum_{k=0}^5\left(\begin{array}{c} 5000 \\ k \end{array}\right) 0.001^k 0.999^{5000-k} . $$ 这个概率的计算量很大. 由于 $n$ 很大, $p$ 很小, 且 $\lambda=n p=5$. 所以用泊松近似得 $$ P(X \leqslant 5) \approx \sum_{k=0}^5 \frac{5^k}{k !} \mathrm{e}^{-5}=0.616 . $$ 例 2.4.7 有 10000 名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险.每个投保人在每年初需交纳 200 元保费, 而在这一年中若投保人死亡, 则受益人可从保险公司获得 100000 元的赔偿费. 据生命表知这类人的年死亡率为 0.001 . 试求保险公司在这项业务上 (1) 亏本的概率; (2) 至少获利 500000 元的概率. 解 设 $X$ 为 10000 名投保人在一年中死亡的人数, 则 $X$ 服从二项分布 $b(10000,0.001)$. 保险公司在这项业务上一年的总收人为 $200 \times 10000=2000000$ (元). 因为 $n=10000$ 很大, $p=0.001$ 很小, 所以用 $\lambda=n p=10$ 的泊松分布进行近似计算. (1) 保险公司在这项业务上 “亏本” 就相当于事件 $\{X>20\}$ 发生. 因此所求概率为 $$ P(X>20)=1-P(X \leqslant 20) \approx 1-\sum_{k=0}^{20} \frac{10^k}{k !} \mathrm{e}^{-10}=1-0.998=0.002 . $$ 由此可看出,保险公司在这项业务上亏本的可能性是微小的. (2) 保险公司在这项业务上“至少获利 500000 元” 就相当于事件 $\{X \leqslant 15\}$ 发生.因此所求概率为 $$ P(X \leqslant 15) \approx \sum_{k=0}^{15} \frac{10^k}{k !} \mathrm{e}^{-10}=0.951 . $$ 由此可看出, 保险公司在这项业务上至少获利 500000 元的可能性很大. 例 2.4.8 为保证设备正常工作, 需要配备一些维修工. 如果各台设备发生故障是相互独立的, 且每台设备发生故障的概率都是 0.01 . 试在以下各种情况下, 求设备发生故障而不能及时修理的概率. (1) 1 名维修工负责 20 台设备; (2) 3 名维修工负责 90 台设备; (3) 10 名维修工负责 500 台设备. 解 (1) 以 $X_1$ 表示 20 台设备中同时发生故障的台数, 则 $X_1 \sim b(20,0.01)$. 用参数为 $\lambda=n p=20 \times 0.01=0.2$ 的泊松分布作近似计算, 得所求概率为 $$ P\left(X_1>1\right) \approx 1-\sum_{k=0}^1 \frac{0.2^k}{k !} \mathrm{e}^{-0.2}=1-0.982=0.018 . $$ (2) 以 $X_2$ 表示 90 台设备中同时发生故障的台数, 则 $X_2 \sim b(90,0.01)$. 用参数为 $\lambda=n p=90 \times 0.01=0.9$ 的泊松分布作近似计算, 得所求概率为 $$ P\left(X_2>3\right) \approx 1-\sum_{k=0}^3 \frac{0.9^k}{k !} \mathrm{e}^{-0.9}=1-0.987=0.013 . $$ 注意, 此种情况下, 不但所求概率比 (1) 中有所降低, 而且 3 名维修工负责 90 台设备相当于每个维修工负责 30 台设备, 工作效率是 (1) 中的 1.5 倍. (3) 以 $X_3$ 表示 500 台设备中同时发生故障的台数, 则 $X_3 \sim b(500,0.01)$. 用参数为 $\lambda=n p=500 \times 0.01=5$ 的泊松分布作近似计算, 得所求概率为 $$ P\left(X_3>10\right) \approx 1-\sum_{k=0}^{10} \frac{5^k}{k !} \mathrm{e}^{-5}=1-0.986=0.014 . $$ 注意, 此种情况下所求概率与 (2) 中基本上一样, 而 10 名维修工负责 500 台设备相当于每个维修工负责 50 台设备, 工作效率是 (2) 中的 1.67 倍, 是 (1) 中的 2.5 倍. 由此可知: 若干维修工共同负责大量设备的维修, 将提高工作的效率. ![图片](/uploads/2023-01/image_202301033be7c5a.png)
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