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概率论与数理统计
第二篇 随机变量及其分布
超几何分布
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2023-12-27 07:39
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超几何分布
设有 $n$ 件产品, 其中 $M$ 件次品. 现从中不放回任取 $n$ 个产品 $(n \leq N)$. 则这 $n$ 个产品中所含的次品 $X$ 的分布律为 $$ \begin{gathered} P(X=k)=\frac{\left(\begin{array}{c} M \\ k \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} N-M \\ n-k \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} N \\ n \end{array}\right)} \\ k=\max \{0, n+M-N\}, 2, \cdots, \min \{M, n\} . \end{gathered} $$ 我们称 $X$ 服从参数为 $n, N$ 和 $M$ 的弨几何分布. 记 $p=\frac{M}{N}$ ，可以证明，有 $$ \lim _{N \rightarrow \infty} \frac{\left(\begin{array}{c} M \\ k \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} N-M \\ n-k \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} N \\ n \end{array}\right)}=\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k} . $$ ## 超几何分布的二项近似 在实际应用中，当 $n \lt \lt N$ 时，即抽取个数 $n$ 远小于产品总数 $N$ 时，每次抽取后，总体中的不合格 品率 $p=\frac{M}{N}$ 改变很微小，所以不放回抽样可以近似地看出放回抽样，这时超几何分布可用二项分布近似,以减少计算量。
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