最后更新: 2025-02-24 10:05 查看: 310 次反馈刷题

离散型(超几何分布)

> 抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是[**两点分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=959)，为了检查一批产品质量是否合格，我们可以抽查$n$个产品(每个产品都有合格或者不合格两种可能)，这是[**二项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=526) 。但是实际情况更好复杂。对于一个产品，不仅仅只有合格或者不合格两个结果，有时候可能有更多的结果。比如抽查产品的结果使用“正品，次品，废品”表示这是[**多项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2549)， 在抽查产品里，我们不断的抽取直到首次抽到正品的概率这是[**几何分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=529)，下面的定义将介绍负二项分布:在抽查的产品里，我们抽取一个是不合格的，抽取一个是不合格的，一共抽取了$r$次，第$r+1$次才出现合格的，这种分布就是[**负二项分布**](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1569)。 
在上面的抽查检查里，默认都是**放回检验**，但是有时候抽查完不放回，这种**不放回检验**就是本节介绍的超几何分布。可以证明，当样品量很大时，放回和不放回区别不大，比如从1000个产品里抽取5个检验是否合格，那么每次检验把这5个放回或者不放回对整体影响不大。

下面介绍的是泊松分布。特别的，二项分布的泊松近似,常被应用于研究稀有事件，比如某种疾病的发病率为0.001，现在单位有5000人，问患这种疾病不超过5人的概率？这可以用二项分布计算，但是计算量很大，使用泊松分布就可以近似计算，详见[泊松定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1568)。

## 超几何分布的二项近似

设有 $n$ 件产品, 其中 $M$ 件次品. 现从中不放回任取 $n$ 个产品 $(n \leq N)$.
则这 $n$ 个产品中所含的次品 $X$ 的分布律为

$$
\begin{gathered}
P(X=k)=\frac{\left(\begin{array}{c}
M \\
k
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
N-M \\
n-k
\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}
N \\
n
\end{array}\right)} \\
k=\max \{0, n+M-N\}, 2, \cdots, \min \{M, n\} .
\end{gathered}
$$

我们称 $X$ 服从参数为 $n, N$ 和 $M$ 的**超几何分布**.

记 $p=\frac{M}{N}$ ，可以证明，有

$$
\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{\left(\begin{array}{c}
M \\
k
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
N-M \\
n-k
\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}
N \\
n
\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k} .
$$

### 超几何分布可用二项分布近似
在实际应用中，当 $n \lt \lt N$ 时，即抽取个数 $n$ 远小于产品总数 $N$ 时，每次抽取后，总体中的不合格 品率 $p=\frac{M}{N}$ 改变很微小，所以不放回抽样可以近似地看出放回抽样，这时超几何分布可用二项分布近似,以减少计算量。

## 超几何分布的数学期望和方差
若 $X \sim h(n, N, M)$, 则 $X$ 的数学期望为

$$
E(X)=\sum_{k=0}^r k \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}=n \frac{M}{N} \sum_{k=1}^r \frac{\binom{M-1}{k-1}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N-1}{n-1}}=n \frac{M}{N}
$$

又因为

$$
\begin{aligned}
E\left(X^2\right) & =\sum_{k=1}^{\prime} k^2 \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}=\sum_{k=2}^r k(k-1) \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}+n \frac{M}{N} \\
& =\frac{M(M-1)}{\binom{N}{n}} \sum_{k=2}^r\binom{M-2}{k-2}\binom{N-M}{n-k}+n \frac{M}{N}
\end{aligned}
$$

$$
=\frac{M(M-1)}{\binom{N}{n}}\binom{N-2}{n-2}+n \frac{M}{N}=\frac{M(M-1) n(n-1)}{N(N-1)}+n \frac{M}{N}
$$

由此得$X$的方差为
$$
D(X)=E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=\frac{n M(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)} .
$$
关于更多概率分布表见[附录1：常见概率分布表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1490)

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